2024-2025学年北师大版七年级数学下册 第一章《三角形的证明》复习卷二

第一章《三角形的证明》

复习巩固卷（2）

考试时间:120分钟满分150分

一、单选题（本大题共10小题，总分40分）

1.若一个等腰三角形的腰长为4,则它的底边长可能是（）

A.7B.8C.9D.10

2.用反证法证明命题：“已知△ABC,AB=AC,求证：/B<90°.”第一步应先假设（）

A./旋90°B.ZB>90°C.ZB<90°D.AB^AC

3.如图，在△AOE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且/尸=30°,ZE=45°,ZD=90°,

则/AB尸的度数为（）

A.30°B.15°C.60°D.25°

4.下列给出的三条线段的长，其中能组成直角三角形的是（）

A.3、5、7B.6、8、9C.2、V4,V5D.夜，遍,V5

5.如图，在Rtz\A2C中，ZB=90°,根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G,若3G=1,AC

C.8D.10

6.如图，正方形0A2C的边长为1,在数轴上，以原点。为圆心，对角线的长为半径画弧，交正

半轴于一点，则这个点表示的实数是（）

CB

r7i\

/\

/\

；

-----L/iAll——!------>

0x

A.1B.1.5C.V3D.V2

7.如图，在△ABC中，NA2C的平分线与BC的垂直平分线交于点D,连接CD若NA=70°,ZABC

=60°,则/AC。的度数为（）

A.15°B.20°C.18°D.22°

8.如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC,

点。为x轴正半轴上一动点且在点C的右侧，连接BD,以线段BD为边在第一象限内作等边

连接AC,若AC=4,则点。的坐标为（)

(0,2)C.(2,0)D.(0,4)

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,DE为AB边的垂直平分线，且CO=OE=2,则AB=（）

C.2V3D.4V3

10.如图，直线/经过线段A3的中点O,点尸在直线/上，且阴=尸2,则下列结论：①/%。=/尸80；

②/A=30°；③PO平分/APB；④尸O垂直平分线段AB.其中正确的个数有（）

C.3个D.4个

二、填空题（本大题共5小题，总分20分）

11.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=5,A3的垂直平分线交AC于D,交AB于E,则△BCD的周

长为

12.如图，在AA3c中，ZBAC=90°,ADLBC,垂足为点D若N2=2NC,BC=4,则CD=

13.BC的垂直平分线跖与AC相交于点。，若△A3。的周长是9,则AB的

14.如图，在△ABC中，8。平分/ABC,CO平分/ACB,过点。作MN〃BC,MN分别与AB、AC相交

于点M、N.若△ABC的周长为18,的周长为12,则BC=

A

B

15.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,在△ABC的内部取一点。，连接。4,OB,0C,恰有。4=0C,

ZOBA=20°,ZOCA=40°.给出下列说法：①/3。4=140°；②△Q4B是等腰三角形；③NOBC

=30°；④△OBC是等腰三角形；⑤AABC是等边三角形.其中说法正确的是，（填序号）

三、解答题（本大题共10小题，总分90分）

16.已知：如图，直线/是线段的垂直平分线，C、。是/上任意两点（除A3的中点外）.求证：ZCAD

=ZCBD.

17.已知，如图，在△ABC中，ZABC=2ZC,8。平分NA5C,交AC于点。，求证：点。在5C的垂

直平分线上.

18.有一块薄铁皮ABC。，NB=90。，各边的尺寸如图所示，若沿对角线AC剪开，得到的两块都是“直

角三角形”形状吗？为什么？

19.已知△ABC的三边分别为〃、b、c且满足M-6a+9++J(c-5尸=0,

(1)求〃、b、c的值；

(2)试判断△ABC的形状.

20.如图，在△ABC中，OE是AC的垂直平分线，ZB=ZADB.

(1)求证：AB—CD；

(2)若NC=30°,AB=6f求OE的长.

A

E

BDC

21.如图，在△ABC中，AB=AC,M、N分别是AB,AC边上的点，并且MN〃BC.

(1)求证：是等腰三角形；

(2)点P是初V上的一点，并且平分NA2C,求证：是等腰三角形.

22.如图，在△ABC中，ZC=90°,/ABC的平分线交AC于点O,若BC=6,AB=10.

(1)求AC的长；

(2)过点。作垂足为E,求DE的长.

23.如图，CD为Rt^ABC斜边上的高，NBAC的平分线分别交CD,2C于点£、F,FG±AB,垂足为点

G.

(1)求证：CE=FG.

(2)若AC=12,AB=15,CE=4,求△ABC的面积.

24.如图，ZABC=ZADC=90°,AC与8。相交于点E,ZABD=ZADB.

(1)求证：AC垂直平分8。；

(2)过点B作BE〃C。交CA的延长线于尸，如果AB=AF；

①求证：ABCD是等边三角形；

②如果G、，分别是线段AC、线段C。上的动点，当GH+A”为最小值时，请确定点”的位置，并思

考此时G8与CH有怎样的数量关系.

25.如图，△ABC中，BA=BC,CO_LAB于点O,AO=4,BO=6.

(1)求BC,AC的长；

(2)若点。是射线OB上的一个动点，作OELAC于点E,连结OE.

①当点£＞在线段上时，若△AOE是以A0为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的0D的长.

②设DE交直线BC于点F,连结OF,若SAOBF：SAOCF=1：4,贝!]BD的长为(直

接写出所有结果).

参考答案

一、单选题（本大题共10小题，总分40分）

题号12345678910

答案AABDADBADC

二、填空题（本大题共5小题，总分20分）

11.13.

12.3.

134.

14.6.

15.①②③④.

三、解答题（本大题共10小题，总分90分）

16.证明：•.•直线/是线段A2的垂直平分线且C、。在直线/上,

：.CA=CB,DA=DB,

ZCAB=ZCBA,ZDAB=/DBA,

：.ZCAD=ZCBD.

17.证明：•.•BZ）平分NA2C,

ZABC=2ZDBC,

•在△ABC中，ZABC=2ZC,

：.ZC=ZDBC,

：.DB=DC,

点D在BC的垂直平分线上.

18.解：都是直角三角形.理由如下：

连接AC.

在△ABC中，VZB=90°,

/.△ABC为直角三角形；

：.AC2=AB2+BC2=8,

又：4。2+/^2=1+8=9,而。C2=9,

:.AC2+AD2=DC2,

...△ACD也为直角三角形.

D

19.解：⑴：a2-6a+9++J(c-5-=0,

(a-3)2++J(c-5)2=0,

.\a-3=0,b-4=0,c-5=0,

・・.a=3,b=4,c=5；

(2)Vtz2+/?2=32+42=25,?=25,

a2+b2=c1,

/.△ABC是直角三角形.

20.(1)证明：YOE是AC的垂直平分线，

：.AD=CD,

,//B=/ADB,

：.AB=AD,

：.AB=CD；

(2)解：由(1)可知，AB=CD,

：.CD=AB=6,

・・,OE是AC的垂直平分线，

：.DE±AC,

:・/DEC=90°,

：.DEDC=3.

21.证明：(1)9：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

♦：MN〃BC,

：.ZAMN=ZABC,/ANM=/C,

：.NAMN=NANM,

.\AM=AN,

•••△AMN是等腰三角形；

(2)尸平分NA3C,

：.ZMBP=ZCBP,

,:MN〃BC,

：.ZMPB=ZCBP,

：.NMBP=NMPB,

：.MB=MP,

・・・△3PM是等腰三角形.

22.解：(1)在RtZ\A5C中，由勾股定理得：AC=yJAB2-BC2=V102-62=8；

(2)如图，过点。作。石，AB于点E,

CD

VZC=90°,3。是NA8C的平分线，

:,DE=CD,

设CD=x,贝

,**s/1ABC=SAABD+S丛BCD，

111

x6X8=4X6CD+4x10DE,

222

即24=3x+5x,

解得x=3,

即DE=3.

23.(1)证明：•・・A尸是NA4c的平分线，ZACB=90°,FG±AB,

:・FC=FG,NCAF=/DAE=与/BAC,

ZCAF+ZCFA=90°,ZDAE+ZAED=90°,

ZAED=ZAFC,

NAED=/CEF,

AZCEF=ZAFC,

：.CE=CF,

:・CE=FG.

(2)解：VC£=4,

:・FG=CF=CE=4,

*：AC=12,AB=15,

1111

,•SAABC=SAACF+SAABF=xCF+xFG=1x12x4+,x15x4=54,

所以△ABC的面积为54.

24.(1)证明：VZABD=ZADBfZABC=ZADC=90°,

：.AB=AD,ZABC-ZABD=ZADC-ZADB,

・・・A在8。的垂直平分上，ZCBD=ZCDB,

：・CB=CD,

・・・C在3。的垂直平分上，

・・・AC垂直平分5。；

(2)①证明：设N_F=a,

9：AB=AF,

・・•NA4c是AAB尸的外角，

ZBAC=ZF+ZAFB=2a,

由(1)AC.LBD,CB=CD,

：.ZBCE=ZDCE,

'CBF//CD,

：.NF=NDCE,

/./F=/BCE=a,

VZABC=90°,

：.ZBCE+ZBAC=90°，即a+2a=90°,

则a=30°,

AZDCB=2ZBCE=60°,

,:BC=CD,

...△BCD是等边三角形；

②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH,

理由：

延长AD至A',使D4'=AD,

"：CD.LAD,

与A'关于CD成轴对称，过A'作A'GJ_AC于G交CD于”，连接

：.AH=A'H,

：.AH+GH=A'H+GH=A'G