《高考备考指南 理科数学》课件-第4章 第6讲

第四章第6讲[A级基础达标]1．(2017届哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，若△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则C＝()A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】方法一：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA＝eq\f(\r(3),2)，即eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sinA＝eq\f(\r(3),2)，∴sinA＝1.∴A＝90°.∴C＝60°，故选C．方法二：由正弦定理，得eq\f(sinB,AC)＝eq\f(sinC,AB)，即eq\f(1,2)＝eq\f(sinC,\r(3))，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)≠eq\f(\r(3),2)(舍去)．而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，符合条件，故C＝60°.故选C．2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【解析】由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A．∵A∈(0，π)，∴sinA＞0.∴sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)3．(2016年哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\r(3) D．2【答案】C【解析】∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝eq\f(1,2).∴A＝eq\f(π,3).又bc＝4，∴△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故选C．4．(2017届东北三省三校联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为在△ABC中，a＞b⇔sinA＞sinB⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos2A＜cos2B．所以“a＞b”是“cos2A＜cos5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，则B等于()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4) C．eq\f(π,3) D．eq\f(3π,4)【答案】C【解析】根据正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，得eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，即a2＋c2－b2＝ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，故B＝eq\f(π,3)，故选C．6．(2017届河南六市联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，a＝2，S△ABC＝eq\r(2)，则b的值为()A．eq\r(3) B．eq\f(3\r(2),2) C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】A【解析】由S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)，得bc＝3，①又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6.②由①②解得b＝eq\r(3).7．(2016年上海)已知△ABC的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．【答案】eq\f(7\r(3),3)【解析】由已知，设a＝3，b＝5，c＝7，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2).∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∴R＝eq\f(c,2sinC)＝eq\f(7\r(3),3).8．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN【答案】150【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理，得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)，因此AM＝100eq\r(3)m.在Rt△MNA中，AM＝100eq\r(3)m，∠MAN＝60°，由eq\f(MN,AM)＝sin60°，得MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．9．(2016年武汉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋eq\r(3)bc＝0,2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为eq\r(14).(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．【解析】(1)由a2－b2－c2＋eq\r(3)bc＝0，得b2＋c2－a2＝eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).∴A＝eq\f(π,6).由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝eq\f(π,6).(2)设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AM2＝x2＋eq\f(x2,4)－2x·eq\f(x,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(eq\r(14))2，解得x＝2eq\r(2)，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).[B级能力提升]10．(2016年山东)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)【答案】C【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA＝2b2(1－cosA)，因为a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝sinA．因为cosA≠0，所以tanA＝1.因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4)，故选C．11．(2016年江西师大附中模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，则c＝()A．2eq\r(7) B．4 C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)【答案】C【解析】∵eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC．由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，可知C＝eq\f(π,3).∵S△ABC＝2eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝8.又a＋b＝6，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12.∴c＝2eq\r(3)，故选C．12．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，A．50m B．100m【答案】A【解析】如图，设水柱高度是hm，水柱底端为点C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝eq\r(3)h.在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50m.13．在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，则AB＋2BC的最大值为________．【答案】2eq\r(7)【解析】由正弦定理知eq\f(AB,sinC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA．又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋eq\r(3)cosC＋sinC)＝2(2sinC＋eq\r(3)cosC)＝2eq\r(7)sin(C＋α)，其中tanα＝eq\f(\r(3),2)，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2eq\r(7).14．在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，设S是△ABC的面积，若2SsinA＜(eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)))·sinB，则下列结论：①a2＜b2＋c2；②c2＞a2＋b2；③cosBcosC＞sinBsinC；④△ABC是钝角三角形．其中正确结论的序号是________．【答案】①②④【解析】∵2SsinA＜(eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)))sinB，∴2×eq\f(1,2)bcsinA×sinA＜cacosBsinB．∴bcsinAsinA＜acsinBcosB．又由正弦定理可得bsinA＝asinB＞0，∴cosB＞sinA＞0.∴A，B均是锐角．而cosB＝sin(90°－B)，故有sin(90°－B)＞sinA，即90°－B＞A，则A＋B＜90°.∴C＞90°，即△ABC是钝角三角形．∴由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＜0，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，即有c2＞a2＋b2，a2＜b2＋c2，故①②④正确；∵cosBcosC－sinBsinC＝cos(B＋C)＝－cosA＜0，故③不正确．15．(2015年山东)设f(x)＝sinxcosx－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．【解析】(1)由题意知f(x)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))),2)＝eq\f(sin2x,2)－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z,可得－eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z；由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z,可得eq\f(π,4)＋kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))(k∈Z)；单调递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(3π,4)＋kπ))(k∈Z)．(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝sinA－eq\f(1,2)＝0，得sinA＝eq\f(1,2)，由题意知A为锐角，所以cosA＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋eq\r(3)bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋eq\r(3)，且仅当b＝c时取等号．因此eq\f(1,2)bcsinA≤eq\f(2＋\r(3),4).所以△ABC面