2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是隹"，这种说明问题的

方式体现的数学思想是（）

V22

A.方程思想建模思想

C.数形结合思想分类讨论思想

2.（3分）下列运算正确的是（

A.a3,a5=fl15(ab)2—a2b2

C.（滔）3=q：6Q+2Q=3Q

111

3.（3分）已知数据：短,直，TT,其中无理数出现的频率为（

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

4.（3分）如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化

情况，则最适合使用的统计图为（）

日期白天/晚上最高最低AQI风向降雨量

12-01晴14℃0℃45西北风3级0

12-02多云11℃-2℃54东南风2级0

12-03晴/多云12℃-3℃79东南风1级0

12-04阴/晴10℃-3℃53西北风2级0

12-05阴/多云9℃-3℃30西北风3级0

12-06多云/晴10℃-4℃33西北风3级0

12-07多云/晴7℃-3℃37西北风3级0

A.条形统计图B.折线统计图

C.扇形统计图D.以上都不是

5.（3分）下列命题是假命题的是（

A.内错角相等，两直线平行

B.三角形的内角和等于180°

C.四边形的外角和等于180。

D.平行于同一条直线的两条直线平行

6.（3分）如图，在中，AB=AC,ND_L8c于点。，则下列结论不一定成立的是（）

A.AD=BDB.BD=CDC.N1=N2D.NB=NC

7.（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央,

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺

的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶

端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可

列方程为（）

A./+1。2=G+1）2B.（x-1）2+52—X2

C.X2+52=（X+1）2D.（x-1）2+102=x2

8.（3分）已知a,b,c为△NBC的三边长，在下列条件中不能判定△/BC是直角三角形的是（）

A./4+/B=NCB.a=6,b=8,c=10

C.a2+b2=c2D.NN：ZB：/C=3：4：5

9.（3分）从边长为。的大正方形纸板正中央挖去一个边长为6的小正方形后，将其裁成四个大小和形状

完全相同的四边形（如图1）,然后拼成一个平行四边形（如图2）,那么通过计算两个图形阴影部分的

面积，可以验证成立的等式为（）

ab

图2

A.a2-b2=(a-6)2B.(a+6)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=*-2ab+b~D.a2-b2=(a+6)(a-b)

10.（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线/和直线/外一点P,用无刻度的直尺和圆

规过点尸作/的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（）

二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）

11.（3分）4的平方根是.

12.（3分）计算-14/63+7。2b的结果是.

13.（3分）如图，OC平分//O8,在OC上取一点尸，作已知。尸=13,OF=12,点£是射

线OA上一动点，则PE长度的最小值为.

14.（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

8cm,正方形N,B,C的面积之和为36c加2,则正方形。的面积是cm2.

15.（3分）如图，过边长为1的等边△/8C的边上一点P,作尸于点E,。为延长线上一

点，当尸N=C0时，连接尸0交/C边于点。，则DE的长为

A

P/

BcQ

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（10分）（1）计算：—仔。25+屏—七;

（2）分解因式：4X3J^-4x2j2+xy3.

17.（7分）如图，某市有一块长为（30+6）米，宽为（20+6）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分

进行绿化，中间将修建一座雕像.

（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）

18.（8分）如图，在△Z2C中，ZC=90°,AC<BC.

（1）作线段的垂直平分线交2C于点。，连接/D;（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若N8=35°,求/D/C的度数.

1

②分别以D、£为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在//Q8内交于点C.③作射线

OC,则0c就是//08的平分线.

(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是.

(2)小聪只带了一个直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤:

①利用三角板上的长直角边，在CM和上分别截取(W、0N,则0M=0N.

②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P

③作射线0P则。尸为N/02的平分线.小聪的作法正确吗？请说明理由.

20.(8分)新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发

展战略性新兴产业，加快形成新质生产力.我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季

度新能源汽车销售量的情况统计图.

某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图

(1)这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆?

(2)将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；

(3)根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率;

21.(9分)阅读与思考

配方法

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再

进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的

应用.

例如：

①用配方法因式分解：次+60+8

原式=。2+60+9-1=(a+3)2-1=(a+3+l)(a+3-1)—(。+4)(a+2)

②求2/+12x+22的最小值.

解：2/+12x+22=2(X2+6X+11)

先求出X2+6X+11的最小值

X2+6X+11=/+6X+9+2=(X+3)2+2；

由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)220,可得到(x+3)2+222,即x2+6x+ll的最小值为

2.

进而2X2+12X+22的最小值为4.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；

(2)用配方法因式分解：*+120+35；

(3)求2/-4x+10的最小值.

22.(10分)如图所示，在△N2C中，/C=9,BC=12,4B=15,在顶点/处有一点尸，在线段/C上以

每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，在顶点C处有一点Q,以每秒3个单位长度的速度从点C

出发沿C-B-C的路线匀速运动，两点同时出发，当点。停止运动时，点尸也随之停止运动.(1)判

断△NBC的形状，并说明理由；

(2)若两点运动4秒时，求此时P。的长；

(3)设两点运动时间为，秒，当△PC。是一个等腰直角三角形时，求，的值.

A

23.（14分）综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,用纸片制作了△N8C和△DER其中/

ACB=ZDFE=90°,AC=DF,CB=FE,请证明△/BCg/VMF.

图3图4

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题.

深入探究：（2）老师将两个三角形的点8和点E重合在一起，将△DAF绕点2进行旋转，使点/落

在△NBC内部，并让同学们提出新的问题.

①''智慧小组”提出问题：如图2,当/尸BC=NA4c时，48与。尸相交于点尸，试猜想△DP5的形

状，并加以证明；

②“奇想小组”提出问题：如图3,当N/2尸=/R4C时，过点/作尸交AF的延长线于点

5M与NC交于点N.试猜想线段和8尸的数量关系，并加以证明.

独立思考：（3）请你参照以上操作，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图4中画出这

个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明.

2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CBCBCABDDB

一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.（3分）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是隹"，这种说明问题的

C.数形结合思想D.分类讨论思想

【解答】解：：数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点尸所表示的数是隹,

这种利用图形直观说明问题的方式N、B、。的说法显然不正确，

本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法.

故选：C.

2.（3分）下列运算正确的是（）

A.a3'a5=ai5B.（ab）2=a2b2

C.（/）D.6a丁2。^3a

【解答】解：4.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

8.•••（仍）2=/庐，.♦.此选项的计算正确，故此选项符合题意；

C.•••（层）3=°6,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

D.2a=3,.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

故选：B.

3.（3分）已知数据：1业L，BL11,-2,其中无理数出现的频率为（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

]

【解答】解：・・・在于隹,B7T,-2中，无理数是隹，B7T,

3

...无理数出现的频率为：-=0.6,

故选：C.

4.（3分）如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化

情况，则最适合使用的统计图为（）

日期白天/晚上最高最低AQI风向降雨量

12-01晴14℃0℃45西北风3级0

12-02多云11℃-2℃54东南风2级0

12-03晴/多云12℃-3℃79东南风1级0

12-04阴/晴10℃-3℃53西北风2级0

12-05阴/多云9℃-3℃30西北风3级0

12-06多云/晴10℃-4℃33西北风3级0

12-07多云/晴7℃-3℃37西北风3级0

A.条形统计图B.折线统计图

C.扇形统计图D.以上都不是

【解答】解：如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温

度变化情况，则最适合使用的统计图为折线统计图，故选：B.

5.（3分）下列命题是假命题的是（）

A.内错角相等，两直线平行

B.三角形的内角和等于180°

C.四边形的外角和等于180°

D.平行于同一条直线的两条直线平行

【解答】解：/、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；

8、三角形的内角和等于180°,正确，是真命题，不符合题意；

C、四边形的外角和为360。，错误，是假命题，符合题意；

。、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意.

故选：C.

6.（3分）如图，在中，AB=AC,4D_L8C于点。，则下列结论不一定成立的是（）

BD=CDC.N1=N2D./B=/C

【解答】W：'：AB=AC,ADLBC,

:.BD=CD,N1=N2,NB=NC.

故/错误，B,C,D正确.

故选：A.

7.（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题.原文是：今有池方一丈，葭生其中央,

出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺

的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶

端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺.根据题意，可

列方程为（）

A.x2+102=(x+1)2B.(X-1)2+52=/

C.X2+52=(X+1)2D.(x-1)2+1。2=/

【解答】解：：水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果

把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，设芦苇长X尺,

(x-1)2+52=X2,

故选：B.

8.（3分）己知a,6,c为△NBC的三边长，在下列条件中不能判定△/3C是直角三角形的是（）

A./4+NB=NCB.a=6,6=8,c=10

C.cr+b1=c1D.NN：/B：ZC=3：4：5

【解答】解：/、VZA+AB=ZC,且/4+NB+/C=180°,

AZC=90°,

：.AABC为直角三角形,不符合题意;

B、V62+82=102,

...△/8C为直角三角形,不符合题意;

C、：.a2+b2=c2,

...△N8C为直角三角形,不符合题意,

D、TN力：ZB：NC=3：4：5,且N4+N5+NC=180°,

5

J最大角NC=a二=75°,

s十q十b

△NBC不是直角三角形，符合题意；

故选：D.

9.（3分）从边长为。的大正方形纸板正中央挖去一个边长为6的小正方形后，将其裁成四个大小和形状

完全相同的四边形（如图1）,然后拼成一个平行四边形（如图2）,那么通过计算两个图形阴影部分的

面积，可以验证成立的等式为（）

ab

图2

A.a2-b2=（a-6）2B.（a+6）1=cr+2ab+b1

C.（a-b）2=*-2ab+b2D.a2-b2=（a+6）（a-b）

【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a1-b2,图2中阴影部分的面积为：（.+6）（。-6）,

:两图中阴影部分的面积相等，

a2-b2=（a+6）（a-b）,

可以验证成立的公式为。2-庐=（。+6）Q-b）,

故选：D.

10.（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线/和直线/外一点P,用无刻度的直尺和圆

规过点P作/的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（）

【解答】解：A.如图，根据作图可知，ZEPB=ZEFG,

E

-------M/

F'G

：.AB//l,

故/正确，不符合题意；

B.根据作图无法判断所作直线与/平行，

故3不正确，符合题意；

C.如图，根据作图可知，F为N8的中点，。为NC的中点,

故C正确，不符合题意；

D.根据作图可知，BA平分NPBC,PB=PA,

：.ZPAB=ZCBA,

J.PA//BC,

故。正确，不符合题意；

故选：B.

二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）

11.（3分）4的平方根是+2.

【解答】解：V（+2）2=4,

；.4的平方根是±2.

故答案为：±2.

12.（3分）计算-区/庐+7*6的结果是-2户.

【解答】解：原式=（-14+7）•（层+/）•（63・6）

=-2b2,

故答案为：-2庐.

13.（3分）如图，OC平分在OC上取一点尸，作刊QLO8,已知。尸=13,OF=U,点E是射

线0A上一动点，则PE长度的最小值为5.

【解答】解：如图，过P点作于点”,

：0C平分NZOB,PHLOA,PF±OB,

：.PH=PF,ZPFO=90°,

PF=pP2-OF2^132-122=5,

:点£是射线OA上一动点，

/.当PELOA时，PE的值最小，

，尸£的最小值为5,

故答案为：5.

14.（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

8cm,正方形N,B,C的面积之和为36czM2,则正方形止的面积是28cm?.

【解答】解:如图，

根据勾股定理可知，S1+$2=S大正方形=82=64（cm2）,

s正方形c+S正方形。=$2，

s正方形4+s正方形B=S1，

•'-S大正方形=s正方形c+S正方形Q+S正方形/+S正方形B=64c〃a,

,正方形D的面积=64-36=28(cm2),

15.(3分)如图，过边长为1的等边△/8C的边48上一点P,作P£_L/C于点£,。为3c延长线上一

点，当P4=C0时，连接尸0交/C边于点。，则DE的长为0.5.

【解答】解：过P作PP〃5c交/C于足

•：PF//BC,△/5C是等边三角形，

ZPFD=ZQCD,4APF是等边三角形,

:.AP=PF=AF,

\'PE±AC,

:.AE=EF,

:AP=PF,AP=CQ,

J.PF^CQ.

在4PFD和△℃£)中，

(/-PFD=4QCD

乙PDF=^QDC,

PF=CQ

:.△PFDQAQCD(AAS\

：.FD=CD,

•：AE=EF,

；・EF+FD=AE+CD,

1

'.AE+CD=DE=~i4C,

\'AC=1,

：.DE=0.5,

故答案为：05

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（10分）（1）计算：—12。25+再—葛；

（2）分解因式：4x3y-4x2y2+xy\

【解答】解：（1）-i2025+7i6-3—

\27

1

=-1+4--

8

=]

（2）-4x2y2+xy3

=xy（4x2-4xy-hy2）

=xy（2x-y）2.

17.（7分）如图，某市有一块长为（3〃+b）米，宽为（2〃+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分

进行绿化，中间将修建一座雕像.

（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）

（2）求出当Q=3,6=2时的绿化面积.

3。+6

2

【解答】解：(1)阴影部分的面积=(3a+6)(2a+b)-(Q+6)

=6a1+5ab+b2-a2-lab-b2

=5。2+3。6；

(2)当a=3,6=2时，原式=5X32+3X3X2=63(平方米).

18.（8分）如图，在△N2C中，/C=90°,AC<BC.

（1）作线段48的垂直平分线交BC于点D,连接（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若N2=35°,求/D4C的度数.

(2)VZC=90°,48=35°,

AZCAB=90°-35°=55°,

:点。在AB的垂直平分线上，

：.DA=DB,

:./B=/DAB=35°,

:.NDAC=NCAB-NDAB=55°-35°=20°.

19.（9分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用无刻度的直尺和圆规作角平分线，方法如下:

作法：

O比D!A

①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.

1

②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在NZ02内交于点C.③作射线

OC,则OC就是N/O8的平分线.

(1)李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS.

(2)小聪只带了一个直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤:

①利用三角板上的长直角边，在。/和08上分别截取(W、ON,则0M=ON.

②分别过M、N作(W、ON的垂线，交于点尸.

③作射线0P则。尸为的平分线.小聪的作法正确吗？请说明理由.

【解答】解：(1)连接C£,CD.

由作图可知，OE=OD,CE=CD,

;oc=oc,

^EOC^ADOC(SSS),

ZEOC^ZDOC,

平分//O8.

故答案为：SSS；

(2)作法正确.

理由：由作图可知：OM=ON,OP=OP,/ONP=/OMP=90°,

:.RtAONP0Rt^OMP(HL),

：./P0N=/P0M,

平分//OB.

20.(8分)新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发

展战略性新兴产业，加快形成新质生产力.我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季

度新能源汽车销售量的情况统计图.

某区墩024年烂度新能源汽车销售量的情况统计图

(1)这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？

(2)将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；

(3)根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率;

1

【解答】解：(1)20+:=80(万辆),

4

答：这个区域2024年度共销售新能源汽车80万辆.

(2)第一季度销售新能源汽车为80-20-20-32=8(万辆),

第一季度销量占全年的百分比为8・80X100%=10%,

第三季度销量占全年的百分比为20・80X100%=25%,

第四季度销量占全年的百分比为32+80X100%=40%,

某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图

答：从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率60%.

21.(9分)阅读与思考

配方法

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再

进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的

应用.

例如：

①用配方法因式分解：a2+6a+8

原式=。2+60+9-1=(a+3)2-]=(a+3+l)(a+3-1)—(。+4)(a+2)

②求2婷+12》+22的最小值.

解：2/+12x+22=2(X2+6X+11)

先求出X2+6X+11的最小值

X2+6X+11=/+6X+9+2=(X+3)2+2；

由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)220,可得到(x+3)2+222,即x2+6x+ll的最小值为

2.

进而2X2+12X+22的最小值为4.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+4；

(2)用配方法因式分解：*+124+35；

(3)求2/-4x+10的最小值.

【解答】解：(1)/+40+4=(。+2)2,

故答案为：4；

(2)a2+12a+35

=a2+12a+36-1

=(a+6)2-1

=(a+6+1)(a+6-1)

—(a+7)(a+5)；

(3)2X2-4x+10

=2(x2-2x+5)

—2(x2-2x+l+4)

=2(x-1)2+8,

因为(x-1)2是非负数，

所以(X-1)220,2(X-1)2+8、8,

所以2x2-4x+10的最小值是8.

22.(10分)如图所示，在△N2C中，/C=9,BC=12,AB=15,在顶点/处有一点尸，在线段/C上以

每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，在顶点C处有一点Q,以每秒3个单位长度的速度从点C

出发沿C-3-C的路线匀速运动，两点同时出发，当点。停止运动时，点尸也随之停止运动.(1)判

断△NBC的形状，并说明理由；

(2)若两点运动4秒时，求此时P0的长；

(3)设两点运动时间为，秒，当△尸CQ是一个等腰直角三角形时，求才的值.

A

【解答】解：(1)△NBC是直角三角形，

理由："：AC=9,8c=12,AB=15,

：.AC2+BC1=92+U2=152=AB2,

：.ZACB=90°,

：.AABC是直角三角形；

(2)若两点运动4s时，AP=4cm,CQ=Ucm,

'.PC—9-4=5(cm),

:.PQ=*+CQ2=祖2+122p0=13(cm)；

(3)当△PC0是一个等腰直角三角形时，

VZC=90°,

:.PC=CQ,

两点运动时间为，秒时，AP=tcm,则PC=(9-/)cm,

①当点。从点C向点2运动时，CQ=3tcm,

.*.9-t=3t,

9

解得t=4;

②当点。从点