新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习三（教师版）

空间几何解答题巩固练习三1．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，平面，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面.（2）因为，为的中点，，所以，

∴为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面的一个法向量，设，∵，，设平面的法向量为，则，即，取，由，解得或（舍去），∵，点到平面距离为，∴以为顶点的四面体体积为.2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【解析】（1）依题意，在正四棱台中，，所以上底面积，下底面积，设正四棱台的高为，则.连接，则，所以，设侧棱与底面所成的角为，则，由于线面角的取值范围是，所以.（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，，设线段上存在一点，满足，，，则，，若，则，即，解得，舍去，所以在线段上不存在一点，使得.

3．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．【答案】(1)答案见解析；(2)【解析】（1）

如图1，分别延长，交于点，连接，则即为所求交线.因为，平面，平面，所以，平面，平面.又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，.则，，，，所以，，，.根据正方体的性质可知，平面，所以即为平面的一个法向量.设是平面的一个法向量，所以，，即，令，则，，所以，是平面的一个法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.4．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，

，所以，所以，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以.因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，

则，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，记直线与平面所成的角为，则，解得（负值舍去），即.设平面的一个法向量为，，，则即令，则.所以.因此平面与平面所成角的余弦值为.5．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.

(1)求证：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值；(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，.【解析】（1）证明：在梯形中，，，，，，，，平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：取中点，连接，，，，，，，为二面角的平面角.，，，，.

（3）由（2）知：①当与重合时，；②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，在平面与平面的交线上，在