专题04 三角函数新定义问题（教师版）

高考数学高考数学勤思笃学勤思笃学勤思笃学勤思笃学专题04三角函数新定义问题三角函数新定义问题；主要把握住三角函数与其它知识点之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题.特别注意：新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，．题型一新定义距离问题【例1】人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．已知二维空间两个点、，则其曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为．已知，、、、，若，，则．【答案】【解析】因为，，所以，因为，所以．因为，所以，因为，则，所以．因为，，所以．又因为，，所以，所以．【解题技法】新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.【跟踪训练】人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（

）A．7 B． C．4 D．【答案】A【解析】由，，，，，所以，故，则，整理得，故选A题型二新定义函数【例2】已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数．(1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论）(2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明；(3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值．【解】（1）对于，令，则，则，，所以存在，，使得，所以函数是“函数”.对于函数，函数的最小正周期为，不妨研究在这个周期的性质，当时，，则，当时，，则，综上，，所以函数不是“函数”.所以得函数是“函数”，函数不是“函数”.（2）取，为函数，证明如下：令，则，又，此时，，则，所以是函数．（3）的最小值为1，理由如下：因为是以为最小正周期的周期函数，所以．假设，则，所以，矛盾；所以必有，而函数的周期为1，且显然不是是函数，综上，的最小值为1．【解题技法】关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.【跟踪训练】定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：(1)求“余正弦”函数的定义域；(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.【解】（1）的定义域为.（2）对于函数，，所以是偶函数.（3），在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减.在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增.所以的最小正周期为，在上是严格减函数，在上是严格增函数.结合的单调性可知，的值域为.1．人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为.若，，则A，B之间的余弦距离为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题，，，所以A，B之间的余弦距离为.故选：A.2．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间上任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：，若，，则关于函数、在上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（

）A．与都是B．是而不是C．不是而是D．与都不是【答案】B【解析】函数，显然在上单调递增，对区间上任意划分：，则（），所以取，对区间上任意划分：，恒成立，故在上是“绝对差有界函数”；对于函数，对区间上的划分：，，所以，因此，不存在常数满足条件，故在上不是“绝对差有界函数”.故选：B.3．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦函数：，则，无穷数列，，，若，则a的值为．【答案】【解析】，故；不妨设，其中则有，，……，所以，，，解得或则，因此4．平面直角坐标系中，将函数，上满足，的点，称为函数的“正格点”．若函数，，与函数的图象存在正格点交点，则这两个函数图象的所有交点个数为个．【答案】5【解析】由已知，函数与函数的图象存在正格点交点，而满足，的点，称为函数的“正格点”，所以两函数的正格点交点只能是，则，所以，所以，而，所以，所以函数，，画出两函数图象，可知：

由两函数图象可知，两个函数图象交点个数为5个（其中D、E两点非常接近），5．对于函数，，如果存在一组正常数，，…，，（其中k为正整数），满足使得当x取任意实数时，有，则称函数具有“性质”.(1)求证：函数同时具有“性质”和“性质”；(2)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.【解】（1）因为，所以具有“性质”；因为，所以具有“性质”；（2）①若，此时取即可；②若，采取反证法，若不存在，使得，则恒成立，因为，，，再由恒成立，故，进而，与，，是不全为0矛盾；故存在，使得．③若，由②中可知，因为所以，命题成立．综上：原命题得证.6．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为.（1）设函数，求证：；（2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.【解】（1）∴取满足条件，（2）由题知：.可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且∵图像与有且仅有四个不同的交点（3）其中∴当即时，取得最大值.此时令则由知解之得，因为在上单调递增，所以在上单调递减，从而7．对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”.(1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②；(2)求证：当时，是“3级周天函数”；(3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得.【解】（1）令，，则，所以是“2级周天函数”；，不对任意x都成立，所以不是“2级周天函数”；（2）令，，，则所以是“3级周天函数”；（3）对其进行分类讨论：1°若，则，此时取，则；2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立，由（2）可知是“3级周天函数”，所以，所以，因为，，，所以，再由恒成立，所以，进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾，故存在，使得；3°若，由，，得，所以存在，使得，所以命题成立.8．已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，．对于函数，若存在且，使得，则称函数是函数．(1)判断函数，是否是函数；（只需写出结论）(2)已知，请写出的一个值，使得为函数，并给出证明；(3)设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为．若不是函数，求的最小值．【解】（1）对于，令，则，则，，所以存在，，使得，所以函数是“函数”.对于函数，函数的最小正周期为，不妨研究在这个周期的性质，当时，，则，当时，，则，综上，，所以函数不是“函数”.所以得函数是“函数”，函数不是“函数”.（2）取，为函数，证明如下：令，则，又，此时，，则，所以是函数．（3）的最小值为1，理由如下：因为是以为最小正周期的周期函数，所以．假设，则，所以，矛盾；所以必有，而函数的周期为1，且显然不是是函数，综上，的最小值为1．9．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；①；②；③.(2)求证：，.【解】（1）证明：选①，；选②，；选③，.，令，因为函数、均为上的增函数，故函数也为上的增函数，故，则，所以，所以，当且仅当时取“”，所以的最小值为.（2）证明：，，当时，，，所以，所以，所以成立；当时，则，且正弦函数在上