数理方程12省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

热传导和扩散方程热传导方程热传导：当物体内各处温度分布不均匀时，就会有热量从温度高地方流向温度低地方，这就是热传导。热量传递又会引发温度分布改变。处理热传导问题，归结为求温度分布与改变。推导均匀且各向同性导热体在传热过程中温度所满足微分方程采取微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围区域记作V假设在时刻t区域V内点处温度为,

为曲面元素法向（从V内指向V外）第1页傅里叶（Fourier）定律：物体在无穷小时间段内，流过一个无穷小面积热量与时间，曲面面积，以及物体温度沿曲面法线方向方向导数三者成正比，即其中k称为物体热传导系数，当物体为均匀且各向同性导热体时，k为常数。负号是因为热量流向和温度梯度正向方向相反而产生。从时刻到,经过曲面S流入区域V全部热量为第2页流入热量使V内温度发生了改变，在时间间隔内区域V内各点温度从改变到，则在内V内温度升高所需要热量为其中，c为物体比热，为物体密度，对各向同性物体来说，它们都是常数。因为热量守恒，流入热量应等于物体温度升高所需吸收热量，即第3页此式左端曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即同时，右端体积分能够写成所以有第4页因为时间间隔及区域V都是任意取，而且被积函数是连续，所以上式左右恒等条件是它们被积函数恒等，即其中——三维热传导方程若物体内有热源，其强度为,则对应热传导方程为其中第5页作为特例，假如所考虑物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中温度只与x，t（或x，y，t）相关，则三维热传导方程就变成一维热传导方程和二维热传导方程第6页扩散方程扩散：描写扩散现象特征物理量应选物质浓度u(x,y,z,t)。浓度不均匀可用浓度梯度表征。扩散现象强弱用扩散流强度q（单位时间、穿过单位截面物质流量）来描述。扩散定律：浓度不均匀程度和引发扩散现象强弱之间关系满足扩散定律其中，k称为扩散系数。物质因空间浓度不均匀而引发从浓度高处到低处运动，称为扩散。负号表示扩散转移方向（浓度降低方向）与浓度梯度（浓度增大方向）相反。第7页在空间任取一个微小六面体，如图所表示。这个平行六面体内浓度改变取决于穿过它表面流量。x方向：设从左面流入，从右面流出，所以单位时间经过左右两面流入净流量是：将代入，得：第8页假如六面体中没有源和汇，则浓度对时间改变率为：如扩散系数在空间是均匀，则方程可化为：——一维扩散方程令，则方程写为：如考虑x，y，z三个方向，则方程为：如扩散系数在空间是均匀，则方程可化为：类似，若物体内存在生成该物质源，其强度（单位时间、单位体积产生之质量）为f(x,y,z,t），则得非齐次扩散方程第9页泊松方程和拉普拉斯方程静电场电势静电场中，电荷分布与电场强度满足方程因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为u，则代入方程式（*）中，即得静电势满足方程它称为泊松方程，是非齐次。对于不存在电荷区域，，静电势满足方程此方程称为拉普拉斯方程。是齐次。（*）由和可得：第10页稳定温度场在热传导问题中，假如物体内不存在热源，物体周围环境温度不随时间改变，则经过相当长时间后，物体各处温度将不再随时间而改变，趋向于稳定状态。这时，，齐次热传导方程便化为稳定温度场拉普拉斯方程。热传导方程：变为：第11页亥姆霍兹方程方程形式为：在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。薛定谔方程：其中，是粒子势能，是描述微观粒子运动状态波函数。用来代替，方程可化为：当，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。第12页总结波动方程热传导方程拉普拉斯方程齐次、非齐次（右端+自由项f(M,t)）一维、二维、三维第13页§1-2定解条件作为完整定解问题，除了给出对应问题泛定方程外，还应给出定解条件。定解条件说明系统初始状态——初始条件说明边界上物理情况——边界条件第14页初始条件对于伴随时间改变问题，必须考虑研究对象初始时刻状态，即“初始条件”。1.热传导方程对热传导问题，初始状态指是物理量u初始分布，即初始温度分布。所以初始条件为：其中，是一个已知函数。2.波动方程波动问题既要给出初始位移分布，还要给出初始时刻速率分布。从数学角度看，热传导方程中只出现时间t一阶导数，所以只需要一个初始条件，而波动方程中出现时间t二阶导数，所以需要两个初始条件。第15页3.稳定分布问题对于稳定分布问题，比如稳定温度场，静电场等，不随时间而改变，所以不需要给出初始条件。如静电场方程4.有源问题在周期性外源引发传导和周期性外力作用下振动问题中，经过很多周期后，初始条件引发自由传导或自由振动能够认为已经消失。这时传导或振动能够认为完全是由周期性外源或外力引发。处理这类问题时，完全能够忽略初始条件影响，将其看成无初始条件问题。第16页边界条件物理量在其所占范围（即区域）边界上分布总是比内部分布直观得多，因为边界上情况总能够经过观察、测量甚至要求得出，经过边界上条件来探索物理量在区域内部分布，实际上是处理数学物理问题主要方法，所以给出边界条件非常主要。所谓边界，即区域边界点所组成集合，一维区域（比如弦）边界，即两个端点：x=0，x=l；二维区域边界为曲线或折线；三维区域边界为曲面。一维区域，A和B为边界点二维区域D，边界为曲线和三维区域，边界为曲面第17页1.第一类边界条件直接给出物理量在边界上分布条件比如，弦横振动问题中，若其一端x=0处被固定，任何时候也不能产生位移，则该点边界条件就是对热传导问题，假如在导热过程中，物体边界上温度为已知，则边界条件为也为第一类边界条件。第一类边界条件又称为Dirichlet条件以下我们将区域通记为，将其边界记为，则边界条件主要有以下三种类型：第18页2.第二类边界条件给出物理量梯度在边界上分布（即物理量在边界处法向微商）法向正向为指向系统外比如：杆热传导问题中，若杆一端x=a处，是绝热，没有热流经过，那里边界条件就是又如：均匀弦横振动问题中，假如在其一端x=L处，是未加固定自由端，弦在自由端处不受位移方向外力，从而在这个端点上弦在位移方向张力应该为零，即所以边界条件是：其中为边界法线方向第二类边界条件又称为Neuman条件。第19页3.第三类边界条件给出物理量及其边界上法线方向导数线性关系其中为常数。弦振动问题弹性支承，即是这类边界条件。在弹性支承时，由Hooke定律可知：即其中为弹性体弹性系数。第20页在杆热传导问题中，x=L一端既不固定为某一温度，又不是处于绝热状态，而是处于一个自由冷却情况下。这么状态由牛顿冷却定律反应其规律：若周围媒质温度为，则物体和媒质在边界上交换热量，其沿外法线方向热流强度与物体和媒质温差成正比：令，上式化为：4.齐次边界条件上面三类边界条件，可用统一线性关系式表示：假如，则：，称为齐次边界条件，不然称为非齐次边界条件。第三类边界条件（混合边界条件）又称为Robin条件。第21页5.自然边界条件和周期边界条件自然边界条件：只要求边界上保持有限值周期边界条件：如圆柱系统。取柱坐标对坐标而言，相差整数倍，仍表示同一点。因为要求解有唯一性，自然要满足：对坐标而言