《高考备考指南 理科数学》课件-第2章 第5讲

第二章第5讲[A级基础达标]1．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()【答案】B【解析】∵|x－1|≥0，∴f(x)≥1，排除C，D．又x＝1时，|f(x)|min＝1，排除A．故选项B正确．2．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2)【答案】D【解析】∵a0＝1，∴f(2)＝2，故f(x)的图象必过点(2,2)．3．已知a＝22.5，b＝2.50，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2.5，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c【答案】D【解析】a>20＝1，b＝1，c<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，∴a>b>c.4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，所以a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]内递减，在[2，＋∞)内递增，所以f(x)在(－∞，2]内递增，在[2，＋∞)内递减．故选B．5．(2017届长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为()A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】令2x＝t，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t＞0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)内递增，∴y＞1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B．6．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【答案】D【解析】方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a图(1)图(2)①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1，不符合要求综上，0<a<eq\f(1,2).7．计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq\s\up7(\f(1,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))0＋8eq\s\up10(\f(1,4))×eq\r(4,2)－eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))eq\s\up10(\f(2,3)))＝________.【答案】2【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,3))×1＋2eq\s\up10(\f(3,4))×2eq\s\up10(\f(1,4))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(1,3))＝2.8．已知函数f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))则函数g(x)的最小值是________．【答案】0【解析】当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－eq\f(1,2x)为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－eq\f(1,2－x)为单调减函数，所以g(x)>0.所以函数g(x)的最小值是0.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【解析】(1)当a＝－1时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)内单调递增，在(－2，＋∞)内单调递减，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R内单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递减，在(－2，＋∞)内单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1.因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.[B级能力提升]10．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是()A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能确定【答案】A【解析】由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2.由单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)．11．若函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0,1) D．无法确定【答案】C【解析】函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在负半轴上．而当x＝0时，y＝a0－b＝1－b，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,1－b<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,b>1，))所以ab∈(0,1)．12．(2016年唐山二模)当x∈[1,2]时，函数y＝eq\f(1,2)x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))) C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\r(2)))【答案】B【解析】当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足eq\f(1,2)·22≥a2，即1<a≤eq\r(2)；当0<a<1时，如图②所示，需满足eq\f(1,2)·12≤a1，即eq\f(1,2)≤a<1；当a＝1时，显然符合．综上可知，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))).13．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】令ax－x－a＝0，即ax＝x＋a，若0<a<1，显然y＝ax与y＝x＋a的图象只有一个公共点；若a>1，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示有两个公共点．14．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．【答案】(－1,2)【解析】原不等式变形为m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－∞，－1]内是减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2.当x∈(－∞，－1]时，m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.15．已知定义在R内的函数f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝eq\f(3,2)，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．【解析】(1)当x＜0时，f(x)＝0≠eq\f(3,2)；当x≥0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，由2x－eq\f(1,2x)＝eq\f(3,2)，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－eq\f(1,2)，∵2x＞0，∴x＝1.(2)当t∈[1,2]时，2teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22t－\f(1,22t)))＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(1,2t)))≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]．故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(1)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)；(2)是否存在实数m＞n＞3，使得g(x)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))，y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝[f(x)－a]2＋3－a2.由一元二次函数的性质分三种情况：若a＜eq\f(1,3)，则当f(x)＝eq\f(1,3)时，y取得最小值，ymin＝g(a)＝eq\f(28,9)－eq\f(2a,3)；若eq\f(1,3)≤a≤3，则当f(x)＝a时，y取得最小值，ymin＝g(a)＝3－a2；若a＞3时，则当f(x)＝3时，y取得最小值，ymin＝g(a)＝12－6a∴g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(28,9)－\f(2a,3)\b\lc\(\rc\)(