2024-2025学年九年级数学下册专项突破：方程与不等式（综合压轴题）含答案

备战2025中考-方程与不等式（综合压轴题分类专题）（5）

篇一：综合部分

【考点1】解一元一次方程.....1

【考点2】一元一次方程的应用.....2

【考点3】解二元一次方程组.....3

【考点4】列二元一次方程组....3

【考点5】解一元二次方程....4

【考点6】降次思想与整体思想求代数式的值....4

【考点7]根的判别式与根与系数关系....4

【考点8】一元二次方程的应用.....5

【考点9]解分式方程....5

【考点101增根+无解+非负（正）数解.......6

【考点11】列分式方程.6

【考点12]解一元一次不等式（组）........7

【考点13]一元一次不等式（组）含参问题.......8

【考点14]一元一次不等式（组）的应用......8

篇二：压轴部分

【考点15]一元一次方程....9

【考点16】二元一次方程.....9

【考点17】一元二次方程.....10

【考点18】分式方程......10

【考点191不等式与不等式组......11

篇一：综合部分

【考点1】解一元一次方程

（2024・湖南•模拟预测）

1.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可

割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思

想，比如在1+；+*+（+}+…中，“…”代表按规律不断求和，设

试卷第1页，共12页

l+g+[+：+，+…=x.则有X=l+；x,解得x=2,故l+g+J+J+，+…=2.类

似地，■+：+：+…的结果为（）

A.1B.24

D.-

88qI3

（2021•山东烟台・中考真题）

2.幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,

就是一个三阶幻方.将数字1〜9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及

两条对角线上的数字之和都是15,则。的值为.

（2024•江苏南京•三模）

3.一组数据：x-1,x,x+1,10,9,8.这6个数的平均数为8,则中位数为.

【考点2】一元一次方程的应用

（2023•浙江・中考真题）

4.古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二

两.今有干丝--H二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古

代中国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤.

（23-24八年级上•北京丰台•期中）

5.已知：如图，在长方形（长方形四个内角均为直角，并且两组对边分别相等）中,

NB=4,AD=6.延长8。到点E,使CE=2,连接。E,动点尸从点3出发，以每秒2个

单位的速度沿8C-CD向终点A运动，设点P的运动时间为/秒，当/的值为

秒时，A/8尸和全等.

试卷第2页，共12页

6.甲、乙两人在一条直线道路上分别从48两地同时骑摩托车出发，相向而行.当两人

相遇后，甲继续向3地前进（甲到达B地时停止运动），乙也立即调头返回B地.在整个运

动过程中，甲、乙均保持各自的速度匀速行驶.若甲、乙两人之间的距离M米）与乙运动的

时间X（秒）之间的关系如图所示，贝Ija8两地之间的距离为米.

【考点3】解二元一次方程组

（2024-内蒙古呼伦贝尔・中考真题）

a

7.点尸（x,y）在直线＞=-宁+4上，坐标（龙/）是二元一次方程5尤-6y=33的解，则点尸的

位置在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2024•江苏扬州•三模）

8.设为心，％，…，。2必是从-1，0,3这三个数中取值的一列数，若

%+4+〃3+…+。2024=13,Q；+H---------F42024之=59,贝|q4出'+Cl^+^2024（）

A.154B.155C.156D.157

（2024•山东济宁•二模）

9.9知。产0（z=l,2,2024）,且满足条件

区+国+国+...+-+喧=1012,任取一个,•值，则直线尸8+i（"1,2....

%。2023“2024

2024）经过一、二、四象限的概率为.

【考点4】列二元一次方程组

（2024•甘肃兰州•中考真题）

10.数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一

个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7

个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果〉个，则可列方程组为（）

试卷第3页，共12页

x+y=1000x-y=1000x-y=1000x+y=999

A.<4+1=999B.<$+》=999C<411

*%=999-x+—y=1000

J9/

（2024•山东威海•中考真题）

11.《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井.若将绳

三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳

子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等

份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，井深V尺，则符合题

意的方程组是（）

4I”]3x+4二歹

B.

[4x-y=l4x+l=y

x

——1-4A=y

3

D.：

x1

—+l=y

14/

（2024•湖北武汉•模拟预测）

12.甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2min

相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次.则（）

A.甲每分跑2圈，乙每分跑:圈

36

B.甲每分跑（圈，乙每分跑）圈或甲每分跑!圈，乙每分跑（圈

3663

C.甲每分跑|■圈，乙每分跑（圈

D.甲每分跑g圈，乙每分跑;圈或甲每分跑5圈，乙每分跑g圈

【考点5]解一元二次方程

（2024•青海•中考真题）

13.（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

（24-25九年级上•黑龙江牡丹江•期中）

14.若菱形两条对角线的长度是方程V_12X+32=0的两根，则该菱形的边长为（）

A.2石B.8C.50D.10

（23-24九年级上•江苏徐州•期末）

15.一元二次方程x2=2024%的解是.

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【考点6］降次思想与整体思想求代数式的值

（2024・山东烟台•中考真题）

16.若一元二次方程2/一4x-1=0的两根为"?，n,则3疗一4心+/的值为.

（2024・四川内江•二模）

17.己知X1，%?是方程%2-%-2024=0的两个实数根,则代数式牙-2024再+后的值为

（2024•浙江杭州•三模）

18.已知0、6为实数，且满足a6+a+6-8=0,a2b+ab2-15=0,则（。-6）一=.

【考点7］根的判别式与根与系数关系

（2024•吉林长春•中考真题）

19.若抛物线了=--x+c（c是常数）与x轴没有交点，贝心的取值范围是.

（2024・上海宝山•一模）

20.一次函数了=-3x-a不经过第三象限，关于x的方程ax2-3x+l=0的解的个数为.

（2024•广东广州•模拟预测）

21.一次函数y=-3x+后与反比例函数＞="有且仅有一个交点，则上的值为.

X

【考点81一元二次方程的应用

（2024・山东济南•模拟预测）

22.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩

余部分进行绿化.设修建的道路宽为x米，如果绿化面积为丁平方米，那么了与x之间的函

数关系式为（）

国

A.y-8000-100x-10xB.j=（100-x）（80-x）+x2

C.^=（100-x）（80-x）D.y=100x+80x

（2024•山东青岛•中考真题）

23.如图，某小区要在长为16m,宽为121n的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的

宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m.

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（2023•四川达州•中考真题）

24.如图，乐器的一根弦43=80cm,两个端点42固定在乐器面板上，支撑点C是靠近

点B的黄金分割点，即AC2=ABBC,支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点

C,。之间的距离cm.（结果保留根号）

【考点9】解分式方程

（2024・山东济南•模拟预测）

25.已知点在平面直角坐标系第二、四象限的角平分线上，贝卜"=_____

一加m+2J

（2023•内蒙古赤峰•中考真题）

1x+6

26.方程-----1--7--7=1的解为.

x+2x—4

（2024・浙江•模拟预测）

27.仔细观察下面的等式，试解答下面的题目:

117

⑴解方程一+=彳,解得x=

（2）解方程：+解得彳=

【考点101增根+无解+非负（正）数解

（2018•黑龙江齐齐哈尔・中考真题）

.若关于的方程占mn7+3

28x+----口无解，则〃，的值为一.

x+4

（2019•黑龙江齐齐哈尔・中考真题）

29.关于x的分式方程生f-1匚=3的解为非负数，则”的取值范围为____.

x-1l-x

（2024•重庆•模拟预测）

x-4.

-----x<2

30.若关于x的一元一次不等式组3有解且至多5个偶数解，且关于y的分式

3x-2<4m

试卷第6页，共12页

方程二+与竺=-3的解是整数，则符合条件的所有整数加的和为_______.

y-33-y

【考点11】列分式方程

(2024・安徽•模拟预测)

31.为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度

需要，实际每天植树棵数比原计划增加了25%,结果提前4天完成任务.若设实际每天植

树X万棵，则根据题意可得方程为()

A.200+25%)一型一B20204

-------=4

XX25%xx

202042020)

--

C(1+25%)XTDx(1+25%)%

(2024・山东日照・中考真题)

32.【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读

环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍.

【素材呈现】

素材一：有48两种书架可供选择，/种书架的单价比2种书架单价高20%；

素材二：用18000元购买/种书架的数量比用9000元购买2种书架的数量多6个；

素材三：/种书架数量不少于3种书架数量的

【问题解决】

⑴问题一：求出43两种书架的单价；

(2)问题二：设购买。个/种书架，购买总费用为卬元，求w与。的函数关系式，并求出费

用最少时的购买方案；

(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，/种书架每个降价机元，3种书架每个涨

价;加元，按问题二的购买方案需花费21120元，求加的值.

(2022•四川成都•二模)

33.为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问

题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买48两种文具奖励在

此次托管服务中表现优秀的学生.已知/文具比3文具每件多5元，用600元购买/文具,

900元购买8文具，且购买8文具的数量是/文具的2倍.

⑴求4,3文具的单价；

(2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了，，8两种文具.在购买当日，正逢该店

试卷第7页，共12页

促销活动，所有商品八折销售.在不超过预算资金1200元的情况下，A,8两种文具共买了

90件，则最多购买了/文具多少件？

（2024•青海西宁•三模）

34.为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现

安排两个安装公司共同完成.已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的1.5倍，乙

公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天.求甲乙两公司每天各安装多少

间教室？设乙公司每天安装x间教室，请根据题意列出方程.

（2024・内蒙古•中考真题）

35.2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家生产大小两种

型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙

辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为

元.某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小

号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的

售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为元.

【考点12]解一元一次不等式（组）

（2024•江苏徐州•中考真题）

36.（1）解方程：X2+2X-1=0；

"3x-l<8

（2）解不等式组x+1x.

----<—

[3-----2

（2024•广东广州•模拟预测）

37.已知实数6满足|。+4|+病与=。+4,则a+b的取值范围可在数轴表示为（）

嚏;应电息正1

（2024•辽宁•模拟预测）

38.若关于x的一元二次方程（〃+2）/+3工+1=0有两个不相等的实数根，则q的取值

范围是（）

11

A.a<—B.a<—

44

试卷第8页，共12页

C.a<—且QW—2D.a>一且aw—2

44

【考点13]一元一次不等式（组）含参问题

（2024・湖南长沙•模拟预测）

2x—aW—1

39.若关于x的不等式组x+12x，有且只有两个偶数解，且关于>的分式方程

[23

色4=2-产有解，则所有满足条件的整数。的和是（）

y-22-y

A.15B.10C.5D.3

（2024・湖北•模拟预测）

[6-3（x+l）<x-5

40.若关于x的一元一次不等式组,的解集是x>2,则机的取值范围是

[x-m>-1

（）

A.m>3B.加23C.m<3D.加（3

（23-24七年级下•重庆黔江•期中）

5x>3（x+2）

41.若关于％的不等式组工+3a有且只有2个整数解，且关于V的方程5+砂=2y-7

x-----<一

I216

的解是负整数，则符合条件的所有整数。的和是（）

A.33B.28C.27D.22

（2024・湖南怀化•模拟预测）

42.点M的坐标是（a,-2a）,点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N,当

点N在第三象限时，。的取值范围是.

【考点14]一元一次不等式（组）的应用

（2024•江苏宿迁•中考真题）

43.某商店购进/、2两种纪念品，已知纪念品/的单价比纪念品2的单价高10元.用600

元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同.

（1）求纪念品4、B的单价分别是多少元？

⑵商店计划购买纪念品/、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，

若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？

（2021•黑龙江大庆•中考真题）

44.三个数3,1-1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形,

试卷第9页，共12页

则。的取值范围为

（2024•浙江台州•二模）

45.州市域铁路S1线台州站至城南站全长52km,理论票价实行里程分段计价制，理论票价

了（单位：元）与行驶里程x（单位：km）之间的函数关系如图3c为线段），但

在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如

当行驶里程为37km时，所得理论票价为8.5元，实际票价则为9元，经查从甲站到乙站的

实际票价为10元，则甲乙两站的里程不可熊为（）

篇二：压轴部分

【考点15]一元一次方程

（2020•西藏•中考真题）

46.观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则n

等于（）

A.18B.19C.20D.21

（2023・浙江绍兴•中考真题）

47.若关于x的方程（1-/）龙2+23-1=0所有的根都是比1小的正数.则实数力的取值范

围是.

【考点16]二元一次方程

（2022•四川绵阳•二模）

y—j/l=X2

48.若整数x,＞满足方程组,2,且-24xW4,%。儿则机的最大值为（）

\x-m=y

A.0B.-1C.-2D.-3

试卷第10页，共12页

（2022•山东日照•中考真题）

49.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形CM2C的顶点。在坐标原点，点E是对角线

NC上一动点（不包含端点），过点£作交48于F，点尸在线段放上.若。4=4,

0c=2,乙4OC=45。，EP=3PF,P点的横坐标为根，则加的取值范围是（）

A.4<m<3+^2B.3-A/2<m<4C.2-^/2<m<3D.4<m<4+^2

（2021•重庆•中考真题）

50.盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现

销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为力,

B,C三种盲盒各一个，其中4盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；8盒

中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比

为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经核算，/盒的成本为

145元，2盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱

的成本之和），则C盒的成本为元.

【考点17]一元二次方程

（2023•湖南岳阳•模拟预测）

51.在自变量x的取值范围内，对于自变量x=a时，函数值N=a,则称。是函数的一个不

动点，若函数y=1+（2左-3）X+1恰有一个不动点，则实数上的值不可能是（）

A.-1B.0C.1D.4

（2023•浙江金华・中考真题）

52.如图是一块矩形菜地/BCD,48=a（m）,ND="m）,面积为s（m2）.现将边增加

Im.

试卷第11页，共12页

图1图2

（1）如图1,若。=5,边/。减少1m,得到的矩形面积不变，则6的值是

（2）如图2,若边4D增加2m,有且只有一个。的值，使得到的矩形面积为2s（m?）,贝i]s

的值是.

【考点181分式方程

（2021・重庆・中考真题）

Ziv—33X—1

53.关于x的分式方程空三+1==的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组

x—22-x

f3j-2

---------Wv-1

<2""有解，则所有满足条件的整数。的值之和是（）

y+2>a

A.-5B.-4C.-3D.-2

（24-25八年级上•安徽合肥・期中）

,,\x-a（x>a\

54.已知函数>=|x-a|=<

\a-x\x<a]

（1）若。=1,当04x42时，了的取值范围是

（2）当1W尤V3时，了有最小值5,则〃的值是

【考点19]不等式与不等式组

（2022・重庆南岸•一模）

2x-15x+1〉]

55.关于x的一元一次不等式组工厂一’有解，且使关于y的分式方程

x+5>a

=2-丁匚的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

y—33—y

A.8B.5C.3D.2

（23-24八年级下•浙江宁波•期末）

56.若关于x的方程|x-3|="有实数根，贝””的取值范围是

试卷第12页，共12页

1.A

【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去

分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.设l+：+(+:+...=x,知

1+(+?+?+…=l+?(l+?+(+(+”J，据此可得x=l+*x,再进一步求解可得.

【详解】解:设1+i+*[+...=x,

r「111)

,732343632323436)

1I

/.x=1+—x,

9

解得x=5，

O

1I19

+一++-

FF+.8-

32

1111

.——i———i————

"3234368'

故选：A

2.2

【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以

求出a.

【详解】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量

第一行第一列：6+6+8=15,得到6=1

第三列第三行：8+3步15,得到户4

.•卢4

•••对角线上6+c步15

.-.6+4+c=15,得到c=5

•­•c=5

另外一条对角线上8+c+a=15

.•.8+5+。=15,得到。=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关

答案第1页，共32页

键.

3.8

【分析】本题考查平均数的定义、中位数的定义、解一元一次方程，熟练掌握平均数的定义

及中位数的定义是解题的关键.

先根据平均数的定义列方程求出x的值，再根据中位数的定义求解即可.

【详解】解：,.,xT,x,x+1,10,9,8.这6个数的平均数为8,

x—1+x+无+1+10+9+8门

---------------------------------=8,

6

解得x=7,

这组数据为：6、7、8、10、9、8,

把这组数据按照从大到小的顺序排列，处于中间的两个数分别为8、8,

O1O

.•.这组数据的中位数为：==8,

2

故答案为：8.

96

4.—

7

【分析】设原有生丝x斤，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：设原有生丝x斤，依题意，

30x

30-3—12

16

解得：X=y,

96

故答案为：—■

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键.

5.1或7##7或1

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握

全等三角形的判定定理是解题关键.分BP=CE=2和/P=CE=2两种情况，证明和

△DCE全等，进而可得关于，的一元一次方程，求解即可获得答案.

【详解】解：根据题意，可知CO=AB=4,AD=BC=6,/ABC=NDCE=/BAD=90°,

分两种情况讨论，

①当5P=CE=2时，如下图，

答案第2页，共32页

♦；AB=DC,ZABP=NDCE,BP=CE,

AABP'DCE(SAS),

由题意得AP=2l=2,解得f=l(秒)；

②当/P=C£=2时，如下图，

AB=DC,ZBAP=ZDCE,AP=CE,

：.^ABP^CDE（SAS）,

由题意得/P=16-2f=2,解得/=7（秒）.

综上所述，当/的值为1或7秒时，“AP和△OCE全等.

故答案为：1或7.

6.1400

【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找

出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

根据题意和函数图象可以得到甲乙相遇时行驶的时间，然后根据函数图象中的数据可以列出

相应的方程，即可求得力,3两地之间的距离.

【详解】解：由题意和图象可得，

甲从/地到B地用的时间为175秒，乙从开始到回到B地用的时间为200秒，

，甲乙相遇的时，甲乙都行驶了100秒，

设A,8两地的路程为S米，

S-1050_S

~25~"100）

答案第3页，共32页

解得，5=1400,

故答案为：1400.

7.D

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组

-33

y=—x+4

<4,求出点尸的坐标即可判断.

5x-6y=33

3

y---x+44

【详解】解：联立方程组4,

5x-6y=33

解得

■■-P的坐标为［6,-5

・・•点尸在第四象限，

故选:D.

8.D

【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解

题的关键.

(~x+3y=13

根据题意，设这一列数中有x个-1,V个3,可列，八2.小〃，即可求出x与了的值,

33

再将其代入。;+W+W+--.+«2024=(-l)x+3y中计算即可.

【详解】解：设这一列数中有X个-1,了个3,

f-x+3j=13

可列](-1)2》+3o=59，

fx=5

解得：,，

[y=6

,,+02++...+“2024

=(-1)%+3。

=-5+27x6

故选：D.

答案第4页，共32页

1

9.

4

【分析】由题意知，同=1或同=-1,设图中有x个1,y个-1,依题意得，

%%%

[x+y=2024fx=1518

，可求,诙，即4中有1518个正数，506个负数，由4<°时，直线>+»

[x—>=1012[歹=506

(i=l,2,…，2024)经过一、二、四象限，根据普，计算概率即可.

2024

【详解】解：由题意知，同=1或⑷=-1,

%生

设」中有X个],>个—1,

Qj

fx+y=2024

依题意得，,

[x-y=11n012o

|x=1518

解得，

[y=506

.,.q中有1518个正数，506个负数，

当《<0时，直线y=+i(i=l,2,2024)经过一、二、四象限，

506_1

,2024"4,

•,・直线V=qx+i("I,2,2024)经过一、二、四象限的概率为;.

故答案为：；.

【点睛】本题考查了化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计

算.熟练掌握化简绝对值，一元二次方程组的应用，一次函数的图象，简单的概率计算是解

题的关键.

10.A

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000

个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可.

【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：

答案第5页，共32页

x+y=1000

<114•

一、+一尸999'

197,

故选A.

11.C

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多

四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组.正确理解题意，找

准等量关系解题的关键.

【详解】解：设绳长X尺，井深»尺，

故选：C.

12.B

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.设甲的速度为x,乙的速度为V,环形路的长

度为单位1,由题意得出二元一次方程组，解方程组即可.

【详解】解：设甲的速度为x,乙的速度为V,环形路的长度为单位1,当甲比乙跑得快时,

由题意得Ki

.1

x=—

解得:，

T=6

.••甲每分跑:圈，乙每分跑!圈，

36

当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑」圈，乙每分跑(圈；

63

故选：B.

13.(1)x=l或x=3

(2)第三边的长是或2后

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股

答案第6页，共32页

定理分别计算即可.

【详解】解：(1)X2-4x+3=0

(x-l)(x-3)=0

x=l或x=3；

(2)当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为疗寸=而；

当一条直角边为1,斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为"F=2&.

答：第三边的长是丽或2行.

14.A

【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质.熟练掌握解一元二次方程，菱形的性质，

是解此题的关键.

先求出方程的解，即可得出NC=8,80=4,根据菱形的性质求出/。和。。，根据勾股定

理求出即可.

【详解】解：设菱形为/8C。，AC.BD交点、为0,AC>BD,

解方程f-12工+32=0,

得x=8或4,

•.•菱形两条对角线的长度是方程/_I2x+32=0的两根，

.-.AC=8,BD=4,

.-.ZAOD=90°,AO=OC=4,BO=DO=2,

由勾股定理得：AD=y/OA2+OD2=275.

故选：A.

D.------------.r

15.玉=0,x2=2024

【分析】本题主要考查了解一元二次方程.熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解决问

答案第7页，共32页

题的关键.

移项，提公因式X,化成两个一元一次方程解答即可.

【详解】■-X2=2024X,

二移项得，X2-2024X=0,

分解因式得，x(x-2024)=0,

・•.x=0,x-2024=0,

再=0,x2=2024.

故答案为：%=0,%=2024.

16.6

【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若%,马是一元二次方程

hQ一

◎2+/>x+c=0(aH0)的两根时，再+/=--,尤1%=—,熟练掌握一元二次方程根与系数的

aa

关系是解题关键.

根据根与系数的关系得机+"=2,机"=2m2-4加=1,再把3疗一4机+”2变形为

222

2m-4m+m+n,然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可.

【详解】解：••一元二次方程2/-4x-l=0的两个根为〃?，”，

C1,

：,m+n=2,mn=——,2m-4m=1

2

3m2-4m+n2

=2m2-4m+m2+n2

=m2+H2+1

=(m+n)2-2mn+]

=22-2X(-1)+1

=6

故答案为：6.

17.4049

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系.熟练掌握方程根的定义和根与系数

的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键.一元二次方程

答案第8页，共32页

b

办2+bx+c=o(Qwo)的两根为孙x,则根与系数的关系为演+々=一一，再入2=一c.

2aa

根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到斗+%=1，为马=-2024和才-2024=再，

即得x；—2024」］+x；=4049.

【详解】f,%是方程V-x-2024=0的两个实数根，

xi+x2=1,x1x2=-2024,x；-玉一2024=0,

・•・x；—2024=%,

・•・x：-2024占+x；

=占—2024)+x；

=X；+X；

=(国+马『一2百12

=12-2x(-2024)

=4049.

故答案为：4049.

18.13

【分析】此题主要考查了根与系数的关系，注意：解答此题需要分类讨论.根据已知条件推

知时、6是方程、2—8X+15=0,即(x-3)(x-5)=0的两个根，然后通过解方程求得①

ab=3,。+6=5；②Q6=5,a+b=3；最后将所求的代数式转化为完全平方和的形式，

并将①②分别代入求值.

【详解】解：••.〃、b为实数，且满足Qb+a+b-8=0,a2b+ab2-15=0,

ab+(a+b)=S,ab,(a+b)=15,

:.ab、a+b是方程——8%+15=0,即(x-3)(x-5)=0的两个根，

，x=3或x=5；

①当ab=3,a+b=5时，(。一人了=(a+b)2—4。6=25—12=13,Wfl(a-b)2=13；

②当ab=5,a+b=3时，(。一人了=(a+Z>y—4必=9-20=—ll<0,BP(a-b)2<0,不合题意；

综上所述，(4-6)2=13；

答案第9页，共32页

故答案为：13.

【分析】本题主要考查了抛物线>="2+加+。与x轴的交点问题，掌握抛物线

2

y=of+云+。与x轴没有交点与x-x+c=0没有实数根是解题的关键.

由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可.

【详解】解：•••抛物线了=x2-x+c与x轴没有交点，

・•・尤2一无+°=0没有实数根，

21

A=？-4x1xc=1-4c<0,c>—.

4

故答案为：c>：.

4

20.1或2

【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过

第三象限的条件，直线夕=-3%-。不经过第三象限，则_°=0或_°>0,分这两种情形判断

方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键.

【详解】解：•••直线不经过第三象限，

二-a=0或-a>0,

a=0或。<0,

当。=0时，原方程为-3x+1=0,是一元一次方程，故有一个实数根；

当。<0时，方程ax?-3x+l=0是一元二次方程，

；.A=(-3)2-4fl=9-4fl,

•/a<0,

—4Q>0,

9—4a>0,

A>0,

••.方程有两个不相等的实数根，

综上，方程有1个或2个解，

故选：D.

21.12

答案第10页，共32页

【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点,

解题的关键是理解题意.

联立一次函数y=-3x+斤与反比例函数〉=人解析式，根据题意得出

X

A=^2-4X(-3)X(-Z：)=0,即可求解；

kk

［详解］解：将y=一代入y=_3x+后得±=_3x+4,

XX

整理得-3x2+Ax—左=0,

k

・・,反比例函数V=—与一次函数＞=-3x+左的图象有且只有一个交点，

x

二.A=左？—4x(—3)x(-1c)=0,

.•.左=12或0(舍去)，

故答案是：12.

22.C

【分析】本题主要考查了列一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键.根据题中图形，矩

形的面积计算方法进行求解即可.

【详解】解：依题意可得：j=(100-x)(80-x),

故选：C.

23.2

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为由，则长方形花坛的长

为(16-2x)m,宽为(12-2x)m,再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可.

【详解】解：设小路的宽为xm,则长方形花坛的长为(16-2无)m,宽为(12-2x)m,

由题意得，(16-2x)(12-2x)=-1xl6xl2,

同理得Y-14X+24=0,

解得x=2或x=12(舍去)，

小路的宽为2m,

故答案为：2.

24.(80V5-160)

【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方