2024-2025学年苏教版高二数学重难点复习专练：立体几何解答题常考模型归纳总结（9大题型）原卷版

重难点专题04立体几何解答题常考模型归纳总结

【题型归纳目录】

题型一：非常规空间几何体为载体

题型二：立体几何存在与探索性问题

题型三：立体几何折叠问题

题型四：立体几何作图问题

题型五：立体几何建系繁琐问题

题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题

题型七：利用传统方法找几何关系建系

题型八：空间中的点不好求

题型九：数学文化与新定义问题

【方法技巧与总结】

高考立体几何解答题常考模型主要包括柱体、锥体、球体、旋转体、多面体等。这些模型常涉及体积、

表面积的计算，截面问题，以及与其他几何体的组合或相交问题。此外，空间位置关系，如平行、垂直的

判断与证明，也是常考内容。空间角的计算，包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等，

同样是高考立体几何的重要考点。最后，空间距离的计算，如点到平面的距离、两平行平面间的距离等，

也是解答题中常见的考查点。掌握这些模型的基本性质和解题方法，对于提高高考立体几何的解题能力至

关重要。

【典型例题】

题型一：非常规空间几何体为载体

【例1】如图，三棱台/8C-44cl中，47=246/6，底面/3。，且4g2+/C2=44C］

(1)证明：平面AXABB11平面A.ACQ；

⑵若AC=2CC,=2/3=4,求二面角A-B©-B的正弦值.

【变式1-1］如图，己知半圆锥的顶点为尸，点C是半圆。弧48上三等分点(靠近B点)，点。是弧/C上

的一点，平面尸CZ»n平面尸加8=/,且/〃48,〃是尸8中点.

(1)证明：平面M4C_L平面P。。；

(2)若OP=AB,求平面PAB与平面AMC夹角的余弦值.

【变式1-2］如图，已知平面8CG4是圆柱的轴截面，底面直径8c=2,母线CG=G,。为底面圆心，A

为底面半圆弧3c上的动点(不含端点)，E为母线C。上的动点(含端点)，NAOC=a,NEOC=/3.

(1)请用心力的三角函数值表示三棱锥片-4。片的体积「，求二、£的取值范围并求忆的最大值；

(2)若三棱锥瓦-NOE的体积为:，当(2sina+gtan〃j最小时，求直线/£与半圆柱底面所成角的大小.

题型二：立体几何存在与探索性问题

【例2】如图M4_L平面/2C,BC1AC,下是线段2c上的动点，E是MC的中点，已知//=ZC.

M

(1)证明：平面/EF_L平面儿ZBC

(2)若/M=/C=2,BC=2C,N在线段MB上.

(i)求点C到平面AEB的距离；

1\MN\

(ii)是否存在点N,使得平面M4c与平面/口夹角的余弦值为:？若存在，求上意的值;若不存在，请说

7

明理由.

【变式2-1］如图，在等腰梯形中，8C〃NO,8C==/O=2,//=60。，点£为/。中点，点。，尸

2

分别为BE,DE的中点，将“BE沿BE折起到AA、BE的位置，使得平面4BE1平面BCDE.

(1)求证：8£_L平面4。。；

(2)侧棱4c上是否存在点尸，使得AP〃平面4。尸？若存在，求平面P8E与平面C3E夹角的余弦值，若不

存在，请说明理由.

【变式2-2］如图，在多面体A8CDM中，底面/BCD为矩形，底面/BCD,AF//DE,且AD=

AF=-DC=1,DE=AAF,A>0.

2

(1)当4=2时，求直线CF与平面BCE所成角的正弦值.

(2)是否存在实数2,使得。在平面跖C内的射影恰好为AEFC的重心？若存在，求出2；若不存在，请说

明理由.

题型三：立体几何折叠问题

TT

【例3】如图1,在平面四边形48CD中，AB=5,40=3,BC=CD=4,/BCD=§.将△8C。沿8。折

叠至APBD处,使平面尸80,平面/5D(如图2),。为AD的中点，£为P。的中点，尸是靠近点A

的四等分点.

图1图2

(1)求证：平面尸ND_L平面PAD；

(2)求直线EF与平面PAB所成角的正弦值.

【变式3-1］如图，在边长为12的正方形中，点民C在线段工。上，且NB=3,BC=4,作

BBJ/AAX,分别交4。,/。于点昂尸，作CCJ/44］,分别交4。,于点C”。，将该正方形沿3综CQ

折叠，使得。A与重合，构成如图所示的三棱柱为8C-44G.

图2

(1)求四棱锥Z-8CQP的体积;

(2)求平面PQA与平面BCA所成的角的大小.

【变式3-2］如图，在矩形48CD中，40=应，取CD中点M,将△4DM和ABCM分别沿直线4h，BM

折叠，使D,C两点重合于点尸得到三棱锥尸-A8M.

(2)若二面角力-尸河-2的平面角为60°,是否存在W上一点E,使得PE与平面尸8加所成角的正弦值为

史？若存在，请求出£点的位置；若不存在，请说明理由.

5

题型四：立体几何作图问题

【例4】如图，在四棱锥尸-4BCD中，平面/BCD,底面/2CZ)为梯形，ABHCD,/BAD=60°,

AD=AB=2,CD=4.

(1)在侧面依C中能否作出一条线段，使其与平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能,

请说明理由；

(2)若四棱锥尸-A3。的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小.

【变式4-1］如图，在正三棱柱/8C-44C］中，点。，£分别在.，CC,±,

AD=CXE=ACQ(O<A<1),记正三棱柱ABC-的体积为忆.

(1)求棱锥8-4。助的体积(结果用厂表示)；

(2)当人=；时，

①请在图中直接画出平面5DE与平面B/C的交线；(不写过程，保留作图痕迹)

②求证：平面2DE_L平面3CE.

【变式4-2】在四棱锥尸一A8CD中，ADUBC,ADAB=90°,AD=AB=1,PD=亚,BC=2.

(1)如图1,在侧面尸DC内能否作一条线段，使其与N8平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果

不能，请说明理由；

(2)如图2,若尸平面48CD,证明：8，平面心。；

(3)在(2)的条件下，£为棱/尸上的点，二面角的大小为45°,求异面直线8E与尸C所成角的余

弦值.

题型五：立体几何建系繁琐问题

【例5】(2024•山东淄博・二模)己知直角梯形N8CD,/4DC=90。，AB//CD,AB=2CD=a,4D=粗,

M为对角线NC与BD的交点.现以/C为折痕把A/OC折起，使点。到达点尸的位置，点。为尸8的中点,

如图所示：

(1)证明：/C_L平面PBM；

(2)求三棱锥P-NC。体积的最大值；

(3)当三棱锥尸-/CQ的体积最大时，求直线4B与平面P8C所成角的正弦值.

【变式5-1］（2024•贵州黔东南•二模）如图，在四棱台4BCD-中，。为/C的中点,

AAl=AlCi=CiC=^AC=2.

⑴证明：。。"/平面N/QQ；

（2）若平面ABCD1平面4CCH,ABA.BC,当四棱锥8-AA,C,C的体积最大时，求CQ与平面AA,B,B夹角

的正弦值.

【变式5-2］（2024・重庆•三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.瓦九CG是半圆柱的

母线,。,。分别是底面直径BC和4G的中点,2C=3©=4,BB{==2,/是半圆。上一动点,同是半圆Q

上的动点,M是圆柱的母线，延长44至P点使得A为同尸的中点，连接PB,PC构成三棱锥P-ABC.

⑴证明:公，网；

（2）当三棱锥P-N2C的体积最大时，求平面4B4与平面24c的夹角.

题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题

［例6］（2024•河南•模拟预测）如图，在三棱锥中,ZUBC是等边三角形,/8/。=/8。=90。,点尸

是4c的中点，连接此。尸.

A

(1)证明:平面4cD_L平面3DP;

(2)若BD二屈，且二面角4-3。-C为120。,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

【变式6-1](2024•广西桂林•二模)如图，四棱锥尸-48CD中，底面ABCD为边长是2的正方形，E,G

分别是CD,/尸的中点，4F=4,AFAE=ABAE,且二面角歹-/E-8的大小为90。.

(1)求证：AEVBG-,

(2)求二面角3-4F-E的余弦值.

【变式6-2](2024•安徽合肥•模拟预测)如图，四棱锥中，四边形42CD是边长为2的菱形,

ADAE=ZBAE=45°,^DAB=60°.

a

B

(1)证明：平面ADE_L平面ABE；

(2)当直线DE与平面/BE所成的角为30。时，求平面。CE与平面/BE所成锐二面角的余弦值.

题型七：利用传统方法找几何关系建系

【例7】如图，在三棱锥尸-48C中，PN_L平面尸8C,且4B=5,/C=8,P/=2底

ALC

HFU

(1)求尸8,PC.

(2)若△48C的面积为loG，且/&IC<90°,证明：PB_L平面"C.

(3)过点尸作底面/3C的垂线，垂足P在AABC的内部，且尸9=手

,E,F分别为4B,ZC的中点，平面

P8C与平面PEF所成的角为凡求|cos6].

【变式7-1](2024・江苏南京•二模)如图，ADUBC,ADJ.AB,点、E、尸在平面/BCD的同侧，

CF/IAE,AD=\,AB=BC=2,平面NCFE_L平面A8CD,EA=E；C=V3.

⑴求证：3/〃平面NOE；

(2)若直线EC与平面FBD所成角的正弦值为普，求线段CF的长.

【变式7-2】斜三棱柱4BC—N由上，侧面44/GC1平面4BC,侧面是菱形，zJ〃C=60。，4c

=AC=y^BC=。,AB=2,。为88/的中点.

⑴求二面角C-AQ—Ci的余弦值；

(2)记△ABC的外接圆上有一动点尸，若二面角P一/4一C与二面角C—/Q—。相等，求4P的长.

题型八：空间中的点不好求

2万

【例8】如图，在三棱锥尸-A8C中，二面角尸-/B-C的大小为AB±BC,D为棱/C的中点.

B

(1)①尸C②尸/=P8③尸3=PC④从上述四个条件中，选出一个能证明产的选项,

并证明；

71

(2)设NPAB=NPBA=NBAC=&，点、E为BC上一点、,是否存在点E使得二面角。-PE-4的余弦值等于

里巨？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.

785

【变式8-1］如图，在三棱柱/8C-/4G中，底面是边长为2的等边三角形，CG=2,分别是线段

AC,cq的中点，G在平面/BC内的射影为D

(1)求证：4c，平面

(2)在棱4G上是否存在点凡使得平面5。尸与平面3DE夹角的余弦值为也，若存在，指出点尸的位置;

26

若不存在，请说明理由.

【变式8-2］如图，在四棱锥P-N3co中，底面48CD是矩形，尸/上底面48CD,PA=2AD=2,点、M

为CD的中点，且尸C18M.

⑴求48；

pcAD

(2)平面口与线段尸/、PC、4D分别交于S、T、R三点,且长=£=7K=4,/le(O,l).

r/iiC/AD

(i)当彳=；时，求直线B/与平面。所成角的正弦值；

(ii)是否存在彳，使得AS窗为直角三角形？若存在，求2;若不存在，说明理由.

题型九：数学文化与新定义问题

【例9】在空间直角坐标系。斗中，定义：过点z。)，且方向向量为质=(a,6,c)(abcwO)的直线的

点方向式方程为三三=1=三包；

abc

过点4伉,%,z。)，且法向量为五=(。,仇+b2+c2^0)的平面的点法向式方程为。(x-Xo)+

b(y-%)+c(z-Zo)=O,将其整理为一般式方程为依+如+cz-d=O,其中+勿o+cz。.

x—1v+2

⑴已知直线4的点方向式方程为石===-z平面囚的一般式方程为2x-6y+z+5=0求直线4与

平面囚所成角的余弦值；

(2)已知平面的的一般式方程为2x+3y+z-1=0,平面片的一般式方程为-2z+4=0,平面外的一般

式方程为(2加+l)x+(3加+2)>+(〃7+1”-5=0,若a2n4=4,4«%，证明：4〃%；

(3)已知斜三棱柱ZBC-44G中，侧面所在平面里经过三点尸(4,0,0)，。(3,1,-1),以(-1,5,2),侧

面8CC4所在平面片的一般式方程为x+2y+z+4=0,侧面NCC/所在平面人的一般式方程为

mx+6y+2mz+l=0,求平面4844与平面/CC/i夹角的余弦值.

【变式9-1］离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设尸为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P

处的离散曲率为①.=1一尸°,+尸g+-••+/2-/&+NQ/QJ,其中。(i=L2,…，鼠k>3)为多面

2兀

体M的所有与P相邻的顶点，且平面。丁。2，。2尸。3,…平面和平面QkPQl为多面体M的所有以P为顶点的

面.现给出如图所示的三棱锥尸-N8C.

(1)求三棱锥P-48c在各个顶点处的离散曲率的和；

3

(2)若平面N3C,AC±BC,AC=BC=2,三棱锥尸-尸以在顶点C处的离散曲率为［.点。在

O

棱尸2上，直线CQ与平面N3C所成角的余弦值为驾，求3Q的长度

【变式9-2］空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”.类比空间直角坐标系,

「工后分别为“空间斜坐标系''中三条数轴(龙轴、了轴、z轴)正方向的单位向量，若向量万=xf+H+z定,

则元与有序实数组(x,%z)相对应，称向量k的斜坐标为记作万=［x,y,］如图，在平行六面体

一4月。1。1中，AB=AD=1,AAX=1,ABLAD,ZBAAl=ADAAX=.以｛/3,AD,44｝为基底建

立“空间斜坐标系”.

(1)若点E在平面/BCD内，且其£，平面/5C。，求&E的斜坐标；

(2)若套的斜坐标为[1,0,1],求平面ADXF与平面ABCD的夹角的余弦值.

【过关测试】

1.如图，在三棱台NBC-44G中，上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形，44a平面N3C,设平

面/qGA平面Z2C=/,点瓦产分别在直线/和直线上，且满足

(1)证明：跖，平面3CG4；

⑵若直线即和平面女所成角的余弦值为坐求该三棱台的体积.

2.如图所示的空间几何体是以为轴的;圆柱与以48CD为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆

柱的母线，点G为弧CD的中点.

(1)求证：平面瓦加，平面3CG；

(2)当/3=4,平面8。尸与平面/BG夹角的余弦值为平时，求点E到直线3G的距离.

TT

3.图1是等腰梯形/BCD,AB=BC=2,ZBAD=-,£是ZD中点，以BE为折痕，将折起，使

点A到达点P的位置，如图2.

P

AED

D

BC力c

图1图2C

(1)求证：BE1PC；

(2)若PC=y/~6

(i)求二面角5-PC-。的平面角的正弦值；

(ii)在棱尸。上存在点尸，使得尸到平面尸3。的距离为正，求直线CR与平面尸所成角的正弦值.

5

4.如图，已知四边形4BCD是矩形，AB=2BC=2,三角形PCD是正三角形，且平面/BCD_L平面

PCD.

(1)若O是CD的中点，证明尸/；

(2)求二面角3-尸/-。的正弦值；

(3)在线段CP上是否存在点。，使得直线与平面N2尸所成角的正弦值为无，若存在，确定点0的位置,

8

若不存在，请说明理由

7T

5.如图1,四边形4BCD为菱形，ZABC=~,E,尸分别为40,OC的中点，如图2.将△/8C沿/C

向上折叠，使得平面48。_L平面/CFE,将9EF沿跖向上折叠.使得平面。昉_L平面/CFE,连接

BD.

B

BC

E

(1)求证：A,B,D,E四点共面:

(2)求平面AEDB与平面FD2C所成角的余弦值.

6.如图1,在直角梯形48CD中，AB//CD,AB工BC,AB=3,BC=\,CD=2,过点。作_LN8于

点、H,将A/ON沿。〃折叠至△尸。〃处(如图2),使得平面平面8C。"，£为线段PD的中点.

图1图2

⑴证明：PB//平面CEH；

(2)求平面PBC与平面CEH夹角的正弦值.

7.如图，多面体是三棱台44。-/助和四棱锥C-8DZ)内的组合体，底面四边形/BCD

为正方形，=342=344]=3,CE=2ED,^4-LAD,平面四。。_L平面/BCD.

(1)证明：〃平面同助;

(2)若平面4AD与平面的交线为/,

(i)作出交线/(需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明);

(ii)求直线/与平面2c2所成角的正弦值.

8.如图，在直三棱柱/8C-4用q中，AB工BC,AB=A4=6,BC=I,P是BCi工一动点,

丽=彳㈣(0<4<l),M是CG的中点，。是4b的中点.

⑴当4时，证明：P0〃平面/8C;

(2)在答题卡的题(2)图中作出平面与平面/CG4的交线(保留作图痕迹,无需证明)；

(3)是否存在2,使得平面/月尸与平面NCQ4所成二面角的余弦值为巫？若存在求满足条件的4值，若

4

不存在，则说明理由.

9.在四棱台中，底面/5CD为平行四边形，侧面为等腰梯形，且侧面底

面/BCD,NB=3O=3,ND=2,4耳=1,42与8c的距离为2g，点瓦尸分别在棱CQ上，且

AE=^AB,CF=^CCl.

(1)求证：£尸〃平面/£>£>/；

(2)求四棱台ABCD-48GA的高；

(3)求异面直线4G与EF所成的角的余弦值.

10.如图，平面平面COER,四边形/BCD是正方形，DE1CD,CD//EF,CD=3EF,CD=2DE.

(1)求证：ACYBE-,

(2)求平面DBF与平面CBF夹角的余弦值.

11.如图，在三棱台NBC-。砂"中，AB=BC=AC=4,AD=FC=42,DF=2,N为DE的中点.

(1)求证：AC1BN；

(2)若平面ABC±平面ACFD,求直线BN与直线AD所成角的余弦值：

(3)设二面角。-/C-8的大小为。，直线8E与平面/8C的所成角的大小为。，求tan。关于。的函数表达式

及其定义域，并求tan。的取值范围.

12.如图，在四棱锥尸-4BCD中，8_1平面尸40,PA1AD.

p

⑴证明：P/_L平面N3Cr＞；

(2)若底面N8CD是正方形，AP=AB^6.£为P8中点，点尸在棱P。上，且平面NE尸与平面/3CO的夹

角的余弦值为

3

(i)求尸尸；

(ii)平面/所交尸C于点G,点M在平面P5C上，求EG与平面”40所成角的正弦值的取值范围.

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