2024年高考数学试题分类汇编：函数与导数（含解析）

函数与导数

一、单选题

L（2。24•全国）已知函数为小）=在R上单调递增，则。取值的范围是（）

A.(一-0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

2.（2024.全国）己知函数为，（x）的定义域为R,/(x)>f(x-l)+/(x-2),且当x<3时=无，

则下列结论中一定正确的是（）

A./（10）＞100B./(20)>1000

C./（10）＜1000D./(20)<10000

3.(2024•全国)设函数/(x)=a(x+l)2-1,g(x)=cosx+2以，当时，曲线y=f(x)与y=g(无)

恰有一个交点，则（）

A.-1B.；C.1D.2

4.（2024.全国）设函数f（x）=（x+a）ln（x+3,若/（x）20,则"十户的最小值为（）

A.—B.—C.-D.1

842

5.（2024•全国）曲线〃x）=f+3x-1在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

A.-B.3C.1D.-且

6222

6.（2024•全国）函数/（*）=-*2+3-小卜山在区间（-2.8,2.8］的大致图像为（）

7.（2024•全国）设函数=则曲线y=/⑺在（0,1）处的切线与两坐标轴围成的三角

形的面积为（）

8.（2024•北京）已知（4y）,优，％）是函数丁=2、图象上不同的两点，则下列正确的是（）

七迤〉与上Xy+X2

A.bg2B.log

22<2

兀2%+%

C.log2%%>'+D.log<玉十%

22

9.（2024•天津）下列函数是偶函数的是（）

x22

Ae-x「cosx+x13”一Xsinx+4x

A-）'r+iB-/+ic.y=-D.）产

x+1

10.（2024•天津）若〃=4.2一°3,匕=4.2°3,c=log420.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

11.（2024.上海）下列函数的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+co&xB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

12.（2024上海）已知函数的定义域为R,定义集合河={%%eR,XeQs,Xob/ak/ao）},

在使得M=的所有中，下列成立的是（）

A.存在〃尤）是偶函数B.存在f（x）在x=2处取最大值

C.存在/（x）是严格增函数D.存在f（x）在x=-l处取到极小值

二、多选题

13.（2024•全国）设函数/（x）=（x-l）2（x-4）,则（）

A.x=3是/⑺的极小值点B.当。<x<l时，/（x）</（x2）

C.当l<x<2时，一4</（2尤一1）<0D.当一1<%<0时，f（2-x）>f（x）

14.（2024•全国）设函数一3。龙？+1,贝IJ（）

A.当时，了⑺有三个零点

B.当a<0时，x=0是/（元）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（尤）的对称轴

D.存在a,使得点（I"⑴）为曲线>=/（无）的对称中心

三、填空题

15.(2024.全国)若曲线y=e，+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+。的切线，则”.

115

16.(2024•全A国)己知”>1,--j=_-,则。=.

log8aloga42

17.(2024.全国)曲线y=与y=-(x-iy+a在(。,+巧上有两个不同的交点，则。的取值范围

为.

18.(2024•天津)若函数〃x)=2j尤2一奴_麻一2|+1有唯一零点,贝I。的取值范围为.

19.(2024・上海)已知.

四、解答题

20.(2024•全国)已知函数/⑺=ln^—+6+60-1)3

2-x

⑴若b=0,且用(x)20,求。的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

⑶若〃x)>-2当且仅当1<%<2,求人的取值范围.

21.(2024•全国)已知函数/(x)=e*-ax-”'.

(1)当。=1时，求曲线>=/(尤)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵若/(幻有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

22.(2024•全国)已知函数/(x)=a(xT)-lnx+l.

⑴求的单调区间；

(2)若aV2时，证明：当x>l时，/(x)<e"T恒成立.

23.(2024•全国)已知函数/(x)=(l-ov)ln(l+x)—x.

⑴当a=-2时，求的极值；

(2)当x20时，〃x)Z0恒成立，求。的取值范围.

24.(2024.北京)已知"》)=尤+如(1+%)在⑺)(f>0)处切线为/.

⑴若切线/的斜率左=-1,求单调区间；

(2)证明：切线/不经过(0,0)；

(3)已知左=1,J⑺),C(O,/(f)),0(0,0),其中f>0,切线/与y轴交于点B时.当2%1cL15s/,

符合条件的A的个数为？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

25.(2024•天津)设函数/(x)=xlnx.

⑴求图象上点(1，/⑴)处的切线方程；

⑵若。(尤-«)在xe(0,+“)时恒成立，求a的取值范围；

(3)若占，/«0,1),证明［〃占)-小2)|文-即上

26.(2024・上海)/(x)=logax(a>0,a1).

(1)y=f(x)过(4,2),求-2)<的解集;

⑵存在X使得“X+1)、〃办)、“X+2)成等差数列，求。的取值范围.

27.(2024•上海)对于一个函数“X)和一个点，令s(x)=+(〃%)-32，若「伉,〃/))

是s(x)取到最小值的点，则称尸是M在"尤)的“最近点”.

(1)对于"%)=/(%>0)，求证：对于点"(0,0),存在点P,使得点P是加在的“最近点”；

⑵对于/(%)=/,/(1,0),请判断是否存在一个点P,它是“在〃尤)的“最近点”，且直线MP与

y=/(x)在点尸处的切线垂直；

(3)已知y=/(x)在定义域R上存在导函数/'(X),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点

陷卜-1J(。-g⑺)，“2«+1J⑺+g⑺).若对任意的feR,存在点尸同时是M,叫在外力的"最

近点”，试判断“X)的单调性.

参考答案:

1.B

【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.

【解析】因为“X)在R上单调递增，且,0时，/a)=e*+lna+l)单调递增，

——^—>0

则需满足2x(-1),解得

—aWe°+In1

即。的范围是［TOL

故选：B.

2.B

【分析】代入得到/(1)=1,"2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【解析】因为当x<3时〃尤)=彳，所以〃1)=11(2)=2,

又因为f(x)>/(元一1)+/。-2),

则/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,f(12)>/(11)+/(10)>233/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>f(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/(20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/⑴=1,/(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(x)>/(x-1)+/(%-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

3.D

【分析】解法一：令尸(%)=依?+。—1,G(x)=cosx,分析可知曲线y=F(x)与y=G(尤)恰有一个交点，

结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2,并代入检验即可；解法二：令

/2(X)=/(X)-8(%),%€(-1,1),可知/7(力为偶函数,根据偶函数的对称性可知网力的零点只能为0,

即可得。=2,并代入检验即可.

【解析】解法一：令/'(x)=g(x),即。(x+l)2-l=cosx+2aX,可得加+a-l=cosx，

令尸(x)=由？+口一1,G(X)=cosx,

原题意等价于当xe(-1,1)时，曲线V=尸(刈与y=G(尤)恰有一个交点，

注意到b(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得/(0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得+l-cosx=0

因为xe(—U),则Z/zOJ-cosx'O,当且仅当尤=0时，等号成立，

可得Zd+l-cosx'O,当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2尤2+1-cos尤=0有且仅有一个实根0,即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以。=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1),

原题意等价于h[x)有且仅有一个零点,

因为//(—x)=a(—尤)~+a—1—cos(—x)=ax2+a—1—cosx=h(x),

则/7(X)为偶函数，

根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0,

即//(0)=a—2=0,解得a=2,

若a=2,贝！J〃(x)=2d+1-cosx,xe(-1,1),

又因为2/20,l-cosxN0当且仅当x=0时，等号成立，

可得人⑺20,当且仅当x=0时，等号成立，

即〃(x)有且仅有一个零点0,所以a=2符合题意；

故选：D.

4.C

【分析】解法一：由题意可知：了⑺的定义域为(-4+e),分类讨论-。与-瓦1-6的大小关系，结合

符号分析判断，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，

进而可得x+a的符号，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由题意可知：/(x)的定义域为(-反+e),

令元+。=0解得了=一。；令In(尤+6)=0解得x=l—匕；

若,当xw(—b,l—b)时，可知x+a>O,ln(x+b)vO,

此时/(%)<。，不合题意；

若一bv-a<l—b,当了£(—。/一人)时，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此时/(X)v。，不合题意；

若一。=1一人，当％£(—"1一，)时，可知x+a<O,ln(x+Z?)<O,止匕时/(%)>。；

当了E[1—Z?,+8)时，可知x+〃之O,ln(x+b)2O,止匕时/(%)20；

可知若-〃=1-人，符合题意；

若一〃>1一/7,当尤£(1一人,一。)时，可知％+a(O,ln(x+Z?》O,

此时了(%)v0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即/?=。+1,

则/+从=/+(。+咪=2(。+工丫+工2!，当且仅当4=一工,6=工时，等号成立，

所以/+〃的最小值为J；

解法二：由题意可知：/(X)的定义域为(-4+8),

令x+a=O解得力=—〃；令ln(%+Z?)=O解得尤=1一人；

则当了£(—"1一/?)时，ln(x+Z?)<0,故x+〃KO,所以1一人+〃<0；

%£(1—"+8)时，ln(x+Z?)>0,故％+a20,所以1—b+aNO；

故1一人+〃=0,则Q?+/=4+(q+])2=++^>^,

当且仅当。=-1,6=]时，等号成立，

22

所以1+方2的最小值为

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+4=0、In(尤+6)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类

讨论，结合符号性分析判断.

5.A

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【解析】r(x)=6x5+3,所以((0)=3,故切线方程为y=3(x—0)—l=3x-l,

故切线的横截距为二，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为!xlx：=J

3236

故选：A.

6.B

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/'(l)＞。，可排除D.

［解析］/(-x)=-x*2*7+(e-x-eY)sin(-x)=-x2+(e*-e~xjsinx=/(x),

又函数定义域为［-2.8,2.8］,故该函数为偶函数，可排除A、C,

sinl>-1+fe--.兀e1111八

又〃1)=T+sm—=----1------>--------->0,

622e42e

故可排除D.

故选：B.

7.A

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即

可得其面积.

(e*+2cosx)(l+X2)-(e"+2sin

【解析】/'(%)=

(^4

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sinO)xO

则((0)==3,

(l+0『

即该切线方程为＞T=3x,即y=3x+l,

令x=0,贝Uy=l,令y=。，贝!Jx=-g,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=:xlx

25o

故选：A.

8.A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【解析】由题意不妨设玉＜%，因为函数＞=2、是增函数，所以0＜2画＜2巧，即。＜%＜%，

7X1-I-，向/-----再+巧画+电

对于选项AB：可得＞J2的？「2=2,即江&＞22＞0,

22

X］+x

根据函数y=log?X是增函数，所以log2丐及＞log22k2=生产，故A正确，B错误;

对于选项C：例如%=0,则M=1,为=2,

可得log?%；%=log2:e(0,1),即log?%＜1=芯+%,故C错误；

对于选项D：例如再=一1,工2=-2,则，1=；，%=；，

可得1。82"_^_=1。82』=1。823-3£(-2,-1),即log2%：%>—3=%+々，故D错误，

2o2

故选：A.

9.B

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【解析】对A,设〃⑼=£工，函数定义域为R,但〃一1)=±1,”1)=?,则〃-l)w/(l),

故A错误；

对B,设g(x)=8S：+*,函数定义域为R,

-

cos(-x)+(-x)_cos尤+尤2

且g(-x)==g(x),则g(x)为偶函数，故B正确;

2

(-尤y+ix+1

对C,设耳可=害，函数定义域为{X|XHT},不关于原点对称，则力(X)不是偶函数，故C错误；

对D,设0(x)=smx：4x,函数定义域为R,因为姒1)=吧1±f,p(T=Tml4,

eee

则。⑴二0(-1),则夕(x)不是偶函数，故D错误.

故选：B.

10.B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【解析】因为y=4.2'在R上递增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.243<4.2°<4.2°3,

所以0<4.20<1<4.2°3,BPO<a<l<Z>,

因为y=log4,2X在(0,+co)上递增，且0<0.2<1,

所以log42O.2clog4.2lM。，即c<0,

所以3><7>C,

故选：B

11.A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【解析】对A,sinx+cosx=&sin]x+：；周期7=2无，故A正确；

127r

对B,sinxcosx=—sin2x,周期T=一=兀，故B错误；

22

对于选项C,sin2x+cos2x=l,是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

对于选项D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=万=兀，故D错误，

故选：A.

12.B

【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B,构

—2,x<一1

造函数/(X)=<X,-14x41即可判断.

1,X>1

【解析】对于A,若存在y=/(x)是偶函数，取x0=le[-l,l],

则对于任意而/(-1)=/(1),矛盾，故A错误；

—2,x<—1,

对于B可构造函数"X)=<x,-1V尤W1,满足集合M=[-1,1],

l,x>1,

当x<-l时，则〃力=一2,当—iWxWl时，f(x)e[-l,l],当X>1时，/(x)=l,

则该函数的最大值是“2),则B正确；

对C,假设存在了(X),使得严格递增，则加=14,与已知M=矛盾，则C错误；

对D,假设存在〃x),使得“力在尸-1处取极小值,则在-1的左侧附近存在n,使得/(〃)>/(-1),

这与已知集合M的定义矛盾，故D错误；

故选：B.

13.ACD

【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数/(无)

在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

【解析】对A,因为函数的定义域为R,而r(X)=2(X-1)(X—4)+(A1)2=3(X-1)(X-3),

易知当无€(1,3)时，/(%)<0,当xw(-oo,l)或xe(3,+oo)时，/(x)>0

函数在(-8,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+“)上单调递增，故x=3是函数的

极小值点，正确；

对B,当0<x<l时，x-x2=x(l-x)>0,所以1>》>尤2>0,

而由上可知，函数在(0,1)上单调递增，所以/'(》)>/■(尤2),错误;

对C,当l<x<2时，1<2尤-1<3,而由上可知，函数〃尤)在(1,3)上单调递减，

所以/(1)>〃2%-1)>〃3),即T</(2x-1)<0,正确;

对D,当_]<x<0时，f(2-x)-/(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-l)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,

所以〃2-尤)>/(x),正确；

故选：ACD.

14.AD

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=O,x=a,根据零点存在定理和极值的符号判断出/(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设

存在这样的。涉，使得x=b为Ax)的对称轴，则=-x)为恒等式，据此计算判断；D选项,

若存在这样的。，使得(1,3-3a)为的对称中心，则/•(x)+/(2-*)=6-6。，据此进行计算判断,

亦可利用拐点结论直接求解.

【解析】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(r»,0)u(a,+8)时/(x)>。，故/(无)在(一8,0),(a,+8)上单调递增，

尤w(0,a)时，f'{x)<0,/(x)单调递减，

则f(x)在尤=0处取到极大值，在x=。处取到极小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,则)(0)/(。)<0,

根据零点存在定理“无)在(。，。)上有一个零点，

又/•(-1)=一1一3"0,。(2。)=4/+1>0,则/(一1)/(0)<0,/(“)/(2。)<0,

则/(X)在(-1,0),32a)上各有一个零点，于是a>1时，/⑺有三个零点，A选项正确；

B选项，f'(x)=6x(x-a),“<0时，xe(a,0),f'(x)<0,/(x)单调递减，

xe(0,用)时/'(x)>0,/(X)单调递增，

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的6,使得x=b为/*)的对称轴，

即存在这样的。涉使得/«=fQb-x),

即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3aQb-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(2b-4展开式含有d的项为2C；(26)°(-尤了=-2/，

于是等式左右两边V的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a力，使得x=b为了(尤)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(l)=3-3a,若存在这样的。，使得(1,3-3a)为了⑴的对称中心，

则/(x)+/(2-x)=6-6a,事实上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-%)2+1=(12-6a)%2+(12a-24)尤+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)%2+(12a-24)x+18-12。

12-6。=0

即12〃-24=0,解得。=2,即存在。=2使得(1"⑴)是/(九)的对称中心，D选项正确.

18—12a=6—6〃

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

/(x)=2x3-3ax2+1,/'(%)=6x2-6ax,fn(x)=12x-6a,

由尸(x)=0ox=/于是该三次函数的对称中心为

由题意(1"(D)也是对称中心，故三=10。=2,

2

即存在a=2使得(1,/(D)是的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/(无)的对称轴为(2)/(尤)关于(a,b)对称

<=>f(x)+f(2a-x)=2b.(3)任何三次函数/(x)=G?+6x2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次

函数的拐点，对称中心的横坐标是f"(x)=0的解，即［(J是三次函数的对称中心

15.In2

【分析】先求出曲线y=e，+x在(0,1)的切线方程，再设曲线y=ln(x+l)+a的切点为

(%,In(%+l)+a),求出y',利用公切线斜率相等求出与,表示出切线方程，结合两切线方程相同即

可求解.

【解析】由y=e*+无得y'=e*+l,y'|v=0=e°+1=2,

故曲线y=e'+x在(0,1)处的切线方程为y=2元+1；

由y=ln(x+l)+a得y,

设切线与曲线V=ln(x+l)+a相切的切点为卜0，111(%+1)+4),

由两曲线有公切线得y'=L=2,解得天=-<，则切点为［-4a+ln：］,

木呈y=21x+5J+a+In5=2尤+1+a—In2,

根据两切线重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案为：In2

16.64

【分析】将logs。，log.4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

1131,5一，、，

【解析】由题■；------；----7=1-------loga=--,整理得(log2a)--51og,a-6=0,

2v27

log8alog”4log2a22~

nlog2a=T或log2a=6,又a>l,

所以Iog2a=6=log226,故a=26=64

故答案为：64.

17.(-2,1)

【分析】将函数转化为方程，4x3-3x=-(x-l)2+a,分离参数。，构造新函数g(x)=d+犬—5x+l,

结合导数求得g⑺单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

【解析】令x3-3x=-(x-1)~+a,BPa=x3+x2—5.x+1,令g(x)=d+x--5x+l(x>。)，

则g,(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g,x)=0(x>0)得x=l,

当xe(O,l)时，gf(x)<0,g(x)单调递减,

当xe(l,+e)时，g<x)>0,g(x)单调递增，g(O)=l,g⑴=—2,

因为曲线y=^-3x与y=-(x-iy+a在(0,+e)上有两个不同的交点，

故答案为：(-2,1)

18.（-73,-1）u（l,^）

'c2

ax-3,x>—

【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g（尤）=2&2-依与〃（X）=21则

l-ax,x<—

、a

两函数图象有唯一交点，分〃=0、〃>0与。<0进行讨论，当。〉0时，计算函数定义域可得％之。或

x<0,计算可得〃«0,2］时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当。40,2］时，在y轴右侧无

交点的情况即可得；当。<0时，按同一方式讨论即可得.

【解析】令〃%）=0,即2，炉—以=同—2|-1,

由题可得%?一女>0,

则了=土交，不符合要求，舍去;

当a=0时，xeR,有2叱=卜2-1=1,

2

。2

ax-3,x>—

当〃〉0时，则2.冗2=,%_2卜1=<a

2，

l-ax,x<—

a

'2

ax-3o,x>—

即函数g(x)=2&2-亦与函数/z(x)=<;有唯一交点，

1-ax,x<—

、a

由f—axzo,可得九或x40,

当xKO时，则依一2<0,则2，冗2一四=尿一2|一1二1一四,

即4炉—4办=（1—依）2,整理得（4—a?）/—2必—1=［（2+Q）X+1］［（2—a）%—1］=0,

当〃=2时，即4x+l=0,即％=—1,

4

当ae（O,2）,x=--L或无=，>0（正值舍去）,

'2+。2-a

当ae（2,+oo）时，尤=-7rJ—<。或<。，有两解，舍去，

2+。2-a

即当ae（O,2］时，-依一1以一2"1=0在xvo时有唯一解,

则当ae（0,2］时，2G_冰_辰_2|+1=0在上泊时需无解,

当ae(O,2],且x上a时,

c2

ax—3,x>—

；关于尤对称,13

由函数4x）=<=2令网x)=0可得%=—或x=—,

,2aaa

1-ax,x<—

a

且函数人（元）在上单调递减，在上单调递增，

______2

令g（x）=y=lyjx1-ax，即幺———=1,

cra2

Z

（x）2/_

故xNa时，g（x）图象为双曲线下一/二1右支的x轴上方部分向右平移|■所得,

~4

22

（x）y1a_.0

由,一/=的渐近线方程为'一一一，

72

即g（尤）部分的渐近线方程为y=2其斜率为2,

c2

ax-3,x>—

a

又ae(O,2],即〃(x)=，在xN—时的斜率ae(O,2],

12a

l-ax,x<—

a

令8（尤）=26_依=0,可得x=a或x=0（舍去），

且函数g（x）在（。,舟）上单调递增,

I

一<4

故有<1,解得l<a<VL故l<a<若符合要求;

—>a

、a

c2

ax-3,x<—

当a<0时，则2-Jx2-ax=依-2卜]=.a

12

l-ax,x>—

a

c2

ax-3,x<—

即函数g（x）=2j/-ax与函数Mx）=，2有唯一交点,

I-ax,x>—

a

由一改20,可得xNO或兀<a,

当九NO时，则ax—2v0,则2，%、=2|-1=1-ax,

即4f_4依=。—公『，整理得（4一片卜2一2四—1=[（2+〃）1+1][（2-々）％-1]=0,

当。=一2时，即4%—1=0,BPx=—,

4

当。«-2,0）,无=-4<0（负值舍去）或x=:一0,

当,2）时，x=>0x=—>0,有两解，舍去，

2+a2—a

即当ae[—2,0)时，2\]x2-ax一|0¥-2|+1=0在工20时有唯一解,

则当aw[—2,0)时，24^二—|依—2|+1=0在无时需无解,

当aw[-2,0),且X<Q时,

。2

ax-3,x<—i3

由函数〃(%)=<:关于尤=2对称,令/z(x)=0,可得元=_或I=_,

12aaa

1-ax,x>—

a

且函数Mx)在上单调递减，在上单调递增，

,、W2"2-1a

同理可得：xVa时，g(x)图象为双曲线才一/一1左支的x轴上方部分向左平移|•所得,

g(x)部分的渐近线方程为、=-2卜+雪,其斜率为一2,

ax-3,x>—

2

又。£[-2,0),即/7(x)=2在尤〈，时的斜率。«-2,0),

l-ax,x<—

、a

令g(x)=2dxi—ax=0,可得无="或x=0(舍去)，

且函数g(x)在(f,a)上单调递减,

1

—〉a

故有1,解得故符合要求;

—<a

4

综上所述，ae(-73,-1)(1,班)

故答案为：(-百,T)D(1,6).

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数外”的零点问题转化为函数g(%)=2疗了与函数

c2

ax-3,x>—

/z(x)=<;的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.

l-ax,x<—

a

19.6

【分析】利用分段函数的形式可求/(3).

【解析】因为〃力=『；：；°，故"3)=6,

故答案为：6

20.(1)-2

(2)证明见解析

⑶6之一'|

【分析】(1)求出/''(xLuZ+a后根据/⑴对可求。的最小值;

(2)设P(%〃)为y=/(x)图象上任意一点，可证「(租,〃)关于(1㈤的对称点为Q(2-祖,2(7-〃)也在

函数的图像上，从而可证对称性;

7

(3)根据题设可判断〃1)=-2即”=-2,再根据4x)>-2在(1,2)上恒成立可求得62一：

【解析】(1)b=0时，/(x)=ln-——+ax其中xe(0,2),

2-x

119

则广⑴二丁二丁而靖〃心(°，2)，

因为x(2-x)4］上产］=1,当且仅当x=l时等号成立,

故=2+。，而/'(力20成立，故a+220即a2—2,

所以。的最小值为-2.,

(2)/(x)=ln—+ax+Z;(x-l)3的定义域为(0,2),

2-x

设P为y=f(x)图象上任意一点，

P(机")关于(1,4)的对称点为。(2-〃?,2a-〃)，

因为尸("〃)在y=f(x)图象上，^fcn=lnm+am+b(m-lf,

2—m

而〃2-"7)=111r—~，+a(l-m}+b(2-m—V\=-In————am+b(m-\^+2a,

m\_2—m_

=—n+2a,

所以Q(2也在y=/(x)图象上，

由P的任意性可得y=/(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(La).

(3)因为〃%)>—2当且仅当l<x<2,故x=l为/'(x)=—2的一个解，

所以〃1)=-2即°=_2,

先考虑1(尤<2时，/(x)>—2恒成立.

此时〃力>一2即为皿4+2(1-x)+6(x-l)3>0在(1,2)上恒成立，

2-x

设f=x-则In岩-2f+#>0在(0,1)上恒成立,

设g(f)=In-----2f+bt},te(0,1),

+2+36)

则g'S告

1-r2

当bNO,-3初2+2+36W—36+2+36=2>0,

故g'«)>0恒成立，故g⑺在(0,1)上为增函数,

故g()>g(0)=0即>—2在(1,2)上恒成立.

2

当一耳工力<0时，-3bt2+2+3b>2+3b>0,

故g'«"0恒成立，故g⑺在(0,1)上为增函数，

故g⑺>g(0)=0即外力>—2在(1,2)上恒成立.

当》<一,则当时，g'«)<0

3V3b

故在上g⑺为减函数，故g⑺<g(°)=o,不合题意，舍；

综上，〃力>-2在(1,2)上恒成立时

2

而当时，

而时，由上述过程可得g⑺在(0,1)递增，故g⑺>0的解为(0,1),

即/(x)>—2的解为(1,2).

2

综上，b>——.

【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函

数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到

参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.

21.⑴(e—l)x—y—l=0

⑵(1,同

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一:求导，分析aWO和a>0两种情况,利用导数判断单调性和极值，分析可得/+in。-1>0,

构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/(x)=e，-。有零点，可得。>0,进而利用导数求/(无)

的单调性和极值，分析可得/+ina-1>0,构建函数解不等式即可.

【解析】(1)当。=1时，贝U/(x)=e'-x-1,/(x)=e，一1,

可得f(l)=e-2,/,(l)=e-l,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率左=e-l,

所以切线方程为y-(e—2)=(e—l)(x-l),即(e—l)x—y-1=0.

(2)解法一：因为/(x)的定义域为R,且/'(x)=e*-a,

若aW0,则尸(无)20对任意xeR恒成立,

可知Ax)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(X)>0,解得x>In。；令f'(x)<0,解得尤<In。；

可知/(工)在(-8,Ina)内单调递减，在(ina,+8)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)=a-alna—a3,无极大值，

由题意可得：f(hia)=a-cilna-a3<0,即a2+in"i>o,

构建g(a)=。2+lna-l,a>0,贝!]g'(a)=2a+—>0,

可知g⑷在(0,+向内单调递增,且g⑴=0,

2

不等式a+lnfl-l>0等价于g(“)>g(1)，解得“>1，

所以a的取值范围为(1,+e)；

解法二：因为广⑴的定义域为R,且广(x)=e、-a,

若了⑺有极小值，则((尤)=^-〃有零点，

令f'(x)=ex-a=0,可得e、=a,

可知y=e'与丫=。有交点，贝色>0,

若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna；令f'(x)<0,解得x<lna；

可知/W在(-e,Ina)内单调递减，在(ina,+8)内单调递增，

则/(X)有极小值无