2024北京陈经纶中学高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京陈经纶中学高二（下）期中数学高二年级数学学科（时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（

）A．9 B．18 C．28 D．362．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为（

）A．24 B．16 C．13 D．483．函数的单调增区间是（）A． B．C．D．4．在10件产品中，有8件合格品，2件次品．从这10件产品中任意抽出3件，抽出的3件中恰有1件次品的概率为（

）A．B．C．D．5．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（

）A．B．或C．D．或6.已知随机变量X，Y分别满足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，则p=（）A．B．C．D．7.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.曲线在点处的切线斜率小于零B.函数在区间上单调递增C.函数在处取得极大值D.函数在区间内至多有两个零点8．用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（

）A．72种B．36种C．12种D．60种9．已知函数存在极值点，且恰好有唯一整数解，则实数取值范围是（

）A．B．C．D．“L”形骨牌国际象棋棋盘10.一个国际象棋棋盘（由个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）.“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个““L”形骨牌国际象棋棋盘A.至多能剪成19块“L”形骨牌 B.至多能剪成20块“L”形骨牌 C.一定能剪成21块“L”形骨牌 D.前三个答案都不对填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11．已知函数，则.12．在的展开式中，项的系数为________．（用数字作答）13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

(用数字作答)14.若直线与曲线相切，则实数的值为______.15．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.则取到的是不合格品的概率是____，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器____生产出来的可能性最大.16．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②有且仅有两个零点；③对于任意的，都有成立；④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点.其中所有正确的结论序号是.解答题：本大题共5个小题，共70分.17．（本题满分14分）已知函数，且为极值点.(1)求实数的值；(2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.18．（本题满分14分）据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.（本题满分14分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量X1、X2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，X1和X2的分布列如下表所示:X11234P0.10.40.40.1(1)若某位顾客购买H型和V型手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；(2)电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X(单位:元),求X的分布列；(3)比较D(X1)与D(X2)的大小.(只需写出结论)20.（本题满分14分）已知.(1)求曲线在处的切线方程；(2)已知函数在区间上有零点，求的值；(3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.21、（本题满分14分）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列A的“相邻数列”为，其中或(1)已知，数列，写出A的所有“相邻数列”；(2)己知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列A的个数；(3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在A的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值．

参考答案一、选择题:1．B2．C3．D4．C5．B6.C7.D8．A9．C10.C二、填空题:11．12．613．36 14．15．，机器乙16．②③④三、解答题:17．解:（1），因为为函数的极值点，所以，解得，经检验符合题意，所以；（2）由（1）得，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以为极大值点，极大值为，为极小值点，极小值为.18．解:（1）甲队进入决赛的概率为，乙队进入决赛的概率为，丙队进入决赛的概率为，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，的可能取值为，，，，，所以的分布列为：012319.解:(1)设事件A为“这位顾客两种手机都选择分4期付款”,故P(A)=0.1×0.4=0.04.…3分X的所有可能取值为600,650,700,750,800,850,900.P(X=600)=0.4×0.4=0.16；P(X=650)=C21P(X=700)=0.1×0.1+C21P(X=750)=C21×0.4×0.4+CP(X=800)=0.1×0.1+C21P(X=850)=C21×0.1×0.4=0.08P(X=900)=0.4×0.4=0.16.所以X的分布列为X600650700750800850900P0.160.080.090.340.090.080.16(3)D(X1)<D(X2).20.解:（1）因为，所以，所以切线斜率为，又，切点为，所以切线方程为；（2），，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为，，在区间上存在一个零点，此时；又，，在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3；（3）函数，，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，，，，又，，，解得，，构造函数，，所以，在上单调递减；所以当时，，所以．21、解:（1）根据“相邻数列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相邻数列”有；；；.（2）任取的一个“相邻数列”，因为或，或，所以有且，对于的取值分以下4种情形：（a），（b），（c），（d）由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，递增，，即，由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列，于是，则，即满足数列的有11个.（3）令，所以对任意，设，则且，先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，若，