新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习五（教师版）

空间几何解答题巩固练习五1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）取的中点，连接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.∵，分别为，的中点，∴，且.又，，∴，且.∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.（2）∵平面，平面，所以，又因为，所以三者两两互相垂直，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.∵平面，∴直线与平面所成的角为.∴.∴.可取平面的法向量，设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，∴，∴二面角的余弦值为.

2．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）如图所示：

取中点，连接，分别为的中点，且底面为矩形，所以，且，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，且平面，又因为，平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以由面面平行的性质可知平面（2）如图所示：

注意到侧面为正三角形以及为的中点，所以由等边三角形三线合一得，又因为，且面，面，，所以面，又因为面，所以，又因为底面为矩形，所以，因为，面，面，所以面，因为面，所以，又，所以，又由三线合一，又，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为，所以，又因为为的中点，，所以，所以，，，不妨设平面与平面的法向量分别为，所以有以及，即分别有以及，分别令，并解得，不妨设平面与平面的夹角为，所以；综上所述：平面与平面的夹角的余弦值为.3．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；(2)若，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)靠近的三等分点处；(2)【解析】（1）过作直线与平行，延长与交于点，连接与的交点即为点．因为底面是矩形，是的中点，所以，且．又，所以，因为是的中点，可得，则，所以．故在棱的靠近的三等分点处．

（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，．

设平面的法向量为，则即令，则，所以．．设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．4．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）如图，以为坐标原点，为轴，平面为平面，建立空间直角坐标系，则，设，显然，当时，平面与平面共面，此时的锐二面角一定不是最大的，所以，所以，

设平面的法向量为，则即令，则．又平面的一个法向量为，则，又，所以，所以，当时，等号成立，由得，所以，即点在面上．所以平面平面，所以，所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为．（2）由（1）知平面，所以．又，且，平面，所以平面．又平面，所以．由，且平面，所以平面．又平面，所以平面平面．5．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.(1)求四棱锥的体积的最大值；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.【答案】(1)；(2)平面和平面夹角余弦值的最小值为【解析】（1）解：取的中点，连接，因为，则，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，面积为，则四棱锥的体积最大值为；（2）解：连接，因为，所以，所以为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，过作于点，由题意得平面，设,,，所