新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习二（教师版）

空间几何解答题巩固练习二1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．

(1)求；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）四边形是菱形，，又平面，平面，平面，同理可得：平面．，平面，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可得：，四边形是平行四边形；连接交于点，连接交于点，连接，设，，则，延长交于点，连接，平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，则，为的中点，．，，即，解得：，.（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，正方向分别为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，；设平面的法向量为，则，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.2．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.(1)若直线平面，求证：平面；(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四点共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，四边形为平行四边形，，则，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；平面轴，平面平面，平面轴，平面的一个法向量，，即锐二面角的余弦值为.3．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.(1)求证：平面；(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）在三棱台中，为中点，则，又，，，四边形为平行四边形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，连接，，，为中点，；以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.4．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1）延长，设其交点为，连接，则为平面与平面的交线，取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．证明如下：延长，设其交点为，连接，则为平面与平面的交线，因为，所以，又，所以，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，取的中点，连接，∵分别为的中点，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．

（2）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得，所以，设平面的法向量为，则得，取得，，平面的一个法向量.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.

5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）连接，.在正六棱柱中，因为底面为正六边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，因为为线段上的动点，所以平面，所以平面.（2）取的中点为Q，连接，.因为底面边长为1，所以，因为，所以，所以.易得，，，所以平面，所以，因为，所以平面，即为平面