专题02 函数与导数新定义问题（教师版）

高考数学高考数学勤思笃学勤思笃学勤思笃学勤思笃学专题02函数与导数新定义问题函数中的新定义型问题是高考中常见的问题，它综合考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生探索、创新的能力，这类题目起点不高，难度也不大，只要学生认真理解新定义，利用所学的知识是可以解决的.高考命题方向:1.函数是高中数学的主线，有着十分重要的地位，知识的综合性强，解决时常用到数形结合、分类讨论等数学思想.2.函数中的新定义问题重点围绕函数的定义及单调性、奇偶性、对称性等性质进行考查.题型一：曲率与曲率半径问题【例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率(1)求曲线在的曲率；(2)已知函数，求曲率的平方的最大值；(3)函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.【解】（1）因为，则，，所以.（2）因为（），则，，所以，则，令，则，，设，则，显然当时，，单调递减，所以，所以最大值为1.（3）∵，，∴，∴，，因为在两个不同的点处曲率为0，所以有两个大于0的不同实数解，即有两个不同的零点.令，∵，∴在上单调递增，且值域为R，所以有两个大于0的实数解，等价于，有两个不同的实数解.令，，则，令得，时，，即单调递增；时，，即单调递减；所以，又因为当时，；当时，；的图象如下所示：又因为有两个实数解，所以.所以m的取值范围为.【解题技法】本题可从以下方面入手：（1）根据曲率公式求解即可；（2）将函数在不同点的曲率问题，通过同构将原问题转换为有两个实数解，通过导数判断单调性，从而确定图象的变化趋势即可.【跟踪训练】函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”；③函数图像上任意两点之间的“曲率”；④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是．其中正确命题的序号为(填上所有正确命题的序号)．【答案】①③．【解析】因当时，，曲率为，是常数,故①是正确的；又因当时,,故,所以②是错误的；因，令故所以,故③正确成立；，因,故,所以,所以④是错误的.故选：①③．题型二：曼哈顿距离与折线距离【例2】“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为:如果在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，那么称为两点间的曼哈顿距离．(1)已知点分别在直线上，点与点的曼哈顿距离分别为，求和的最小值;(2)已知点是曲线上的动点，其中，点与点的曼哈顿距离记为，求的最大值．参考数据【解】（1）由题可设，又，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，故，即的最小值为2；因为在直线上，故可设，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，且当时，，则，即的最小值为1．（2）因为是曲线上的动点，故设，所以当时，，，所以在上单调递减，故；当时，，，所以在上单调递增，故；当时，，所以在上单调递增，故；又，所以，，综上，的最大值为.【解题技法】本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学知识处理即可.【跟踪训练】“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点表示的长度，因为直线的方程为，所以，即，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合（平行于轴）时，最小，如图所示，设，，则，，由三角函数知识可知，其中，则其最大值是，所以，故D正确.故选D.

题型三：双曲正余弦函数问题【例3】悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图像，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质:①平方关系:，②导数关系:.(1)直接写出具有的类似①、②的性质（不需要证明）：(2)证明:当时，;(3)求的最小值.【解】（1）平方关系：；导数关系：；（2）构造函数，，可知，由，故恒成立，故单调递增，则，故对任意，恒成立，满足题意；（3），，令，则，令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0.【解题技法】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.【跟踪训练】定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．(1)求函数的最小值；(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．【解】（1）依题意有，令，则.因为在R上单调递增，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以，所以当时，即时，函数有最小值．（2）函数在上的最小值为，即函数有最小值．因为令，则，因为最小值为，所以，解得，所以正实数的值为．（3）证明：令，定义域为，则，又，所以是奇函数，因为是上的增函数，所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1，所以函数在上的值域为，直线过定点，如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，即对任意实数，关于的方程总有实根．题型四：凹凸函数【例4】函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师JohanJensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．JohanJensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：(2)在中，求的最小值；(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）【解】（1）由凸函数的定义有，故．（2）由基本不等式有，当且仅当时取等号．由Jensen不等式有，从而有，即，当且仅当时取等号．故的最小值为．（3）证明：，从而，进而有，所以函数为上的凸函数．【解题技法】本题求解的关键有两个：一是理解凸函数的定义，抓住凸函数的核心特征来进行证明；二是理解Jensen不等式的结构特点.【跟踪训练】设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：在上为凹函数；(2)设，且，求的最小值；(3)设为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）【解】（1）设，则，所以在上为凹函数.（2）令，由（1）知在上为凹函数，所以函数在上也为凹函数.由琴生不等式，得，即，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.（3）设，因为，所以，要证，只需证，由琴生不等式，只需证在上为凹函数.设，则，下证，即证，即证，化简得，即证又式显然成立，所以成立，在上为凹函数，则得证.题型五：切线函数新定义【例5】定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【解】（1）不是，理由如下：由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．（2）由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；（3）证明：设对应的切点为，，对应的切点为，，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【解题技法】本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．【跟踪训练】已知函数，设函数的导函数为，若函数和的图象在处的两条切线和平行，则称为函数和的“关联切点”．(1)证明：对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个；(2)若两条切线和之间的距离为1，证明：（其中e为自然对数的底数）．【解析】（1），，则，．设为函数和的一个“关联切点”，则，即

①，则有，，．令，，因为，所以在上单调递增．当时，，，所以在上有且仅有一个零点；当时，，，所以在上有且仅有一个零点．所以当a为正实数时，在上有且仅有一个零点．即方程有且仅有一个正根．所以对于任意的正实数a，函数和的“关联切点”有且只有一个．（2）易知，又，即，切线，即．由题意知，化简得．令，，因为恒成立，所以在上单调递增，且，，所以．由①式知，所以．由的单调性可得在上单调递减，所以，再由函数在单调递增，即可得，得证.题型六：非典型新定义函数【例6】已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.(1)记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；(2)设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；(3)已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.【解】（1）根据“完美三角形函数”的定义可得充要条件.（2），，①当时，，由，得，②当时，，满足题意，③当时，，由，得，综上，实数的取值范围是.（3）由题可得，，由，得，故，假设存在满足题意的点，且，则，而，故，事实上，由，得，从而，矛盾，故不存在点满足题意.【解题技法】本题第三问解题的关键是由，变换得到，结合，分析得到矛盾.【跟踪训练】若对实数，函数、满足，且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”已知，．(1)若1是平滑函数的“平滑点”，（ⅰ）求实数a，b的值；（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数t的取值范围；(2)判断是否存在，使得对任意，函数存在正的“平滑点”，并说明理由．【解析】（1）（ⅰ）由，，得，，因为1是平滑函数的“平滑点”，则，解得．（ⅱ）由题意，，过点作的切线，设切点，则切线方程：，故题意等价于方程：有3个不同根，设，则，令，得；令，得或，所以函数在上单调递增，在和上单调递减，又因为，，，且当时，，如图所示所以．（2）题意等价于：是否，使得对，有解，消去a，得，，由，可得，故题意等价于是否，使得时，成立，又∵当时，，故题意等价于当时，是否有解，设，，则，当时，，当时，,∴在上单调递减，在上单调递增，故，∴有解，即存在满足题意的a．1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值【答案】B【解析】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.2．（22-23高二上·四川遂宁·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（）A．若点，则B．若点，则在轴上存在点，使得C．若点，点在直线上，则的最小值是5D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4【答案】D【解析】A选项，，A错误；B选项，设，则，当且仅当时，等号成立，故在轴上不存在点，使得，B错误；C选项，点在直线上，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，C错误；D选项，设，此时，故的值可能为4，D正确.故选：D3．（多选题）意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4—1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为.则下列关于双曲正､余弦函数结论中正确的是（

）A．B．C．D．为偶函数，且存在最小值【答案】ACD【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故函数为偶函数，由于，故(当且仅当时，等号成立)，故D正确.故选：ACD.4．（多选题）若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围的子集有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依题意得，若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根，令，则，令，解得；令，解得，∴在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，当时，，故，故选：BD．5．（多选题）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（）A．（其中） B．数列是递减数列C． D．数列的前n项和【答案】AD【解析】对于A选项，由得，所以，故A正确.二次函数有两个不等式实根，，不妨设，因为，所以，在横坐标为的点处的切线方程为：，令，则，因为所以，即所以为公比是2，首项为1的等比数列.所以，故BC错.对于D选项，，得，故D正确.故选：AD.6．（2023高三·全国·专题练习）我们通常用曲率来衡量曲线弯曲的程度，它表明曲线偏离直线的程度曲率的倒数就是曲率半径，即，曲率半径等于最接近该点处曲线的圆弧的半径根据微积分推导，对于可导函数，在点处的曲率半径，其中是的导函数那么对于椭圆：，点在曲线上任意移动，则在点处的曲率半径最小值为．【答案】【解析】对于椭圆：，它关于轴对称，则点在轴上方，与在轴下方的曲率半径是相等的，不妨设点在轴上方，则，则，得，而，则曲率半径，∵，则当或时，取最小，则曲率半径最小值为．7．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．(1)求曲线在处的曲率的平方；(2)求余弦曲线曲率的最大值；【解】（1）因为，则，，所以，故.（2）因为，则，，所以，则，令，则，，设，则，显然当时，，单调递减，所以，则最大值为1，所以的最大值为1．8．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，两点的“曼哈顿距离”定义为，记为，如点的“曼哈顿距离”为5，记为.(1)若点是满足的动点的集合，求点集所占区域的面积；(2)若动点在直线上，动点在函数的图象上，求的最小值；(3)设点，动点在函数的图象上，的最大值记为，求的最小值.【解】（1）设点，由，得，的图象是以原点为中心，顺次连接四点所形成的正方形，将其上移2个单位长度即得的图象，所以点集所占区域是：以四点为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设，则，将看成关于的函数，则在或时取得最小值，即，令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，此时，所以的最小值为3.（3）设点，则，若存在实数，使，则对任意的成立，令，则，令，则，所以：，所以，令，则是上的偶函数，当时，若，即，则，当且仅当时等号成立；若，则，当且仅当时等号成立，所以存在实数且，使得的最小值为.9．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)求的最小值．【解】（1）求导易知,.（2）构造函数，，由（1）可知，①当时，由,可知，，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；②当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数的取值范围为．（3），，令，则；令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0．10．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”.(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.(2)已知函数，其中.求的拐点.【解】（1），，由题意得，即，解得，且，即，解得，故，所以，令得或，令得，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值