江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高二下学期3月调研测试数学

20242025学年高二第二学期六校联合体3月调研测试高二数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．18×174可表示为()A．A1518B．A1418C．C1518D．C14182．如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若数列{a}是等比数列，且a＞0，a·a＝9则log3a＋log3a8的值为()A．1B．2C．3D．44．已知直线l的方向向量为＝(1，－1，λ)，平面α的一个法向量为＝(－2，2，1)，若l⊥α，则λ的值是()A．－2B．－12C．1D．45．设a，b∈，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝2相切，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆外C．点在圆内D．不能确定6．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为5，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±33xC．y＝±33x或y＝±3xD．y＝±12x或y＝±2x7．现提供红、黄、蓝、绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻(两个面有公共边)的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为()A．24种B．48种C．72种D．144种8．已知函数y＝ax与y＝ex有两条公共切线，则实数a的取值范围是()第1页/共4页A．(0，2e)B．(0，e)C．(－∞，0)∪(0，2e)D．(－∞，0)∪(0，e)二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分．9．已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x，下列说法正确的有()A．函数f(x)在x＝0处的切线方程为y＝3xB．函数f(x)在[1，3]单调递增C．函数f(x)在[0，2]上的最大值为23D．若方程f(x)＝a仅有1个解，则a的取值范围是a＜0或a＞4310的有()A．所有可能的方法有125种B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有81种C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种11．已知在平行六面体ABCD－ABCD1中，AB＝1，AD＝AA＝2，且∠AAB＝∠AAD＝∠BAD＝60°，则下列说法正确的有()→→→→A．BD1＝AD－AB＋AA1B．线段BD的靠近点B1的三等分点Q在平面ACB内C．线段AC1的长度为39＋8D．直线AC1与直线DB所成角的余弦值为51451三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．若(a＋b)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n的值为▲________．135高依次递减，则不同的站法有▲________种．14F是抛物线Cy2＝2px(p＞0)M是抛物线的准线与xM的直线l与E相切于点P，|PF|＝4．则抛物线C的方程为▲________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分13分)已知(1－2x)10＝a＋ax＋ax2＋···＋ax10．第2页/共4页(1)求a2的值；(2)求a＋a＋···＋a的值；(3)求|a|＋|a|＋···＋|a|的值．16．(本题满分15分)已知{a}是公差不为0的等差数列，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列．{bn}为公比为2的等比数列(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，若S6＝126，记数列{cn}满足cn＝nna，n为奇数b，n为偶数)，求数列{cn}的前2n项和T2n．17．(本题满分15分)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，PA＝1，PAB＝3，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点．M(1)求证：CM//平面PAB；APQqQD(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；B

C(3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为217?若存在，求出BQBD的值；若不存在，请说明理由．18．(本题满分17分)已知椭圆Cx24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的右焦点F和抛物线Cy2＝2px(p＞0)的焦点重合，且C1过点(1，32)．第3页/共4页(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆C1于点A，B，交抛物线C2于点P，Q，是否存在常数λ和μ，使得μ|AB|＋λ|PQ|为定值?若存在，求出λμ的值；若不存在，说明理由．19．(本题满分17分)m我们学过组合数的定义，Cn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m!，其中m∈，n∈*，并m且m≤nCn中的下标n推广到任意实m数，规定广义组合数Cx＝x(x－1)…(x－m＋1)m!是组合数的一种推广，其中m∈，x0∈，且规定C＝1．于是广义二项式定理可写成：0123n(1＋x)α＝C＋C·x1＋C·x2＋C·x3C·xnx|＜1．等式右端有无穷项．62(1)求C和C的值．(2)计算1.11.8的近似值，保留到小数点后2位．01210(3)求C·C＋C·C＋C·CC·C＋C·C的值．20242025学年高二第二学期六校联合体3月调研测试高二数学参考答案一、单选题1－8ABBBCDCA二、多选题9－11ADBCDABD三、填空题12.813.614．y2＝8x四、解答题15．(1)T＝C210·18·(－2x)2＝180x2，所以a＝180．4分(2)令x＝1，则(－1)10＝a＋a＋···＋a，即a＋a＋···＋a＝1．8分(3)法1．由题意知a，aa＜0，a，aa＞0，所以|a|＋|a|＋···＋|a|＝－a＋a－a＋a－···－a＋a，令x＝0，可得a＝1；10分令x＝－1，可得a－a＋a－a＋a－···－a＋a＝310＝59049，12分所以原式＝59048．(写310－1也算对)13分法2．令x＝0，可得a＝1；10分考虑(1＋2x)10的展开式，令x＝1，得|a|＋|a|＋|a|＋···＋|a|＝310＝59049，12分所以原式＝59048．(写310－1也算对)13分16．解：(1)数列{a}是等差数列，设首项为a1公差为d(d≠0)因为a＝7，所以a＋3d＝7①1分因为a，a，a5成等比数列，所以(a＋d)2＝a·(a＋4d)因为d≠0，所以d＝2a1②3分由①②得a＝1，d＝2，5分所以a＝2n－16分(2)因为数列{b}为公比为2的等比数列，由S＝126得b1(1－26)1－2＝126，所以b＝2，则b＝2n，9分所以c＝nn1奇数11分所以T＝(a＋a＋···＋a)＋(b＋b＋···＋b)＝n＋n(n－1)2×4＋4(1－4n)1－4＝2n2－n＋4(4n－1)315分→→

，→17．(1)法1．如图，以{AD,}为正交基底，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，－1)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，M(0，1，12)→由题意：平面PAB的法向量为1＝(0，1，0)，＝(－3，0，32)2分→→因为1·＝0，所以1⊥CM，3分又因为CM平面PAB，所以CM//平面PAB．4分(注：不写“CM平面PAB”扣1分)法2．取AB的中点E，连接ME，因为M是PD的中点，所以ME∥＝12AD．又因为BC∥＝12AD，所以ME∥＝BC，所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE．2分又因为CM平面PAB，BE平面PAB，所以CM//平面PAB．4分zP(注：不写“CM平面PAB”扣1分)MAQDyBxC(2)由题意：平面PAB的法向量为1＝(0，1，0)，设平面PCD的法向量为2＝(x，y，z)→→→→＝(3，1，－1)，＝(0，2，－1)，由·2＝0，·2＝0，可得\r(32y－z＝0，令y＝1，则2＝(33，1，2)6分所以cos＜1，2＞＝113)＋1＋4＝34．8分所以，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为34．9分→→(3)设BQBD＝λ，则＝λ→→→→，＝＋λ＝(3－3λ，2λ，0)，＝(0，0，1)，→→设平面PAQ的法向量为3＝(x，y，z)，则3·＝0，3·＝0，可得(\r(3)λz0＝0，令y＝1，所以3＝(－2λ3，1，0)．11分因为点D到平面PAQ的距离为217，→所以d＝3PD3|n·||n|＝4λ23(1－λ)2＋12＝212713分解得λ＝12．14分所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为217，此时BQBD＝12．15分(注：在底面内过点D作直线AQ的垂线，由几何知识得BQBD＝12也得满分，用等体积法V＝V求得BQBD＝12也得满分)18.(1)因为椭圆C1过点(1，32)，所以{14＋94b2＝1，所以b2＝3，所以C1方程：x24＋y23＝1．2分又因为椭圆C1的右焦点F(1，0)，所以p2＝1，p＝2，所以C2方程：y2＝4x．4分(2)解：方法一：假设存在这样的l，设直线l的方程为：x＝my＋1，A(x，y)，B(x，y)，s(＋13(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0．Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)，∴|AB|＝1＋m2·|y－y|＝1＋m2·m2＋1)3m2＋4＝12(m2＋1)3m2＋4．8分设P(x，y)，Q(x，y)，\v＝my＋1y2＝4my＋4，y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16，∴|PQ|＝1＋m2·|y－y|＝1＋m2·16m2＋16＝4(m2＋1)，12分∴μ|AB|＋λ|PQ|＝(3m2＋4)μ12(m2＋1)＋λ4(m2＋1)＝(3m2＋4)μ＋3λ12(m2＋1)＝C(C为定值)．15分∴3m2(4C－μ)＋(12C－3λ－4μ)＝0，任意的实数m恒成立∴C4μ0．得到\ac(∴当λμ＝－13时μ|AB|＋λ|PQ|为定值．17分方法二：设l倾斜角为θ，∴|AB|＝2ab2a2－c2cos2θ＝2×2×34－cos2θ＝124－cos2θ，8分|PQ|＝2psin2θ＝4sin2θ，12分∴μ|AB|＋λ|PQ|＝(4－cos2θ)μ12＋λsin2θ4＝4μ＋3λsin2θ－μcos2θ12为定值，15分∴3λ＝－μ时即λμ＝－13时，μ|AB|＋λ|PQ|为定值．17分(注：用焦半径公式需要证明，不证明则每种情况扣2分．)619．(1)C＝4×3×2×1×0×(－1)6!＝02分2C＝0.5×(－0.5)2!＝－18(写－0.125也对)4分(2)1.11.8＝(1＋0.1)