2024-2025学年九年级数学上册专项练习：解直角三角形的应用（50道）解析版

专题28.4解直角三角形的应用中考真题专项训练(50道)

【人教版】

考卷信息：

本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应

用中考真题的综合问题的所有类型！

一.解答题(共50题)

1.(2022•辽宁阜新•中考真题)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测

量居民楼的高度4B,在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m,斜坡的倾斜角为a,cosa=

号小文在C点处测得楼顶端4的仰角为60。，在D点处测得楼顶端4的仰角为30。(点4B,C,

。在同一平面内).

□□

□□

□□

□□

□□

□□

(1)求c,。两点的高度差;

(2)求居民楼的高度48.(结果精确到1m,参考数据：V3«1.7)

【答案】(l)9m

(2)24m

【分析】(1)过点D作DE1BC,交BC的延长线于点E,在RtADCE中，可得CE=CD-cosa=

15x1=12(m),再利用勾股定理可求出DE,即可得出答案.

(2)过点。作£>F14B于F,^AF=xm,在Rt△4DF中，tcm30。=竺===遗，解得DF=

DFDF3

V3%,在RtAZBC中，AB=(x+9)m,BC=(V3x-12)m,tan60°=—=^+9=V3,

BCV3x_12

求出X的值，即可得出答案.

(1)

解：过点。作DE,BC,交BC的延长线于点E,

□□

□□

□□

□□

□□

□□

•・,在Rt

4

CE=CD-coscr=15x-=12(m).

•••DE=VCD2-CE2=V152-122=9(m).

答：C,。两点的高度差为9m.

(2)

过点。作DF_L4B于F,

由题意可得BF=DE,DF=BE,

设4F=xm,

在Rt△4DF中，tanzXDF=tan300=—=—=

DFDF3

解得OF=V3x,

在Rt△ZBC中，AB=AF+FB=AF+DE=(x+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=

(V3x—12)m,

tan60°=—==V3,

BCV3X-12

解得％=6A/3+I，

=6V3+1+9«24(m).

答：居民楼的高度48约为24m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角

函数的定义是解答本题的关键.

2.(2022•山东东营,中考真题)胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上,

使黄河南北"天堑变通途".已知主塔垂直于桥面BC于点3,其中两条斜拉索4。、4C与桥

面8C的夹角分别为60。和45。，两固定点。、C之间的距离约为33m,求主塔4B的高度(结

果保留整数，参考数据：V2«1.41,V3«1.73)

【答案】主塔4B的高度约为78m.

【分析】在放△A8O中，利用正切的定义求出力8=WBD,然后根据回C=45。得出AB=BC,

列方程求出BZ),即可解决问题.

【详解】解：^ABSBC,

EHABC=90°,

在RtAABD中，AB=BD-tan60°=V3S£),

在RfAABC中，EIC=45°,

0A2=2C,

0V3BZ)=BD+33,

即。—=理超％

V3-12

^AB=BC=BD+33=二、回°+33~78m,

2

答：主塔ZB的高度约为78m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键.

3.(2022・河南,中考真题)在中俄"海上联合-2014"反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的

俯角为30。，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68。，试根据以

上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数，参考数据：sin68、0.9,

【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米

【分析】过点C作CD^AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在

Rt三角形AC。中表示出CD和在Rt三角形中表示出从而利用二者之间的关系列

出方程求解.

【详解】解：过点C作CD0AB,交的延长线于点D则A。即为潜艇C的下潜深度,

海平面

根据题意得：EIACD=30o,138c£)=65°,

设AZ)=x,贝ljB/BA+ALHIOOO+x,

ADx

在用三角形ACD中，CD==V3x,

tanz.ACDtan30°

在Rf三角形BCD中，8D=CD・tan68。,

E1000+x=V3x-tan68°,

10001000(米)，

解得：x=V3tan68°-1-1.7X2.5-1~308

团潜艇C离开海平面的下潜深度为308米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择

合适的边角关系求解.

4.（2022・四川资阳,中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道

AB进行实地测量.如图所示,他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15。方向上,

他沿西北方向前进100百米后到达点此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北

偏西60。方向上，（点A、B、C、。在同一平面内）

（1）求点。与点A的距离;

（2）求隧道48的长度.（结果保留根号）

【答案】（1）点。与点A的距离为300米

⑵隧道4B的长为（150a+150n）米

【分析】（1）根据方位角图，易知乙4c0=60。，/.ADC=90°,解RtAZDC即可求解;

（2）过点D作。E1AB于点E.分另lj解RtAADE,Rt△BDE求出4E和BE,即可求出隧道48

的长

（1）

由题意可知：^ACD=15°+45°=60°,^ADC=180°-45°-45°=90°

在Rt△力DC中，

EL4£>=DCxtanz•力CD=100V3xtan60°=100^/3xV3=300(米)

答：点。与点A的距离为300米.

(2)

过点。作DE14B于点E.

MB是东西走向

EIZADE=45°,/-BDE=60°

在Rt△力DE中，

WE=AE=ADxsin/-ADE=300xsin45°=300x—=150A/2

2

在Rt△BDE中，

SBE=DExtanz.BDE=150V2xtan60°=150V2xV3=150>/6

EXB=HE+BE=150V2+15076（米）

答：隧道48的长为（150a+150布）米

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角

的三角函数值是解题的关键.

5.（2022・辽宁朝阳•中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗

杆底端有台阶）.该小组在C处安置测角仪C£>,测得旗杆顶端A的仰角为30。，前进8m

到达E处，安置测角仪ER测得旗杆顶端A的仰角为45。（点8,E,C在同一直线上），

测角仪支架高CO=EP=1.2m,求旗杆顶端A到地面的距离即A2的长度.（结果精确到1m.参

考数据：V3=1.7）

A

【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m

【分析】延长。尸交A3于点G,根据题意可得：DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m,0AGF

=90°,然后设AG=xm,在RtHAFG中，利用锐角三角函数的定义求出尸G的长，从而求出

OG的长，再在RtMOG中，利用锐角三角函数的定义列出关于尤的方程，进行计算即可详

解.

【详解】解：延长。尸交于点G,

由题意得：

DF=CE=8m,DC=EF=BG=12m,^\AGF=90°,

设AG=xm,

在RtE4尸G中，®4FG=45°,

跖6=熊=工（m）,

0DG=DF+FG=(x+8)m,

在Rt她DG中，她。G=30。,

.”。AGxy[3

团raatn30=—=——=—

DGx+83

取=4百+4,

经检验：x=4百+4是原方程的根,

^\AB=AG+BG^12（m）,

国旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

6.（2022・湖北襄阳•中考真题）位于岷山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪

念"襄樊战役"中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的

革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A处

测得烈士塔顶部点B的仰角为45。，烈士塔底部点C的俯角为61。，无人机与烈士塔的水平

距离为10m,求烈士塔的高度.（结果保留整数.参考数据：sin61%0.87,cos61°=0.48,

tan61°=1.80）

B

C

【答案】烈士塔的高度约为28m.

【分析】在RfAABD中，回用4。=45°,A£）=10m,贝!J5D=AO=10m,在放△ACZ）中，

tanEIDAC-tan61o=—=—=1.80,解得CD=18m,由8C=8Z）+C。可得出答案.

AD10

【详解】解：由题意得，（3541）=45°,EID4c=61°,

在放△ABO中，0BA£>=45°,AD=10m,

^\BD=AD=10rr\,

在放△ACO中，回£>AC=61°,

CDCD

tan61°=—=—=1.80,

AD10

解得CD=18,

0BC=BD+CZ）=1O+18=28（m）.

回烈士塔的高度约为28m.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解

答本题的关键.

7.（2022•贵州安顺・中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善.某

市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上

有一建成的5G基站塔4B,小明在坡脚C处测得塔顶4的仰角为45。，然后他沿坡面CB行走了

50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在。处测得塔顶4的仰角53。.（点4、B、C、

D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°«cos53°«tan53°«-）

⑴求坡面CB的坡度；

⑵求基站塔力B的高.

【答案】⑴3:4

(2)基站塔48的高为17.5米

【分析】(1)过点C、。分别作48的垂线，交4B的延长线于点N、F,过点。作DMJ.CE,

垂足为M,利用勾股定理求出CM,然后利用坡度的求解方式求解即可；

(2)设DF=4a米，则MN=4a米，BF=3a米，根据乙4CN=45°,求出力N=CN=(40+

4a)米，4F=(4a+10)米.在RtAADF中，求出a=£；再根据48=4F—BF(米).

(1)

解：如图，过点C、D分别作48的垂线，交4B的延长线于点N、F,过点。作。M1CE,垂

足为M.

根据他沿坡面CB行走了50米到达。处，。处离地平面的距离为30米,

•••CD=50(米),DM=30(米),

根据勾股定理得：CM=y/CD2-DM2=40(米)

••・坡面CB的坡度为；器=券=；

CM404

即坡面CB的坡度比为3:4；

(2)

解：设DF=4a米，则MN=4a米，BF=3a米,

•••上ACN=45°,

•••4CAN=4ACN=45°,

•••AN=CN=（40+4a）米，

4F=AN-FN=AN-DM=40+4a-30=（4a+10）米.

在RtAZDF,

DF=4a米，AF=（4a+10）米，^.ADF=53°,

“clAF4a+104

・•・tan乙40尸=——=----=一，

DF4a3

二解得a=y;

4F=4a+10=4xy+10=40（米），

8F=3a=3x"=史（米），

4B=力F-BF=40-史=归（米）.

22

答：基站塔4B的高为17.5米.

【点睛】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系

和坡度的意义进行计算是常用的方法.

8.（2022•辽宁鞍山,中考真题）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞

船返回舱成功着陆.为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即

GF=8m）.小亮同学想知道条幅的底端尸到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先

他站在楼前点B处，在点B正上方点4处测得条幅顶端G的仰角为37。，然后向教学楼条幅方

向前行12m到达点。处（楼底部点E与点B,。在一条直线上），在点。正上方点C处测得条

幅底端F的仰角为45。，若AB,CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计

算条幅底端尸到地面的距离FE的长度.（结果精确到0.1m,参考数据:sin37。«0.60,cos37°«

0.80,tan37°~0.75）

BDE

【答案】条幅底端/到地面的距离PE的长度约为5.7米.

【分析】设AC与GE相交于点根据题意可得：AB=CO=HE=1.65米，AC=BD=12

米，0AHG=90。，然后设C〃=x米，则47=（12+x）米，在R/0C”/中，利用锐角三角

函数的定义求出的长，从而求出GH的长，最后再在RZHAHG中，利用锐角三角函数的

定义列出关于无的方程，进行计算即可解答.

【详解】解：设AC与GE相交于点X,

由题意得：

AB=CD=HE=1.65米,AC=BD=12米，B1AHG=9O°,

设C7/=尤米，

SAH=AC+CH=（12+x）米，

在R愈CH尸中，0FC//=45°,

EFH=C//»tan45°=x（米），

回GB=8米，

SGH=GF+FH=（8+x）米，

在R/fflAHG中，EGAH=37°,

0tan37°=—=—«0.75,

AH12+x

解得：尤=4,

经检验：尤=4是原方程的根，

SFE=FH+HE=5.65~5.7（米）,

团条幅底端P到地面的距离FE的长度约为5.7米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是

解题的关键.

9.（2022•山东荷泽•中考真题）荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯

坡面的坡角由原来的37。减至30。，已知原电梯坡面A8的长为8米，更换后的电梯坡面为

A。，点B延伸至点。，求的长.（结果精确到0.1米.参考数据：sin37°«0.60,cos37°«

0.80,tan37°V0,75,百®1.73)

【分析】根据正弦的定义求出AC,根据余弦的定义求出2C,根据正切的定义求出CD,结

合图形计算，得到答案.

【详解】解：在RfMBC中，AB=8米，0ABe=37°,

则AC=A3・sina4BC=8x0.60=4.8（米），

BC=AB»cosEIABC=8x0.80=6.40（米）,

在中，0Aoe=30°,

则CD==卷■=8.30（米），

tan^ADCtan30°叵

3

0BD=Cr>-j3C=8.3O-6.4O=1.9（米），

答：8。的长约为1.9米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解

题的关键.

10.（2022•甘肃兰州•中考真题）如图，小睿为测量公园的一凉亭A3的高度，他先在水平

地面点E处用高1.5%的测角仪DE测得乙4DC=31°,然后沿EB方向向前走3机到达点G

处，在点G处用高1.5%的测角仪尸G测得N4FC=42。.求凉亭AB的高度.（A,C,B三

点共线，AB1BE,AC1CD,CD=BE,BC=DE.结果精确至U0.1m）（参考数据：sin31°«

0.52,cos31°«0.86,tan31°®0.60,sin42°«0.67,cos42°«0.74,tan42°«0.90）

【答案】6.9m

【分析】根据题意可得BCMPGUDEMISDF=GE=3,0ACP=9O°,然后设CP=x,则

CD=（x+3）,先在RtEACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt0AC£>中,

利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

BC=FG=DE=L5,DF=GE=3,EACF=90",

设CF=x,

SCD=CF+DF=(x+3),

在R/SACr中，EAFC=42°,

EIAC=CF»tan42°=0.9x(m),

在RtEIAC。中，EADC=31°,

cAC0.9%c,

0tan31=——=—x0.6,

CDx+3

取=6,

经检验：x=6是原方程的根，

0A2=AC+BC=0.9尤+1.5=6.9(m),

国凉亭A3的高约为6.9m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是

解题的关键.

11.(2022•江苏盐城•中考真题)2022年6月5日，"神舟十四号”载人航天飞船搭载"明星”

机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，。4是垂直于工作台的

移动基座，AB.BC为机械臂，。4=Im,AB=5m,BC=2m,zXSC=143°.机械臂端

点C到工作台的距离CD=6m.

(1)求4、C两点之间的距离；

⑵求0D长.

(结果精确到0。相,参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,遮"2.24)

【答案】(l)6.7m

(2)4.5m

【分析】(1)连接2C,过点力作4H1BC,交CB的延长线于“，根据锐角三角函数定义和

勾股定理即可解决问题.

(2)过点4作4G10C,垂足为G,根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题.

(1)

解：如图2,连接4C,过点4作交CB的延长线于

图2

在RtUBH中，^ABH=180°-/.ABC=37°,

sin37°=―,所以4"=4B・sin37023m,

AB

cos37°=—,所以=4B-cos37°=4m,

AB

在RtAACH中，AH=3m,CH=BC+BH=6m,

根据勾股定理得AC=>JCH2+AH2=3V5®6.7m,

答：4、C两点之间的距离约6.7m.

(2)

如图2,过点4作4G1DC,垂足为G,

图2

则四边形力GDO为矩形，GD=AO=lm,AG=OD,

所以CG=CD-GD=5m,

在RtAACG中，AG=3V5m,CG=5m,

根据勾股定理得AG=VXC2-CG2=2V5«4.5m.

OD=AG=4.5m.

答：。。的长为4.5m.

【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段

转化到直角三角形中(如果没有直角三角形，设法构造直角三角形)，再利用锐角三角画数

求解

12.(2022・山东日照•中考真题)2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热

情.如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB,两部分，小明同学在C点测得雪

道的坡度i=l：2.4,在A点测得B点的俯角阻M3=30。.若雪道AB长为270m,雪道8C

长为260m.

(1)求该滑雪场的高度/?；

⑵据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲

设备每小时造雪量比乙设备少35m3,且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3

所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.

【答案】(1)235-

(2)甲种设备每小时的造雪量是15m3,则乙种设备每小时的造雪量是50m3

【分析】(1)过B作2附4£),过。过ARM。，两直线交于尸，过2作BE垂直地面交地面

于E,根据题知0ABP=EIZMB=30。,可得力F=^AB=135(m),由BC的坡度z=l：2.4,设BE=tm,

贝ljCE=2.4fm,可得产+(2.4f)2=2602,即可得〃=4尸+3£=235(m)；

(2)设甲种设备每小时的造雪量是xm3,可得：竺2=半，即方程并检验可得甲种设备每

xx+35

小时的造雪量是15m3,则乙种设备每小时的造雪量是50m3.

(1)解：过B作8m4。，过A过AM4D,两直线交于尸，过B作BE垂直地面交地面于E,

如图:EC根据题知0AB/三EID4B=30°,E4F=

^AB=135(m),回BC的坡度i=l：2.4,EIBE：CE=l：2.4,设BE=fm,贝ijCE=2.4rm,^\BE2+CE2=BC2,

布+(24)2=2602,解得f=100(m),(负值已舍去)，鼬=AF+2E=235(m),答：该滑

雪场的高度〃为235m；

(2)设甲种设备每小时的造雪量是x混，则乙种设备每小时的造雪量是(x+35)m3,根据

题意得：竺2=半，解得彳=15,经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，取+35=50,答:

甲种设备每小时的造雪量是15m3,则乙种设备每小时的造雪量是50m3.

【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分

式方程.

13.(2022・辽宁大连•中考真题)如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘

坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他

在索道A处测得白塔底部8的仰角的为30。，测得白塔顶部C的仰角的为37。.索道车从A

处运行到B处所用时间的为5分钟.

⑵请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度(结果取整数).(参考数据：sin37。、

0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,V3«1.73)

【答案］⑴300

⑵白塔BC的高度约为45米.

【分析】(1)由路程等于速度乘以时间即可得到答案；

(2)由题意可得：Z.BAD=30°,ACAD=37°,而4B=300,再求解BD=150,AD=150V3,

再利用tan37。=黑=写震=0.75,再解方程即可.

AD15(Jv3

(1)

解：回索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到2处所用时间的为5分钟，

BAB=5X60X1=300(米)

故答案为：300

(2)

解：由题意可得：^BAD=30°,ACAD=37°,

而4B=300米

1150「,、

..・BD=-AB=150米,40==1504米）

0tan37°=—=吧a=0,75,

AD150V3

SBC^V3-150«44.625«45（米）

所以白塔BC的高度约为45米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键.

14.（2022•上海・中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆

⑴如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆A8底部。米的点。处，测角仪高为b米，从

C点测得A点的仰角为a,求灯杆AB的高度.（用含a,b,a的代数式表示）

⑵我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示,

现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC

方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长。F为3米，求灯杆AB的高度

【答案】⑴atana+6米

（2）3.8米

【分析】（1）由题意得3。=。，CD=b,0ACE=a，根据四边形CDBE为矩形，得至lj2E=CD=6,

BD=CE=a,在R/ZL4CE中，由正切函数tana=殁,即可得到AB的高度；

CE

⑵根据人肉即，得至UAAB尸/EDR根据相似三角形的对应边成比例得到=若，又根

DFBF

据ABOGC,得出AABHMGCH,根据相似三角形的对应边成比例得到黑=若联立得到二元

BHCH

一次方程组解之即可得；

（1）

解：如图

A

E\-------------

B'--------------'D

图1

由题意得3。二〃，CD=b,^\ACE=a

国庆团£)二团CE5=90°

团四边形CD3E为矩形，

贝IJ密84，BD=CE二a,

在RtLACE中，tana二一，

CE

得AE=CE=CE"xtana=atana

而AB=AE-^BEf

故AB=atana+b

答：灯杆A5的高度为仇ana+0米

(2)

由题意可得，AB^GC^ED,GC=ED=2,CH=1,DF=3,CD=1.8

由于A施皮)，

⑦MBF~AEDF,

此时也=丝

DFBF

即？=—————①,

3BC+1.8+3^

她应GC

⑦圾BH~AGCH,

此时变=££,

BHCH

2=q②

1BC+1

联立①②得

答：灯杆A3的高度为3.8米

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题

的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质.

15.（2022•湖南郴州•中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m,背水坡BC

的坡度为=为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备

把背水坡的坡度改为％=1：B，求背水坡新起点A与原起点8之间的距离.（参考数据：

V2«1.41,V3«1.73.结果精确到0.1m）

【答案】背水坡新起点A与原起点2之间的距离约为14.6m

【分析】通过解直角三角形Rt△BCD和RtAACD,分另ij求出A。和BD的长，由4B=AD-BD

求出的长.

【详解】解：在RtABCD中，回背水坡BC的坡度“=1:1,

「CDy

团--=1，

BD

团8。=CD=20（m）.

在Rt△力CD中，回背水坡AC的坡度%=1：8，

“D1

回—=

ADV3

EXD=V3CD=20V3（m）,

0XF=AD-BD=20V3-20«14.6（m）.

答：背水坡新起点A与原起点2之间的距离约为14.6m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造

直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度.

16.（2022•辽宁锦州,中考真题）某数学小组要测量学校路灯P-M-N的顶部到地面的距

离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：

测量项目测量数据

从A处测得路灯顶部P的仰角aa=58°

从D处测得路灯顶部P的仰角£S=31°

测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m

两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m

计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据；cos31。=

0.86,tan31°〜0.60,cos58°~0.53,tan58°~1.60)

【答案】3.5米

【分析】延长。A,交PE于点、F,则。地PE,先得到四边形ABC。、COFE是矩形，然后

由解直角三角形求出AF的长度，再求出尸尸的长度，即可求出答案.

【详解】解：如图：延长ZM,交PE于点R则DfBPE,

SAB=DC=1,6,AB//DC

回四边形A8CD是平行四边形，

回四边形ABCD是矩形，

同理：四边形CDEE是矩形；

EL4D=BC=2,EF=CD=1.6,

在直角EIPZ加中，有PF=DF-tan/?={AD+AF)-tan£,

在直角即吸尸中，有PF=4F,tana,

0(XD+AF)-tan£=AF-tana,

即(2+AF)Xtan31°=AFXtan58°,

5\(2+AF)X0.6=AFX1.6,

解得：AF=1.2；

EPF=1.2x1.6~1.9；

SPE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；

回路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键

是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出尸尸的长度.

17.（2022,辽宁盘锦,中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30。方向走2000

米到达东湖公园2处，参观后又从8处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南

方向的图书馆C处.（参考数据：72=1.414,旧=1.732）

⑴求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；

（2）若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A,那么她在15分钟内能否

到达公共汽车站？

【答案】⑴小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米

⑵小欢15分钟内能到达公共汽车站

【分析】（1）过点A作于点£）,根据2位于A的北偏东30。方向和A2=2000米可得

AD的长度；

（2）根据45。角的余弦和AZ）的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案.

站之间最短的距离是1000米;

（2）在RtMOC中，瓯ZMC=45。，AD=1。。。米，幽C=急;=1。0。/=1414（米），团1414

<15x100,国小欢15分钟内能到达公共汽车站.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与实

际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.

18.（2022•辽宁辽宁•中考真题）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CZ）的高度，如图,

DC14M于点E,在A处测得大树底端C的仰角为15。，沿水平地面前进30米到达8处,

测得大树顶端。的仰角为53。，测得山坡坡角NCBM=30。（图中各点均在同一平面内）.

（1）求斜坡8C的长；

（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数）.

（参考数据：sin53°=|,cos53°=|,tan53°=|,巡=1.73）

【答案】（1）斜坡的长为30米

（2）这棵大树CD的高度约为20米

【分析】（1）根据题意可得：^CAE=15°,AB=30米，根据三角形的外角性质可求出入4cB=

15°,从而得出AB=BC=30米，即可得出答案.

（2）在RtACBE中，利用锐角三角函数的定义求出CE,8E的长，然后在RtADEB中，利

用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答.

（1）

解：由题意得NC4E=15。，AB=30米，

ABC的一个外角,

回N4CB=乙CBE-ACAE=15°,

回N4CB=/.CAE=15°,

SAB—BC—30米，

回斜坡BC的长为30米；

（2）

解：在RtZkCBE中，ZCBF=30°,8c=30米，

0C£=|SC=15（米），

EIBE=V3C£=15V3（米）,

在RtADEB中，4DBE=53。,

EDE=BEtan53°A15A/3x[=20/（米），

0£>C=D£-CE=20V3-15«20（米），

团这棵大树CD的高度约为20米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题关键是熟练

掌握锐角三角函数的定义并正确运用.

19.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C,货

轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60。方向上.为了躲避A,C之间的暗礁，这艘货轮

调整航向，沿着北偏东30。方向继续航行，当它航行到8处后，又沿着南偏东70。方向航行

20海里到达码头C.求货轮从A到8航行的距离（结果精确到0.1海里.参考数据：

sin50°=0.766,cos500=0.643,tan50°=1.192）.

北

【答案】货轮从A到2航行的距离约为30.6海里.

【分析】过B作BDEIAC于D,在Rt/^BCD中，利用正弦函数求得20=15.32海里,再在放△A3。

中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：过8作BO0AC于。，

北

由题意可知0A8E=3O°,0BAC=3O",贝峋C=180°-30°-30°-70°=50°,

在R/SBCD中，EC=50°,BC=20（海里），

0BD=8Csin50°=20x0.766=15.32（海里），

在R/EL48£>中，0BAD=3O°,8£>=15.32（海里），

&42=22£）=30.64=30.6（海里），

答：货轮从A到8航行的距离约为30.6海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是

解题的关键.

20.（2022•山东青岛•中考真题）如图，2B为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加"低

碳生活•绿色出行"健步走公益活动.小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68。的

点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点

E时，观光船沿北偏西40。的方向航行至点。处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求

观光船从C处航行到。处的距离.（参考数据:sin40。«0.64,cos40°*0.77,tan40°*0.84,

sin68°®0.93,cos68°«0.37,tan68°«2.48）

【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米

【分析】过点C作CF_LDE于点R根据题意利用正切函数可得4B=496,由矩形的判定

和性质得出CF=BE=296,结合图形利用锐角三角函数解三角形即可.

【详解】解：过点C作CF1DE于点F,

由题意得,乙D=40°,乙4cB=68°,

在RtAZBC中，Z.CBA=90°,

AR

^tan^ACB=—

CB

^AB=CBxtan68°=200x2.48=496

团BE=AB-AE=496-200=296

^CFE=乙FEB=乙CBE=90°

团四边形FEBC为矩形

0CF=BE=296.

在/^△GD尸中，/-DFC=90°

cp

[UsinzD=—

CD

rp296

回⑺=而。笳=462.5

答:观光船从C处航行到。处的距离为462.5米.

【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，找准各角之间的关系，利用锐角三角函

数解三角形是解题关键.

21.（2022•贵州贵阳•中考真题）交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了

测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=

EF=7m,测速仪C和E之间的距离CE=750m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速

行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口4点的俯角为25。，在测速仪E处测得小汽车在B点

的俯角为60。，小汽车在隧道中从点4行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平

面内）.

能道入口

(1)求4B两点之间的距离(结果精确到1m)；

(2)若该隧道限速22m/s,判断小汽车从点4行驶到点B是否超速？通过计算说明理由.(参

考数据：V3~1.7,sin25°-0.4,cos25°«0.9,tan25°-0.5,sin65°-0.9,cos65°-0.4)

【答案】(1)760米

(2)未超速，理由见解析

【分析】(1)分别解RtA4CD,RtABEF,求得AD,BF,根据4F—BF即可求解；

(2)根据路程除以速度，进而比较即可求解.

(1)

•­•CDWEF,CD=EF,

.•.四边形CDFE是平行四边形

•••CDLAF,EF].AF

••・四边形CDFE是矩形，

DF=CE=750

在Rt△ACD中，ACAD=25°,tanzCX£)=—

AD

CD7

.*.AD=---------«—

tan25°0.5

在Rt△BEF中，乙EBF==言

EF7

.•・BF=--------«—

tan601.7

77

AB=AF-BF=AD+DF-BF=—+750-—760

0.51.7

答：A,B两点之间的距离为760米；

(2)

760

——=20<22,

38

小汽车从点4行驶到点B未超速.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

22.(2022•四川广安,中考真题)八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当

天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园8处锄草，再从8处沿正西

方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37。方向走了300米，到达手工坊。处进行手工制

作，最后从。处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65。方向上.求菜园与果园之间的

距离.(结果保留整数)参考数据：sin65%0.91,cos65°=0.42,tan65°=2.14,sin37°=0.60,

cos37°=0.80,tan37°=0.75

【答案】菜园与果园之间的距离为630米

【分析】过点。作EF14B,交4B于点E,则CF1BC,四边形BCFE是矩形，在RtACDF中,

求得DF=180,C尸=240,进而求得AE=210,在RtAADE中，利用正切进行求解即可.

【详解】解：如图，过点。作EF14B,交AB于点E,贝。CF，BC,

c（果园）5（菜园）

038=90°,

四边形BCFE是矩形，

.­.CF=BE,BC=EF,

在RtACOF中，DF=CD•sinzFCD«300x0.6=180,CF=CD-coszFCD-300x0.8=

240,

副£=240,

a4E=A2-8E=210,

在RtAADE中，ADAE=65°,tanA=

AE

DE=AE-tanA=210Xtan65°«450米.

EIBC=EB=Z）B+Z）E=180+450=630

答：菜园与果园之间的距离630米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

23.（2022・辽宁营口•中考真题）在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的

高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58。，沿着山坡向上走75米到达

B处.在8处测得大楼顶部M的仰角是22。，已知斜坡4B的坡度i=3:4（坡度是指坡面的

铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度.（图中的点A,B,M,N,C均在同一平面

内，N,A,C在同一水平线上，参考数据：tan22°»0.4,tan58°«1.6）

M

【答案】大楼MN的高度为92米

【分析】过点B分别作BH3AC,BF^MN,垂足分别为E、F,通过解直角三角形表示出BR

AN、AE的长度，利用8斤NE进行求解即可.

过点3分别作B£0AC,B而MN,垂足分别为E、F,

4BEA=乙BFN=4BFM=4MNA=90°

四边形为矩形，

•­.BE=AN,BF=NE

设MN=x,

在RtAZBE中，

•••斜坡4B的坡度i=3:4,即如=

AE4

BE3

•••sin/LBAE=——=-

AB5

-AB=75

・•・BE=45,ZE=60

・•・FN=45

.・.MF=%—45

在RtA2MN中，VtanzMXW=龄乙MAN=58°

X

・•・tan58°=—-«1.6

AN

5

AN«-x

8

5

・•.NE=AN+AE=-x+60

8

..MP

在RtABMF中，­■•tanzMBF=—.Z.MBF=22°

x—45

••・tan22°=———«0.4