2024-2025学年广东省惠州某中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含详解）

2024-2025学年广东省惠州八中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）在2024年春晚舞台上中国传统纹样创演秀《年锦》惊艳全网，纹样浓缩了民间美学与数学原

理.下列纹样是中心对称图形的是（）

2.（3分）方程4x-5x2=一1化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数和常数项分别是（）

A.4,1B.4,-1C.-4,1D.-4,-1

3.（3分）已知>=（加+2）x网+2是关于x的二次函数，那么沉的值为（）

A.-2B.2C.±2D.0

4.（3分）如图，四边形48co内接于若/C=130°,则的度数为（）

C.130°D.150°

2

5.（3分）若一元二次方程A-x-2=0的两根为X>x2>则（1+xp+x2（1-xp的值是（）

A.4B.2C.1D.-2

6.（3分）小明以二次函数y=2N-4x+8的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的

设计稿，若48=4,DE=4,则杯子的高CE为（）

E

A.12B.11C.6D.3

7.（3分）如图，是二次函数＞="2+乐+。（Q,b,c是常数，且aWO）的图象，虚线是抛物线的对称

轴.则一次函数y=acx+b的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如图所示，在中，N4c5=90°,AC=3fBC=4,以。为圆心，尸为半径的圆与边45

有公共点，则〃的取值范围为（）

1912

B.r=3或r=4C.—D.—

55

9.（3分）如图①，点4、8是。。上两定点，圆上一动点P从圆上一定点5出发，沿逆时针方向匀速

运动到点4,运动时间是x（s）,线段4尸的长度是y（c冽）.图②是歹随x变化的关系图象，则图中

m的值是（）

10.（3分）如图，在等腰直角三角形A8C中，/BAC=90。，一个三角尺的直角顶点与边的中点。

重合，且两条直角边分别经过点/和点瓦将三角尺绕点。按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角

尺的两直角边与N3,NC分别交于点E,尸时，下列结论中错误的是（）

B.N3E0+/。尸C=180°

C.OE+OF^-^-BC

2

D•S四边形AEOF=^AABC

二、填空题：本题共5小题；每小题3分，共15分.

11.（3分）点（1,-2）关于原点的对称点的坐标为.

12.（3分）已知抛物线y=》2-6x+加与x轴有且只有一个交点，则加=.

13.（3分）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程

中，设置了一个圆形展厅，如图，在其圆形边缘上的点尸处安装了一台监视器，它的监控角度是72°,

为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台.

14.（3分）如图，矩形/8CD中，BC=4,CD=2,以NO为直径的半圆。与8c相切于点£,连接8D,

则阴影部分的面积为.（结果保留1T）

0

15.（3分）如图，一段抛物线y=-x（x-5）（0WxW5）,记为g,它与x轴交于点。，A；将。绕

点4旋转180°得。2，交x轴于点幺2；将。2绕点旋转180°得。3，交X轴于点43；…如此进行下

去，得到一“波浪线"，若点尸（2024,在此“波浪线”上，则加的值为.

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

16.（8分）解方程：（x-3）（尤+1）=x-3.

17.（8分）己知关于x的一元二次方程（入2）/+（左-2）x+l=0有两个相等的实数根，求人的值及方

程的根.

18.（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△NBC的顶点和点。均在网格线的

交点上.以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转90°,得到△小81cl.

（1）请在网格中画出△为为。］.

（2）求点N从开始到结束所经过的路径长.

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.（9分）如图所示，四边形N8CD是正方形，△NDF旋转一定角度后得到AF=4,AB=10.

（1）这个图形变换中，旋转中心是，旋转角度是,DE=.

（2）求证：直线

20.（9分）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线相交于/（-3,0）,2（0,3）两点，与x轴的

另一个交点为C,连接3c.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在抛物线上是否存在一点P,使得SA4B=2.若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理

由.

21.（9分）某公司2022年投入研发费用120万元，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为

8元/件.经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）的对应关系如下表所示：

X/（元/件）111315

W万件292725

（1）直接写出y关于x的函数关系式;

（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%,则当产品的售价为多少时，该年年利润•（万

元）最大？其最大年利润是多少？

四、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

22.（12分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1,线

段PM、组成折线段尸A〃，点8在折线段尸必上，若PB=BM+MA,则称点8是折线段PA〃的中

点.

A

PBM

图1

【理解应用】（1）如图2,OM的半径为2,P/是的切线，/为切点，点2是折线段P叱4的中点，若/

P=30°,则PB的长为.

图2

【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3,N5和2c是。。的两条弦（即折线段/2C是圆的一条折

弦），2c>/3,点”是点^的中点，从/向BC作垂线，垂足为。，贝lJCD=/5+3D.这个定理有很

多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明CD=/8+8D的部分证明过程.

证明：如图3,在8c上截取CG=/8,连接MC、MG、MB、MA,

,点M是［R的中点，

•,•靠=筋,

：.MA=MC.

（2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；

【变式探究】（3）如图4,若点M是孩的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD、DB、BA

之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论.

图4

【灵活应用】（4）如图5,3c是。。的直径，点/为。。上一定点，点。为O。上一动点，且满足N

DAB=45°，若A8=8,8c=10,则

23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，点”的坐标是（5,4）,与y轴相切于点C,与x轴相

交于42两点.

（1）请直接写出4B,C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式;

（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E,求证：直线E4与。M相切;

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点尸，且点P在x轴的上方，使△P2C是等腰三角形？如果存在,

请说明理由.

2024-2025学年广东省惠州八中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案BABBAACDCc

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1.【解答】解:/、图形不是中心对称图形，不符合题意；

8、图形是中心对称图形，正确，符合题意；

C、图形不是中心对称图形，不符合题意；

。、图形不是中心对称图形，不符合题意，

故选：B.

2.【解答】解：4x-5x2=一1化成一元二次方程一般形式是-5/+公+1=0,

它的一次项系数是4,常数项是1.

故选：A.

3.【解答】解：•.1=（加+2）x园+2是y关于x的二次函数，

剂=2且m+2W0.

解得m=2.

故选：B.

4.【解答】解：•••四边形/BCD内接于O。，

.\Z^+ZC=180°,而/C=130°,

Zy4=18O°-ZC=50°,

：.ZBOD^2ZA^100°.

故选：B.

5.【解答】解：根据题意得修+叼=1，肛》2=-2,

所^以（1+X]）+工2（1-X]）l+X]+》2"1+1-（-2）:=4.

故选：A.

6.【解答]解：；y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6,

抛物线顶点。的坐标为（1,6）,

'：AB=4,

・・・B点的横坐标为x=3,

把x=3代入y=2%2-4%+8,得到y=14,

・・・。。=14-6=8,

・•・CE=CD+DE=8+4=12.

故选：A.

7.【解答】解：•・,抛物线开口向下，抛物线与〉轴交于正半轴，

.*.6Z<0,c>0,

・・・抛物线的对称轴在J轴的右侧，

：.b>Of

4。<0,

・・・一次函数歹=QCX+b的图象经过一、二、四象限，

，一次函数^=。。%+6的图象不经过第三象限.

故选：C.

8.【解答】解：作CD_L45于。，如图所示：

VZACB=90°,4C=3,BC=4,

：.AB=y/32+i2=5,

AABC的面积=工438=工4c"C,

22

.rnAC-BC12

AB5

即圆心C到AB的距离d=毕,

5

•：AC<BC,

以c为圆心，r=孕或4为半径所作的圆与斜边N8只有一个公共点,

5

...若OC与斜边AB有公共点，则r的取值范围是孕WrW4.

5

故选：D.

B.

CA

9.【解答】解：图②是y随x变化的关系图象，

当x=2时，y=AP=4cmf即此时4、。、尸共线,

，圆的半径为：yAP=2cm>

当x=0时，y=AP=2&cir，即AB=AP=2&cir，

■：OA=OB=2cm,杷=26cir，

：.AB2=OA2+OB2,

...△/08是等腰直角三角形，NAOB=90°,

当x=2时，点P运动到点C,如图:

...点P走过的角度为90°

・••点P走过的弧长为：丹X2冗火2二兀(cm)，

360

・,•点P运动的速度为：TT4-2=~^~(cm/s)»

当工=冽时，y=AP二2«，

过点。作8,4尸于点。,

vcosZOPD=^1-^y-^

AZPOD=90°-NO尸0=90°-30°=60°，

：.ZAOP=2ZPOD=120°，

・•・点尸走过的角度为：90°+(180°-120°)=150°,

二点P走过的弧长为：耿。-X2冗

3603

5冗•冗10,s

,,m-=T(s)，

32

故选：c.

10.【解答】解：连接40,如图所示.

•••△/5C为等腰直角三角形，点。为的中点,

：.OA=OC,ZAOC=90°,ZBAO=ZACO=45°.

VZEOA+ZAOF=ZEOF=9Q°，ZAOF+ZFOC=ZAOC=90°，

：.ZEOA=ZFOC.

<ZE0A=ZF0C

在△ECM和△尸OC中,OA=OC，

ZEA0=ZFC0

AEOA^AFOC(ASA),

：.EA=FC,

：.AE+AF=AF+FC=AC,选项力正确；

•；/B+/BEO+/EOB=NFOC+NC+/OFC=180°,ZB+ZC=90°,/EOB+NFOC=1800-Z

EOF=90°,

ZBEO+ZOFC=\^°,选项8正确;

AEOA义AFOC,

,•SAEOA=SAFOC，

二•S四边形/EO尸=52\片04+8440尸=5△尸oc+S4zo尸选项D正确•

故选：C.

二、填空题：本题共5小题；每小题3分，共15分.

11.【解答】解：点(1,-2)关于原点的对称点的坐标为(-1,2),

故答案为：(-1,2).

12.【解答】解：：抛物线y=x2-6x+%与x轴有且只有一个交点，

方程炉-6x+m=0有唯■解.

即A—b2-4ac=36-4加=0,

解得：m=9.

故答案为：9.

13.【解答］解：:•一台监视器，它的监控角度是72。，

一台监视器所对应的弧的角度为：72°X2=144°,

V36O04-144°=2.5,

...最少需要3台，

故答案为：3.

14.【解答】解：连接0E,如图，

:以为直径的半圆。与相切于点E,

：.OD=2,OELBC,

易得四边形OECD为正方形，

2

，由弧DE、线段EC、CD所围成的面积=S正方形OECQ-S扇形EOQ=22-丝三工=4-m

360

・'.阴影部分的面积=4"X2X4-(4-it)=TT.

故答案为TT.

15.【解答】解：一段抛物线y=-x(x-5)(0WxW5),记为Q,它与x轴交于点O,A,

当y=0时，得：-x(x-5)=0,

解得：%i=0,X2=5,

：.Al(5,0),

:将G绕点小旋转180°得。2，交x轴于点/2，

；.。2的解析式为＞=-(无T)(%-10),々(1。，0),

•••将C2绕点也旋转180°得。3，交x轴于点，3，

Q的解析式为V=（%-10）（X-15）,A3（15,0）,

.••整个函数图象以5X2=10个单位长度为一个周期，函数值就相等,

•・・2024+10=202……4,

Am的值等于x=4时的纵坐标，

.\m=-x(x-5)=-4义(4-5)=4,

故答案为：4.

三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.

16.【解答】解：原方程变形得：(x-3)(x+1)-(x-3)=0,

因式分解得：(%-3)(x+1-1)=0,

BPx(x-3)=0,

解得：修=0,初=3.

17.【解答】解：由题意得，△=Qk-2)2-4Ck-2)=0,

左+12=0,

・•・(左-6)5-2)=0,

解得：左1=6,左2=2，

•・•方程(攵-2)x2+(左-2)x+l=0是一元二次方程，

・•・左一270,即公£2,

・•・左=6,

方程为4工2+4%+1=0,

・•・(2x+l)2=0,

解得：修二工2=蒋.

18.【解答】解：(1)如图，△小小G即为所求.

(2)点/从开始到结束所经过的路径长为即三:5=^■冗.

1802

四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.【解答】(1)解：根据已知，旋转中心是点/,旋转角度是90°,

-4,4=10,

：.AE=AF=4,AD=AB=\0,

：.DE=AD-AE=10-4=6,

故答案为：点490°,6；

(2)证明：延长交。咒于"，如图：

・・・AADF旋转一定角度后得到△45E,

/FDA=/EBA,

/DEM=NAEB,

：.ZDME=ZEAB=90°,

：.BE±DF.

f-9_3b+c=0

20.【解答】解：(1)把点/(-3,0),5(0,3)代入y=-d+bx+c得:

lc=3

解得：(b=~2,

lc=3

抛物线的解析式是y=-x2-2x+3；

(2)假设在抛物线上存在点P,使得得SA4b=2,

令y=0,则-X2-2X+3=0,解得x=-3或1,

：.C(1,0),

：.AC=4,

■:Sfcp=2,

1・apl=2,即/X4火力1=2,

，尸±1,

当y=l时，可得—-2X+3=1,

解得：x=-1±V3>

当y=-1时，可得-x2-2x+3=-1,

解得：x=-1士优，

，符合条件的点尸坐标为（-1+«，1）或（-1-百，1）或（-1+病，-1）或（-1-'后,

1）.

21.【解答】解：（1）设函数关系式为〉=船+6（左W0）,根据题意可得：

fllk+b=29

I13k+b=27，

解得：卜T,

lb=40

•''y关于x的函数关系式为y=-x+40；

（2）根据题意可得：

w=y（x-8）-120=（尤-8）（-x+40）-120=-/+48x-440=-（x-24）2+136,

/.-1<0,开口向下，

8W8X150%,

，xW20,

:w=-（x-24）2+136,当x<24时，y随x的增大而增大,

...当x=20时，w有最大值，最大值为w=120,

答：当售价为20元时，利润最大，最大利润为120万元.

四、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.

22.【解答】（1）解：；尸/是。〃的切线，/为切点，

：.PALAM,

：.ZPAM=90°,

VZAPO=30°,AM=2,

；.尸河=4,

：.PM+AM=6,

是折线段的中点,

：.PB=3,

故答案为：3；

（2）证明：如图3,在2c上截取CG=/2,连接MC、MG、MB、MA,

M

图3

:点M是［R的中点，

•■•MA=MC>

：.MA=MC.

ZA=ZC,

在LMAB和△MCG中，

'MA=MC

-ZA=ZC-

.AB=CG

:.AMAB沿工MCG(SAS),

：.MB=MG,

■:MDIBC,

：.BD=DG,

：.AB+BD=CG+DG=CD,

CD=AB+BD；

(3)解：BD^AB+CD,理由如下：

如图4,在8。上截取2G=/8,连接儿(、MA、MB、MG,

图4

:点M是筱的中点，

：.AM=CM,ZABM=ZMBG,

在△M43和△MGB中，

'AB=GB

-ZABM=ZGBM-

LMB=MB

:.AMAB%AMGB(SAS),

:.MA=MG,

：.MC=MG,

'：DM±BC,

:.CD=DG,

:.AB+CD=BG+DG=BD；

：.BD=AB+CD；

(4)解：是。。的直径，

/.ZBAC=90°,

'：AB=8,3c=10,

由勾股定理得NC=6,

当。点在8c下方半圆上时，如图5,

D

图5

VZDAB^45°,

：.ZDAB=ZDAC=45°,

过D点作DGLAB交于点G,

同理由(3)可知2G+/C=/G,

•••