2024-2025学年八年级数学下册专项练习：矩形的性质与判定【九大题型】

专题18.4矩形的性质与判定【九大题型】

【人教版】

。妙aI对无加

【题型1由矩形的性质求线段的长度】...........................................................1

【题型2由矩形的性质求角的度数1............................................................................................5

【题型3由矩形的性质求面积】.................................................................7

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】.....................................................10

型

[题

5矩形判定的条件】....................................................................15

型

[题

6证明四边形是矩形】..................................................................18

型

[题

型矩形中多结论问题】..................................................................

[题723

8矩形的判定与性质综合】..............................................................28

【题型9直角三角形斜边的中线】...............................................................33

1g

。。片声，工二

【知识点1矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【知识点2矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对

角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，

分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.

【题型1由矩形的性质求线段的长度】

【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形4BC。中，AD=4V2,对角线AC与8。相

CE=OE,则。E的长为（

C.2V2D.2

【分析】根据矩形的性质得出NAZ）C=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出OD

=OC,求出OO=CO=O。，根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，根据等

边三角形的性质得出/。。4=60°,求出/D4c=90°-ZDCA=30°,再根据含30度

角的直角三角形的性质得出DE=豹。即可.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

ZADC=90°,AC=BD,OA=OCfOB=OD,

：.OD=OC,

VDEXAC,CE=OE,

：.OD=CD,

即OD=OC=CD,

•••△QOC是等边三角形，

：.ZDCA=60°,

ZDAC=90°-NOGA=30°,

VZ）E±AC,

：.ZDEA=90°,

i

：.DE=-AD,

2

VAZ）=4V2,

.".DE—2s/2,

故选：C

【变式1-1］（2022春•开州区期末）如图，在矩形A2CZ）中，对角线AC、BD相交于点O,

。尸垂直平分。C,交AC于点E,交BC于点R连接AR若BD=2值,DF=2,则AF

的长为（）

A.V6B.2V2C.V7D.3

【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，OD=IBD=W,再根据D尸垂直平分OC,

得DC=OD=®分别在RtZXOCF,RtZYDCB中，利用勾股定理求出CR8c的长,

从而求出BF,在RtAABF中利用勾股定理求出AF的长.

【解答】解：：四边形ABCD是矩形.

C.AB^CD,0D=-BD=V3.

2

：£）下垂直平分OC.

：.CD=OD=^/3.

：.AB^CD=V3.

在RtABCD中，

BC=>/BD2-CD2=J(2V3)2-(V3)2=3.

在RtADCF中，

CF=y/DF2-DC2=J22-(如>=i.

：.BF=BC-CF=3-1=2.

在RtAABF中,

AF=y/AB2+BF2=J(V3)2+22=V7.

故选：C.

【变式1-2](2022•碑林区校级模拟)如图，在矩形ABC。中，。是BD的中点，E为AD

边上一点，且有AE=OB=2.连接OE,若/AEO=75°,则。E的长为()

A.|B.V3C.2D.2V3-2

【分析】连接AC,OE,根据矩形的性质可得AC=4,由NAEO=75°,可得/E4O=

30°,进而利用含30度角的直角三角形即可解决问题.

在矩形4BCD中，

是8。的中点,

.\OA=OB,

'：AE=OB=2.

.\AE—OA=2.

AAC=4,

VZAEO=75°,

：.ZEAO=30°,

：.CD=Uc=2,

2

：.AD=V3CD=2V3,

：.DE=AD-AE=2^3-2.

故选：D.

【变式1-3］（2022•南岗区期末）如图，矩形ABC。中，点E,尸分别在A。，CD±,且

CF=2DF=2,连接BE,EF,BF,且平分NEBC,/EFB=45°,连接CE交BF于

【分析】在BC上截取BN,使BN=BE,过点G作GHVEF于点H,证明△可■?0△/即

(A4S),推出£»=尸C=2,CN=DF=1,设BN=BE=x,作GQ_LBE于。，GPLBC

于P.利用勾股定理构建方程求出x,再证明署=饕=］即可解决问题.

GCoC6

【解答】解：在BC上截取BN,使BN=BE,过点G作尸于点〃，

:BF平分/EBC,

：.ZEBF=ZCBF,

又,；BE=BN,BF=BF,

：./\BEF^/\BNF(SAS),

:.EF=NF,/EFB=/NFB=45°,

：.ZEFN=9Q°,

:.NEFD+/NFC=9Q°,

又,：NEFD+NFED=90°,

ZNFC=ZFED,

又,：/D=/NCF=90°,

:ANFC<AFED(A4S),

:.ED=FC=2,

在RtZXFED中，。尸=1,

：.EF=y/ED2+DF2=Vl2+22=V5,

在RtA££»C中，EC=>JDE2+DC2=V22+32=V13,

设BN=BE=x,作GQ_LBE于。，GPLBC于P.

在RtAABE中，'：AB-+AE1=BE2,

32+(尤-1)2=/,

解得x=5,

:BG平分/EBC,GQLBE,GPLBC,

C.GQ^GP,

•SABEG_1'BEGQ_EG

•.—1—,

S^BGC-BCGPGC

.EG_BE_5

・.GC-BC-6’

：.EG=-EC=—,

1111

故答案为空^

11

【题型2由矩形的性质求角的度数】

【例2】（2022春•漂水区期中）如图，在矩形ABC。中，AC.BD交于点O,DE±ACT

点E,ZAOD^110°,则NCOE大小是（）

【分析】由矩形的性质得出。C=OO,得出NOOC=NOCO=55°,由直角三角形的性

质求出/。。5=20°,即可得出答案.

【解答】解：；四边形ABC。是矩形，

AZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OC^OD,

：.ZODC=ZOCD,

VZA（?D=110°,

AZDOE=10°,ZODC=ZOCD^~（180°-70°）=55°,

2

VDEXAC,

：.ZODE=90°-ZDOE=20°,

：.ZCDE=ZODC-ZODE=55°-20°=35°；

故选：C.

【变式2-1]（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得NEDF

=22°,则NfDB的大小是（）

A.22°B.34°C.24°D.68°

【分析】由/FDB=90°-ZBDC.根据已知条件易求的度数.

【解答】解：•:NEDF=22°,ZADC=90°,

：.ZEDC=U2a.

:.NBDC=56°.

：.ZFDB=900-ZBDC=34°.

故选：B.

【变式2-2］（2022春•江夏区期中）如图，矩形ABC。中，AB=2,AO=1,点M在边。C

上，若AM平分则/AMD的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.30°

【分析】由矩形的性质和角平分线定义证出得出BM=AB=2,因此

BC=：BM,由直角三角形的性质得出NBMC=30°,即可得出答案.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形

.,.ZD=ZC=90°,AD=BC=1,AB//CD,

：.ZBAM=ZAMD,

平分NDWB,

ZAMD=ZAMB,

J.ZBAM^ZAMB,

：.BM=AB=2,

：.BC=

：.ZBMC=3>0°,

1

：.ZAMD=ZAMB^-（180°-30°）=75°；

2

故选：C.

【变式2-3］（2022春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形

ABC。的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABC。的最大内角的大小

【分析】过。作于点£,根据面积的关系可以得到A£>=2DE,则/ZME=30°,

再根据平行四边形的性质即可求解.

【解答】解：如图，过D作于点E,

:矩形的面积平行四边形ABC»=2A8・DE,

:.BF=2DE,

•/四边形ABCD是平行四边形，

C.AB//CD,AD=BC,

：.ZDAE+ZABC=ISO°,

;BF=BC,

：.AD=BF=2DE,

：.ZDAE=30°,

AZABC=180°-ZZ)AE=150°,

即平行四边形4BCD的最大内角的大小是150°,

故答案为：150°.

【题型3由矩形的性质求面积】

【例3】(2022春•浦东新区期末)我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形

叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm,则矩形的面积为25百

【分析】根据“和谐矩形”的性质求出/4。8=30°,由含30。角的直角三角形的性质

求出AB、AD的长，即可得出答案.

【解答】解:•••四边形ABC。是“和谐矩形”,

C.OA^OC,OB=OD,AC=2£)=10,ZBA£>=90°,ZCAD：ZBAC=1：2,

：.OA=OD,ZCAD=30°,ZBAC=60°,

AZADB^ZCAD^30°,

：.AB^^BD=5,AD=V3AB=5V3,

矩形ABC。的面积=43XAO=5X5g=258（cm2）；

故答案为：25V3.

【变式3-1］（2022•成都）如图，过矩形ABC。的对角线8。上一点K分别作矩形两边的

平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积Si与矩形QCNK的面积S2的大小关系是

S1=S2；（填或或“=”）

【分析】根据矩形的性质，可知△A3。的面积等于△C£>8的面积，AMBK的面积等于

△QKB的面积，△PK£）的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解.

【解答】解：.••四边形ABCO是矩形，四边形是矩形，四边形PKN。是矩形，

的面积=Z\C£）B的面积，的面积=4QKB的面积，△PK_D的面积=△

NOK的面积，

:.LABD的面积-4MBK的面积-APKD的面积=2\。。2的面积-△QKB的面积=△

NDK的面积，

：.Si=S2.

故答案为S1=S2.

【变式3-2］（2022春•成都期末）如图，点E是矩形ABC。边AD上一动点，连接BE,以

BE边作矩形BEFG,使得FG始终经过点C.若矩形ABCD的面积为si,矩形BEFG的

面积为S2，则S1与S2的大小关系是（

C.51>52D.不确定

【分析】连接CE,根据矩形A8CO和矩形8EFG都与三角形CBE同底等高，进而可以

解决问题.

【解答】解：如图，连接CE,

D

G

AB

•・•矩形ABC。的面积为si，矩形的面积为必

•'-SI=2SACBEJS2=2S&CBE，

则S\—S2.

故选：B.

【变式3-3](2022春•九龙坡区校级期中)已知：矩形ABC。中，延长BC至E,使BE=

BD,尸为OE的中点，连接AACF.

(1)求证：CF±AF；

(2)若A8=10aw,BC=\6cm,求△AQF的面积.

【分析】(1)连接8尸，根据矩形的性质可得A£)=2C,NAOC=NBCr)=90°,根据

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得C/=DR根据等边对等角可得

ZDCF,然后求出利用“边角边”证明△?!£)/和△BCP全等，根据全

等三角形对应角相等可得尸C,再根据等腰三角形三线合一可得然

后求出/AbC=90°,即可得证；

(2)根据全等三角形对应边上的高相等可得点尸到A。、8C的距离相等，都是AB的一

半，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】(1)证明：如图，连接在矩形ABCD中，AO=BC,NADC=NBCD=90°,

•.•尸为QE的中点,

；.CF=DF,

：.ZCDF=ZDCF,

：.ZADC+ZCDF^ZBCD+ZDCF,

即ZADF=ZBCF,

在△ADf'和△BCF中，

AD=BC

^ADF=乙BCF,

CF=DF

:.4ADF咨4BCF(SAS),

・•・ZAFD=ZBFC,

•：BE=BD,尸为。石的中点，

：.BF±DEf

：.ZAFC=ZAFB+ZBFC=ZAFB+ZAFD=90°,

：.CF±AF；

(2)解：,:△ADF"4BCF,

・•・点尸到A。、3c的距离相等，

VAB=10cm,

1

・•・点F到AD的距禺为5xl0=5cm,

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】

【例4】（2022春•潮南区期中）如图，在矩形COE。中，点。的坐标是（1,3）,贝UCE

【分析】连接O。，过。作x轴于R由矩形的性质得CE=OO,再由点。的坐标

得。尸=1,DF=3,然后由勾股定理求出0。的长，即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。£）,过。作轴于E

,/四边形COED是矩形，

：.CE=OD,

:点。的坐标是（1,3）,

AOF=1,DF=3,

：.OD=<OF2+DF2=Vl2+32=V10,

CE=VTo,

故选：D.

【变式4-1］（2022春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的

一半，那么称三角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，矩形0A2C

的边04=3,0C=4,点M（2,0）,在边AB存在点P,使得△CMP为“智慧三角形”，

则点尸的坐标为（）

A.(3,1)或(3,3)B.(3,|)或(3,3)

C.(3,|)或(3,1)D.(3,|)或(3,1)或(3,3)

【分析】由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NO糜=90°,

设尸（3,a）,则AP=a,BP=4-a；分两种情况：①若NCPM=90°,②若NCMP=

90°,根据勾股定理分别求出“2、MP\CM2,并根据图形列出关于。的方程，解得。

的值，则可得答案.

【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，ZCPM=90°或NCMP=90°,

①若/CPM=90°,在RtZXBCP中，由勾股定理得:

CP2=BP?+BC=(4-a)2+9,

在RtAMB4中，由勾股定理得：

MP2=A/A2+AP2=1+4,

在RtAJWPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=l+fl2+(4-a)2+9=2层-8a+26,

又,?CM1=OM'+OC?=4+16=20,

.*.2a2-8a+26=20,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若/CMP=90°,在RtZXBCP中，由勾股定理得：

CP1=BP1+BC1=(4-a)2+9,

在RtZ\MB4中，由勾股定理得：

MP2=MA1+AP2=l+a2,

VCM2=OM2+OC2=20,

在RtZ\MCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

A20+l+a2=(4-a)2+9,

解得:a=

：.P(3,i).

2

综上，P(3,|)或(3,1)或(3,3).

故选：D.

【变式4-2](2022•西平县模拟)已知在矩形A8CO中，AB=4,BC=y,。为BC上一点,

BO=\,如图所示，以8c所在直线为无轴，。为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线

段0c上的一点.

(1)若点M的坐标为(1,0),如图1,以为一边作等腰△OMP,使点尸在矩形

ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的

坐标；

(2)若将(1)中的点M的坐标改为(4,0),其他条件不变，如图2,那么符合条件

的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标.

图1图2

【分析】(1)0M的长是1,小于矩形的宽，也小于的长，所以点尸只能是0W的

垂直平分线与AD的交点;

(2)OM的长是4,等于矩形的宽，所以点P可以是过。、M的垂线与A。的交点，也

可以是OM的垂直平分线与的交点，又的长大于。B的长，所以点P也可以在

上;

【解答】解：(1)符合条件的等腰△OMP只有1个;

点P的坐标为($4)；

(2)符合条件的等腰△(?〃尸有4个.

如图②，在△0P1M中，0P=0M=4,

在RtZ^OBPi中，BO=g

BPl=J(0P])2—。5=/2一(今2V15

2

.,.Pi(-(孚)；

在Rt^OMPz中，OP2=OM=4,

；.P2(0,4)；

在△OMP3中，MP3=OP3,

点尸3在OM的垂直平分线上,

；OM=4,

.”3(2,4)；

在RtZ\OMP4中，OM=MP4=4,

：.P4(4,4)；

PmP&

A__iD

小七、-

B

77O9x

2

图②

【变式4-3］（2022春•浦江县期中）如图，长方形0nBe中，。为平面直角坐标系的原点,

A点的坐标为（4,0）,C点的坐标为（0,6）,点B在第一象限内，点尸从原点出发,

以每秒2个单位长度的速度沿着。一C-B-A-O的路线移动（移动一周）.

（1）写出点8的坐标；

（2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标；

（3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点尸的坐标.

A

y

c----------B

0Ax

【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可；

（2）先求得点P运动的距离，从而可得到点P的坐标；

（3）分点尸在OC上，在8c上，在上，在A。上四种情况讨论，由三角形的面积

公式可求点尸坐标.

【解答】解：（1）点的坐标为（4,0）,C点的坐标为（0,6）,

04=4,OC—6,

:.点B（4,6）；

（2）•.•点P移动了4秒时的距离是2X4=8,

.♦.点P的坐标为（2,6）；

（3）如图，

①当点尸在OC上时，SAOBP=jx6>PiX4=10,

：.OPi=5,

...点P(0,5)；

②当点尸在上，SAOBP-|XBP2X6=10,

；.BP2=y,

ACP2=4-y=|,

点尸（j,6）；

③当点P在AB上，5AOBP=|XBP3X4=10,

：.BP^5,

.\APs=6-5=1,

・•・点尸（4,1）；

④当点P在A。上，SAOBP-jxOP4X6=10,

，OP4=3

；.点P（--0）.

3

综上，点P的坐标为（0,5）或0，6）或（4,1）或号，0）.

【知识点3矩形的判定方法】

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形"）.

【题型5矩形判定的条件】

【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形A8C。为平行四边形，延长4。到E,使。E

=AD,连接仍，EC,DB,添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）

【分析】先证四边形。BCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定进行解答即可.

【解答】解：•..四边形A2CD为平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

y.'：AD=DE,

：.DE//BC,S.DE=BC,

四边形DBCE为平行四边形，

A、；AB=BE,DE=AD,

C.BDLAE,

：.ZBDE=90°,

.•.aDBCE为矩形，故本选项不符合题意；

8、：对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；

C、VZAZ）B=90°,

ZEDB=90°,

:•口O3CE为矩形，故本选项不符合题意；

D、•:CELDE,

：.ZCED=90°,

・・・口。5。£为矩形，故本选项不符合题意；

故选:B.

【变式5-1］（2022春•江油市期末）在四边形ABCD中，AC,5。交于点。，在下列条件

中，不能判定四边形A3CD为矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZBAD=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=NBCD,ZABC+ZBCD=1SO°,AC±BD

D.ZBAD=ZABC=90°,AC=BD

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行

判断即可.

【解答】解：A、U：AO=CO,BO=DO,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

又・・・NB4D=90°,

・・・平行四边形A5CD是矩形，故选项A不符合题意；

B、'：AB=CD,AD=BC,

・・・四边形ABC。是平行四边形，

又,：AC=BD,

・・・平行四边形A3c。是矩形，故选项3不符合题意；

C、VZABC+ZBC£）=180°,

：.AB//CD,

•；NBAD=/BCD,

：.ZABC+ZBAD=1SO°,

：.AD//BC,

・•・四边形ABC。是平行四边形，

XVAC1BZ）,

・•・平行四边形ABC。是菱形，故选项。符合题意；

D、'：ZBAD=ZABC=90°,

：.AD//BC,

在RtAABD和RtABAC中，

（AB=BA

UD=AC"

ARtAABD^RtABAC(H£),

J.AD^BC,

/.四边形ABCD是平行四边形，

又；AC=BD,

.♦•平行四边形A8CO是矩形，故选项O不符合题意;

故选：C.

【变式5-2]（2022春•仙居县期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,

使。连接班,EC,DB,添加一个条件，不能使四边形。3CE成为矩形的是（

A.AB=BEB.CELDEC.ZADB=9Q°D.BELDC

【分析】先证明四边形Bcr史为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答.

【解答】解：•.•四边形ABCL•为平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

又,：AD=DE,

：.DE//BC,且DE=BC,

四边形BCED为平行四边形，

A、,:AB=BE,DE=AD,

；.BD_LAE,

.•.□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

B、，；CE_LDE,

：.ZC£D=90°,

DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

C、VZADB=90°,

：.ZEDB=90°,

...□OBCE为矩形，故本选项不符合题意；

•对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意;

故选：D.

【变式5-3］（2022•西城区一模）如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，点R

G在边8c上，且DG=EF.只需添加一个条件即可证明四边形。FGE是矩形，这个条

件可以是DE=FG（答案不唯一）.（写出一个即可）

【分析】根据三角形中位线定理得到OE〃BC,推出四边形。尸GE是平行四边形，根据

矩形的判定定理即可得到结论.

【解答】解：DE=FG,

理由：：。，E分别是AB,AC的中点，

C.DE//BC,

J.DE//FG,

,:DE=FG,

四边形DFGE是平行四边形，

,:DG=EF,

四边形。尸GE是矩形，

故答案为：DE=FG（答案不唯一）.

【题型6证明四边形是矩形】

【例6】（2022春•南谯区期末）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC,2。相交于点

O,若E,尸是线段AC上两动点，同时分别从A,C两点出发以Icm/s的速度向点C,A

运动.

（1）求证：AADE丝ACBF；

（2）若BD=8cm,AC=14cm,当运动时间f为多少秒时，四边形。防尸是矩形？

【分析】（1）由平行四边形的性质得AO=BC,AD//BC,则易证AE

=CF,由SAS即可得出结论；

（2）先证四边形。E8F为平行四边形，当时，四边形。尸为矩形，得出。E

=0口=加,即jAC-/=打。或即可得出结果.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.NDAE=ZBCF

■:E,/是线段AC上两动点，同时分别从A,。两点出发以lcm/s的速度向点C,A运动，

：.AE=CF,

在△AOE和4圆月中，

AE=CF

乙DAE=乙BCF,

AD=BC

：./\ADE^/\CBF（SAS）；

（2）解：,・,四边形A3CZ）是平行四边形，

：.OD=OB,OA=OC,

VAE=CF,

：.OE=OF

・・・四边形DEBF为平行四边形，

・,•当时，四边形。£3月为矩形，

・•・0E=0D=即/C-t=泗或t-|AC=即,

X14-/=工x8或t--xl4=-x8,

2222

解得：t=3（S）或f=ll（S）,

当运动时间f为3秒或11秒时，四边形。历尸是矩形.

【变式6-1]（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，。是边AC上的一个动点，过点

。作直线MN,交NAC2的平分线于点E,交△ABC的外角NAC。的平分线于点E给

出下歹!j信息：®MN//BC；②OE=OC；③OF=OC.

（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；

（2）在（1）的条件下，连接AE、AF,当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得/OEC=NACE,ZOFC=ZACF,则

OE=OC,OF=OC,即可得出结论；

（2）先证四边形AECF是平行四边形，再证NECF=90°,即可得出结论.

【解答】解：（1）选择MN〃BC,理由如下：

,:MN〃BC,

：.ZOEC=ZBCE,ZOFC=ZDCF,

：CE平分/ACB,C尸平分NACD,

ZBCE=ZACE,NDCF=ZACF,

：.ZOEC=ZACE,ZOFC=ZACF,

：.OE=OC,OF=OC,

：.OE=OF；

（2）当点。在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：

当。为AC的中点时，AO=C。，

由（1）可知，OE=OF,

四边形AECF是平行四边形，

平分/ACB,C/平分NACD,

:./ACE=/BCE,NACF=/DCF,

1

：.ZACE+ZACF--X18O°=90°,

2

即N£CP=90°,

.••平行四边形AECF是矩形.

【变式6-2］（2022春•津南区期末）已知口ABC。，对角线AC,8。相交于点O（AC>8。）,

点、E,F分别是。4,OC上的动点.

（I）如图①，若AE=CR求证：四边形即打）是平行四边形；

（II）如图②，若OE=OB,OF=OD,求证：四边形EBFD是矩形.

图①图②

【分析】（I）由平行四边形的性质得OB=O。，OA=OC,再证OE=OF,即可得出结

论；

（II）由平行四边形的性质得。3=。。，MiiEOE=OF=OB=OD,进而得出结论.

【解答】证明：（I）•••四边形A2CO是平行四边形，

：.OB=OD,OA=OC,

VA£=CF.

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

•：OB=OD,

...四边形EBFD是平行四边形；

（II）四边形ABCD是平行四边形，

；.OB=OD,

'：OE=OB,OF=OD,

：.OE=OF=OB=OD,

...四边形项FD是平行四边形，BD=EF,

平行四边形EBED是矩形.

【变式6-3］（2022春•洪泽区期末）在矩形A8CD中，AB=6,BC=8,E、尸是对角线AC

上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时

间为f秒，其中OWKIO.

（1）若G、X分别是A。、BC的中点，则下列关于四边形EGEF/（E、尸相遇时除外）

的判断：①一定是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是①；（直

接填序号，不用说理）

（2）在（1）的条件下，若四边形EGF8为矩形，求f的值.

【分析】（1）利用三角形全等可得EG=PH,NAEG=NCFH,则EG〃网，即可证明;

（2）分为两种情况，一种是四边形EGM为矩形，另一种是PGE8为矩形，利用斯=

GH即可求解；

连接HG交AC于点O,

在矩形ABCO中，AD//CD,AD=CD,

：.ZDAC=ZACB,ZAGH=ZCHG,

：G、X分别是A。、BC的中点，

：.AG=-AD,CH=-BC,

22

：.AG=CH,

：.AAOG^/\COH(ASA),

AOG=OH,OA=OC,

由题意得：AE=CF,

：.OE=OF,

，四边形EGFH是平行四边形，

故①是正确得；

随着f的增加，NEG尸由大变小，不一定是直角,

故②不一定正确；

：6平分4£）,。平分AC,

OG//CD,

0G不是AC的垂直平分线，

；.EG与GF不一定相等，

故③不一定正确；

故答案为：①.

图1

由（1）得AG5H,AG//BH,NB=90°,

四边形是矩形，

：.GH=AB=6,

①如图1,当四边形EG尸H是矩形时，

：.EF=GH=6,

,:AE=CF=t,

：.EF=10-2t=6,

.•/=2；

②如图2,当四边形EGFH是矩形时，

GD

图2

•：EF=GH=6,AE=CF=t,

.\EF=t+t-10=2t-10=6,

，f=8；

综上，四边形EGF”为矩形时f=2或f=8；

【题型7矩形中多结论问题】

【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片A8CD中48=4,BC=8,点、E,尸分别

在A。，8c上，将纸片ABC。沿直线EE折叠，点C落在上的点H处，点。落在点

G处，连接CE,CH.有以下四个结论：①四边形CfWE是菱形；②CE平分/DCH；③

线段BF的取值范围为3WB尸W4；④当点X与点A重合时，EF=5.以上结论中，其中

正确结论的个数有（）

【分析】①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得然

后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得NBCH=ZECH,然后求出只有ZDCE=30°

时EC平分判断出②错误；

③点H与点A重合时，设时=x,表示出AF=bC=8-x,利用勾股定理列出方程求解

得到8尸的最小值，点G与点。重合时，CF=CD,求出8F=4,然后写出8F的取值范

围，判断出③正确；

④过点/作FMLAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④错误.

【解答】解：①〈FH马EG,EH与b都是原来矩形ABCD的对边A。、3C的一部分,

J.FH//CG,EH//CF,

四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH,

四边形CfWE是菱形，故①正确；

②：四边形CF/花是菱形，

ZBCH=ZECH,

，只有NDCE=30°时EC平分NOC”,故②错误；

③点”与点A重合时，设贝IAF=PC=8-x,

在RtZXABB中，AB2+BF2=AF2,

即42+/=（8-x）2,

解得尤=3,

点G与点。重合时，CF=CD=4,

：.BF^4,

线段BF的取值范围为3W2FW4,故③正确;

④如图，过点F作桢_LA£>于M,

EF=y/MF2+ME2=V42+22=2而，故④错误.

综上所述，结论正确的有①③，共2个.

故选：B.

【变式7-1］（2022春•南充期末）如图，矩形A8CZ）中，M,N分别是边AB,CD的中点,

8P_LAN于P,CP的延长线交于Q.下列结论：①PM=CN；②PM_LCQ；③PQ=

A。；@DQ<2PN.其中结论正确的有（）

【分析】①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半直接判断即可；

②连接MC,可以判断MC〃AN,根据已知进一步判断△PA/CgZXBMC,即可得出结论;

③连接M。，证得/MPQ=90°,进一步证明RtZXMPQgRtZ^AM。，得出尸Q=A尸即可

判断；

④取C。的中点E,连接EN,贝|EN〃r>Q,根据大角对大边判断即可.

【解答】解：如图，

'：BP±AN^P,M是A8的中点，

：.PM=-AB,

2

•.•四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD,

：.PM=CN.

...①正确.

连接MC,则AMCN是平行四边形，

C.MC//AN,

\'BP±AN,

C.BPLMC,

■;PM=BM,

；./1=/2,

APMC出ABMC,

：.ZMPC=ZMBC^9Q°.

...②正确.

连接M。，由(2)得NMPQ=90°,

同理RtZXPMQZRtZVUW。(HL).

：.PQ=AQ.

.•.③正确.

取C。中点E,连接EN,

则EN〃/)Q,ZPEN>90°>ZEPN,

：.PN>EN.

：.DQ=2EN<2PN.

...④正确.

故选：D

【变式7-2］（2022春•泉州期末）如图，点尸是矩形A8CD内一点，连结B4、PB、PC、

PD,设△P4B、APBC、APCD、△PDA的面积分别为Si、S2、S3、S4,以下四个判断:

①当时，B、P、D三点共线

②存在唯---点P,使B4=PB=PC=P£>

③不存在到矩形A8CD四条边距离都相等的点P

④若S1=S2,则S3=$4

其中正确的是②④.(写出所有正确结论的序号)

【分析】根据矩形的性质和三角形的面积公式进行逐一判断即可得出结论.

【解答】解：①当时，根据矩形四个角都是直角，

则有NB4B+NB4r>=90°,

即NB4O+/P£)A=90°,

根据直三角形两个锐角互余可知：/APD为90°,

即为直角三角形，

则只有正方形ABCD且尸为中心时，

才可能8、P、。三点共线，故①错误；

②根据矩形对角线相等且互相平分的性质可知:存在唯一一点尸满足PA=PB=PC=PD,

此时P为对角线的交点，故②正确；

③除非矩形ABCD是正方形，则在其内部才存在到矩形ABCD四条边距离都相等的点

P.故③错误；

®/\PAB和△PCD可看作以AB和CD为底的三角形，

如图，过P分别作PE_LAB于E,尸尸_LCD于R

则显然有PE,尸尸在一条有线上，且满足PE+PF=A。，

则Si+S3=|xAB'PE+^\CD'PF=^AB(PE+PF)=1AB-AD,

同理可知：s2+s4=|ADMB,

即S1+S3=S2+S4，

故若S1=S2，则S3=S4，故④正确，

综上所述：②④正确.

故答案为：②④.

【变式7-3](2022春•兴文县期中)如图，矩形ABC。中，AC,8。相交于点O,过点B

作交C。于点R交AC于点过点。作。交AB于点E,交AC于点

N,连接FN,EM.则下列结论：①DN=BM；②EM〃FN；③DF=NF；④当AO=AD

时，四边形。即E是菱形.其中正确的结论是①②④.

E

【分析】根据矩形的性质得到4B=CD,AB//CD,NDAE=/BCF=9Q°,OD=OB=

OA^OC,AD=BC,AD//BC,根据全等三角形的性质得到£W=2M,NADE=NCBF,

故①正确；DE=BF；根据平行四边形的性质得到EM〃五N,故②正确；根据平行线的性

质得到推出而AN不一定等于MN,得到。故③错

误；根据平行四边形的判定定理得到四边形£(即尸是平行四边形，根据等边三角形的性

质得到/A£>O=/ZMN=60°,推出四边形。班尸是菱形；故④正确.

【解答】解：：四边形ABCQ是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,ZDAE=ZBCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

：.NDAN=ZBCM,

\'BF±AC,DE//BF,

：.DE±AC,

:./DNA=NBMC=90°,

在ADNA和△BMC中，

NDAN=乙BCM

乙DNA=乙BMC,

.AD=BC

:.ADNA冬4BMC(A4S),

：.DN=BM,ZADE=ZCBF,故①正确；

在△?1£)£和△CBF中，

^ADE=Z.CBF

,AD=BC,

.^.DAE=/.BCF

.'.△ADE%ACBF(ASA),

:.DE=BF；

：.DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

,SDE//BF,

四边形NEA"'是平行四边形，

C.EM//FN,故②正确；

・•・ZDNF=/DEM,

'：DC//AB,

：./FDN=/AED,

9

\AM±DEf