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数学试验高等数学分册1/36理工数学试验第2章一元函数微分法

2/36第2章一元函数微分法验证性试验试验一初等函数导数试验二隐函数与参量函数导数试验三函数微分试验四导数应用3/36

第2章一元函数微分法—验证性试验试验一初等函数导数【试验目标】1.熟悉基本求导公式，掌握初等函数求导方法2.会求函数在给定点处导数值【试验要求】熟悉，Matlab中求导命令diff4/36输入方式:（1）求一阶导数

dy=diff(y)或：

dy=diff(y,v)（2）求高阶导数

dy=diff(y,n)或：dy=diff(y,v,n)1.y是被求导函数,是符号表示式;2.v

是指定对其求导自变量,是符号变量.

若函数表示式中有多个符号变量,最好应指定

其中某个为对其求导自变量,以免犯错.3.n

指定求导数阶数;4.dy

是求导输出结果,也是符号表示式.注解:5/36

第2章一元函数微分法—验证性试验【试验内容】1.求以下函数导数(1)(2)【试验过程】

1.（1）>>symsx>>y=exp(x)*(sin(x)+cos(x));>>diff(y)运行结果：ans=exp(x)*(sin(x)+cos(x))+exp(x)*(cos(x)-sin(x))

即函数导数为

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第2章一元函数微分法—验证性试验（2）>>symsx>>y=log((x^3+1)/(x^2+1));>>diff(y)运行结果：ans=(3*x^2/(x^2+1)-2*(x^3+1)/(x^2+1)^2*x)/(x^3+1)*(x^2+1)即函数导数化简得7/362.求以下函数在给定点处导数值（1）已知函数，求；2.（1）>>symsx;>>f=1/x;>>f1=diff(f,x);>>ff=inline(f1);>>x=1;>>ff(1)运行结果：ans=-1>>x=-2;>>ff(-2)运行结果：ans=-0.2500

第2章一元函数微分法—验证性试验8/36

第2章一元函数微分法—验证性试验

试验二隐函数与参量函数导数【试验目标】1．掌握隐函数求导方法和步骤2．掌握参量函数求一阶导数和二阶导数方法和公式【试验要求】熟悉Matlab中解方程命令solve和求导命令diff9/36

第2章一元函数微分法—验证性试验【试验内容】1.求以下隐函数导数(1)设，求【试验过程】1.（1）解法一：>>symsxy;>>f=solve('x^2+y^2-R^2=0',y);>>diff(f,x)运行结果：ans=-1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x1/(-x^2+R^2)^(1/2)*x

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第2章一元函数微分法—验证性试验

即

或说明：对于能从方程中求出函数显示形式题能够采取这种做法。解法二：>>symsxyR;>>f=x^2+y^2-R^2;>>f1=diff(f,x);>>f2=diff(f,y);>>-f1/f2运行结果：ans=-x/y

即

说明：对于不能从方程中解出函数显示形式题要采取这种做法。11/36

第2章一元函数微分法—验证性试验2.求以下参量函数导数（1）已知，求2.(1)>>symst;>>x=t^2;>>y=4*t;>>f=diff(y,t);f1=diff(x,t);>>f2=f/f1运行结果：f2=2/t

即12/36

第2章一元函数微分法—验证性试验

试验三函数微分【试验目标】1.知道函数求导与微分关系2.会求函数导数和微分【试验要求】熟悉Matlab中求导命令diff，赋值命令inline.13/36

第2章一元函数微分法—验证性试验【试验内容】1.求以下函数微分（1）;【试验过程】1.（1）>>symsx;>>f=log(sin(x));>>f1=diff(f,x)运行结果：f1=cos(x)/sin(x)即：14/36

第2章一元函数微分法—验证性试验

试验四导数应用【试验目标】1.会写函数Taylor公式和Maclaurin公式2.掌握求函数极值和最值方法3.知道一点处导数几何意义【试验要求】熟悉Matlab中求Taylor展开式命令taylor，以及求极值方法15/36

第2章一元函数微分法—验证性试验【试验内容】1.求函数Taylor展开式，并在同一坐标系下画出函数及函数展开式图形（1）将函数在处展开到第5项；【试验过程】1.（1）>>symsx;>>f=sin(x);>>y=taylor(f,pi/2,6)运行结果：y=1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^416/36再画出函数与展开式图形：>>x=linspace(-2,2,60);>>f=sin(x);>>y=1-1/2*(x-1/2*pi).^2+1/24*(x-1/2*pi).^4;>>plot(x,f,x,y)运行结果：图2-1函数与其Taylor展开式对比图

第2章一元函数微分法—验证性试验17/36

第2章一元函数微分法—验证性试验2.求函数极值;>>symsx;>>y=2*x^3-3*x^2;>>f1=diff(y,x);>>f1=diff(y)运行结果：f1=6*x^2-6*x>>[x0]=solve(f1)18/36

第2章一元函数微分法—验证性试验运行结果：x0=01>>f2=diff(f1,x)运行结果：f2=12*x-6>>ff=inline(f2)>>ff(x0)运行结果：ans=-66由此可知：函数在点处二阶导数为-6，所以0为极大值；函数在点处二阶导数为6，所以-1为极小值。19/363.求圆过点（2，1）切线方程。>>symsxy;>>f=(x-1)^2+(y+3)^2-17;>>f1=diff(f,x);>>f1=diff(f,x);f2=diff(f,y);>>ff=-f1/f2运行结果：ff=(-2*x+2)/(2*y+6)>>f3=inline(ff)；>>f3(2,1)运行结果：ans=-0.2500所以切线方程为

第2章一元函数微分法—验证性试验20/36第2章一元函数微分法设计性试验试验一最优价格问题试验二效果最正确问题试验三相关改变率21/36

第2章一元函数微分法—设计性试验试验一最优价格问题【试验目标】1.加深对微分求导，函数极值等基本概念了解2.讨论微分学中实际应用问题3.会用Matlab命令求函数极值【试验要求】掌握函数极值概念，Matlab软件中相关求导命令diff22/36

第2章一元函数微分法—设计性试验【试验内容】

某房地产企业拥有100套公寓当每套公寓月租金为1000元时，公寓全部租出。当月租金每增加25元时，公寓就会少租出一套。1.请你为企业月租金定价，使得企业收益最大，并检验结论2.若租出去公寓每个月每套平均花费20元维护费，又应该怎样定价出租，才能使企业收益最大【试验方案】1.方法一：设每套公寓月租金在1000元基础上再提升x元，每套租出公寓实际月收入为()元，共租出()套。23/36

第2章一元函数微分法—设计性试验

收益R(X)=()()(0≤x≤2500)R′(x)=令R′(x)=0，解得驻点=750。

R″(x)=

<0，故R(x)在=750处取得极大值。在[0,2500]上只有一个驻点，故R（x）在=750处取最大值。即每套公寓月租金为1750元时，才能使企业收益最大。检验：x=1750元，少租出

=30套，实际租出70套，企业有租金收入1750*70=122500元。比100套全部租出时企业租金收入1000*100=100000元多22500元。方法二：设每套公寓月租金为x元，少租出套，实际租出

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第2章一元函数微分法—设计性试验套收益R(x)=x()(1000≤x≤3500)

R′(x)=令R′(x)=0，解得驻点=1750(每套公寓租金)检验讨论如方法一。2.设每套公寓月租金在1000元再提升元，每套租出公寓实际月租金收入是(1000+x-20)元，共租出套收益R(x)=()()(0≤x≤2500)

25/36令R′(x)=0，解得驻点x=760。R″(x)=<0，故R(x)在=760处取得极大值。在[0,2500]上只有一个驻点，故R（x）在=760处取最大值。即每套公寓月租金为1760元时，才能使企业收益最大。【试验过程】(1)方法一>>f=inline('-(1000+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-(1000+x)*(100-x/25)a=750x=122500

第2章一元函数微分法—设计性试验26/36方法二>>f=inline('-x*(100-(x-1000)/25)')>>a=fminbnd(f,1000,3500)>>x=-f(a)f=Inlinefunction:f(x)=-x*(100-(x-1000)/25)a=1750x=122500(2)>>f=inline('-(980+x)*(100-x/25)')>>a=fminbnd(f,0,2500)f=Inlinefunction:f(x)=-(980+x)*(100-x/25)a=760

第2章一元函数微分法—设计性试验27/36

第2章一元函数微分法—设计性试验试验二效果最正确问题【试验目标】1.利用积分概念、函数最大值(最小值)理论，处理实际最优化问题2.掌握符号求导实际应用3.熟悉Matlab命令求函数积分，解代数方程【试验要求】掌握函数最大值(最小值)理论，Matlab软件求导命令、解方程命令28/36

第2章一元函数微分法—设计性试验【试验内容】

洗过衣服含有洗衣粉残液，现用总量为Am3清水漂洗，漂洗一遍再甩干后衣服上有am3洗衣粉残液。若要求漂洗两遍，问怎样分配水两次用水量，才能使漂洗效果最正确？【试验方案】

设第一次用水量为xm3，则第二次用水量为(A-x)m3。并设漂洗前衣服上含有am3洗衣粉残液中洗衣粉占bm3.第一次加水后，水中洗衣粉所占百分比为，将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为第二次加水后，水中洗衣粉所占百分比为

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第2章一元函数微分法—设计性试验将水放掉甩干后，残液中洗衣粉含量为两次漂洗后效果最正确就是漂洗后残液中洗衣粉含量最小，为此只要求

g(x)=(a+x)(a+A-x)(0<x<A)最大值。g′(x)=(a+A-x)-(a+x)=A-2x令g′(x)=0解得因g″(x)=-2<0，故g()=(a+)2为最大。所以，将Am3清水平分为两次使用可使漂洗效果最正确。30/36

第2章一元函数微分法—设计性试验【试验过程】>>symsxaA>>f=(a+x)*(a+A-x);>>b=diff(f,x);>>solve(b)ans=1/2*A31/36

第2章一元函数微分法—设计性试验试验三相关改变率【试验目标】1.加深对复合函数、相关改变率了解2.经过实例学习用微分知识处理实际问题3.熟悉Matlab命令求复合