2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区某中学中考数学三模试卷+答案解析

2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学三模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.'的倒数是（）

A.3B.―C.4D.

33

2.下列运算正确的是（）

A.,B.渭C.—3o6*—0D.（―=—

3.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.下面四幅作品分别

代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（）

4.由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）

5.如图，某飞机在空中/处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度

U12仙,，，从飞机上看地平面指挥台3的俯角“小，，则飞机/与指挥

台3的距离为（）

A.1200mB.।j।，,C.|』小JWD.2400m

6.如图，正五边形45CQE内接于・。，连接。C,OD,贝I」.（）

A.

第1页，共25页CD

B.-|

D.,i

7.已知点U,2.，，］在反比例函数”>的图象上，其中0,左为常数，且；“，则点〃一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.方程I-二一的解为（）

x>J

A.T—1B.,r=0C.,r——3D.j*=1

9.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的

道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米•'，则道路的宽应为多少米？设

SA

道路的宽为x米，则可列方程为（）

A.UM)•Sil-IINk-7(>llB.1100-j-JlSI-J+7611

C.IUMIJ：iM>-r)=7b11D.MMIj-Mb35()

10.如图，已知等边1/〃’的边长为2,£、RG分别是/8、BC、C4上的点，且UBlCG，设4EFG

的面积为y,/£的长为x,则y关于x的函数图象大致是()

11.目前，我国基本医疗保险覆盖已超过Ml亿人，数据亿用科学记数法表示为.

第2页，共25页

12.函数”-—^中，自变量x的取值范围是.

13.计算1的结果是______.

v\3

14.因式分解：上3-♦2”.

15.不等式组I'，：的解集是____.

I-5♦I

16.若扇形的圆心角为《,“，弧长为则扇形的半径为,

17.某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦.青春梦”演讲

比赛，则恰好选中一男一女的概率是,

18.在长方形纸片中，」Bi>>ADin,如图所示，折叠纸片，使点

/落在2C边上的$处，折痕为PQ,当点A,在3c边上移动时，折痕的端点P、

。也随之移动，若限定点P、。分别在A8、AD边上移动，则,面积的最

大值为.

19.已知，在RL中，I3'H,。为的中点，过。点与垂直的直线ON与4C所在的直

线交于点N,若-1，（V-3，则/。的长为.

20.如图，zHIC=Mr-AB=XC=AD>COBZABD=—-8。=4，则

Hix的面积为

三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21.（本小题7分I

先化简，再求值口':।的值，其中，I-in.■“，-w

」-2『-2

22.।本小题7分I

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.

111在方格纸中画出一个以线段为一边的菱形।点£、点尸在小正方形的顶点上।,并且菱形42所

的面积为

第3页，共25页

口在方格纸中以CD为斜边画出等腰直角三角形（7〃、：点K在小正方形的顶点上I,连接3K,请直接写

出线段2K的长.

23.।本小题8分I

春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山

滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？।必选且只选一种，”的问题，在全校范围内随机抽取部分学

生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生

人数占所调查人数的附；请你根据图中提供的信息解答下列问题：

1，在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

⑵请通过计算补全条形统计图；

■若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名.

人数

24

24

20

16

12

8

4

冰

冰

短

高

球

壶

道

山运动项目

速

滑

滑

雪

24.本小题8分I

哈市某化妆品商店决定购进/、8两种品牌的防晒护肤霜.经预算知，若购进/品牌防晒霜5套，3品牌防晒

霜6套，则需950元；若购进/品牌防晒霜3套，3品牌防晒霜2套，则需450元.

第4页，共25页

1求/、8两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？

L根据市场需求，商店购进2品牌的数量比购进/品牌的数量的2倍多4套，销售1套/品牌防晒霜的价

格为130元，销售1套8品牌防晒霜的价格为95元，若这批防晒霜全部售出后，利润不少于1200元.求/

种品牌防晒霜至少要进多少套？

25.।本小题10分）

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等

的三角形纸片，表示为△4BC和ADFE,其中=N4=NO,将△ABC和ADFE

按图2所示方式摆放，其中点3与点尸重合I标记为点〃।,点E落在.‘内

深入探究：

①“善思小组"提出问题：如图2,当一1/“二一」：”•时，过点/作,11/二交BE的延长线于点

BM与AC交于点.V.试猜想线段和BE的数量关系，并加以证明.

②''智慧小组”提出问题:如图3,当/LU-时，过点/作.1〃./，/于点〃，若9,八C12,

则的长为.

26.,本小题10分，

已知，•（）是；的外接圆，是,"的直径，点£是弧NC的中点，连接/£、CE、HI

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ccc

BA

图1图

2图3

l「如图1,求证：.（t：li-2.A（t：

(2)如图2,过点C作于点H，交•“于点。，连接现（交AB于点R求证：E.\£T；

」如图3,在12,的条件下，BE交CD于点、K,交/C于点G,连接线段/G、OG,若EG：6,

13,求OG的长.

27.।本小题10分）

如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线V如—：1与x轴交于两点，其中J2.01,

与歹轴交于点C，且（）30（\

II求抛物线的解析式;

如图2,点P是抛物线第四象限上的一■个动点，连接/尸交y轴于点£,设点尸的横坐标为3的

面积为S,求S关于/的函数解析式I不要求写出自变量t的取值范围।；

」如图3,在的条件下，过点尸作〃〃1轴交3C于点D,将〃沿进行翻折，4P的对应边交

抛物线于点。，过。作x轴的垂线交CP的延长线于点M,连接DQ,点尺在AQ±,连接CR,若DQ-CM,

且.「1"..」仅，求点R的坐标.

图I图2图3

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：:的倒数是3,

故选：A

根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数，求一个数的倒数，把这个数的分子和分母掉换

位置即可.

此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用，明确：1的倒数是1,0没有倒数.

2.【答案】B

【解析】解：4、，错误，不符合题意；

B、.,正确,符合题意；

C、.31与&6不能合并，错误，不符合题意；

D、错误，不符合题意；

2I

故选：B

根据幕的乘方、同底数塞的乘法、积的乘方和合并同类项计算即可.

此题考查幕的乘方、同底数幕的乘法、积的乘方和合并同类项，关键是根据法则进行计算.

3.【答案】D

【解析】解：/、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

8、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D,是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：

根据轴对称图形的知识求解.

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.

4.【答案】A

【解析】解：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2,1,

故选：.1.

主视图有2列，每列小正方形数目分别为2,|

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本题考查实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成

实线，看不见的画成虚线，不能漏掉.本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置.

5.【答案】D

【解析】解：1/；(,.小，，

即飞机A与指挥台B的距离为J'H

故选：〃

首先根据图示，可得.「一,"一Ml然后在Rr中，用/C的长度除以7＞小，求出飞机/与

指挥台8的距离为多少即可.

此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

6.【答案】D

【解析】解：；五边形N2CDE是正五边形，

^BAE-ACOD1(187236,,

故选:D.

根据多边形的内角和可以求得.〃的度数，根据周角等于：如)，可以求得的度数，然后即可计

算出.BAE-.「“。的度数.

本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出"1尸和「(〃)的度数.

7.【答案】A

【解析】解：方法一：.点A/T/，在反比例函数“1的图象上，

X

.”，I),

一点M一定在第一象限.

故选：.1.

方法二：

第8页，共25页

一反比例函数，,，中，i,Ji,

J,

.图象的两个分支在一、三象限，

.•点M(2,a)在反比例函数的图象上,

X

1点M一定在第一象限.

故选：A

把点T"代入反比例函数解析式，可得〃-,I，由，：I)可知，，I),可得点M一定在第一象限.

考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0,图象的两个分支在

一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号.

8.【答案】D

【解析】解：去分母得：，一，，

解得：/=I,

经检验,-1是分式方程的解，

故选:D.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

9.【答案】C

【解析】【分析】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和

最左边是做本题的关键.

把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公

式列方程.

【解答】

解：设道路的宽应为x米，由题意有

IHHI-j；I-rI-7(>H,

故选：(:

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

根据题意，易得I/。、"//、'CFG三个三角形全等,且在.="工‘中，、/.」，.",'=2-h

第9页，共25页

可得I/，；的面积y与x的关系；进而可判断出y关于x的函数的图象的大致形状.

【解答】

解：根据题意，有HI「3,且正三角形N5C的边长为2,

故BECFAG2-x；

故，"，；、\BEF、ZCFG三个三角形全等.

在中，,1£f,A(；2-

I

则'I.*I,1;

故”.、Iih-X、'I.'..

mv3-3x-j-«r(2-x)■(3ir7-(kr+4).

故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；

故选〃

11.【答案】1.35x

【解析】解：II1亿1；；.1H

故答案为：135.

根据科学记数法的要求进行即可.

本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定。，运用整数位数

减去1确定”值是解题的关键.

12.【答案】

【解析】【分析】

本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能

为0t

根据分式有意义的条件是分母不为o,可得到答案.【解答】

解：根据题意得L-"II,

解可得//，

2

故答案为

*>

13.【答案】3

3

第10页，共25页

【解析】解：原式

5>/3

故答案为：

先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可.

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开

方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键.

14.【答案】2a(b1r

【解析】解：原式一2“卜-M-11

-2.H61：■,»

故答案为：--I「

提公因式后利用完全平方公式计算即可.

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

15.【答案】；?;1

【解析】解：2*r4..1<Q，①:,

4T-5>1(g)

由①得，LI,由②得，.r」，

故不等式组的解集为：「I.

故答案为：2,><I

分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的

原则是解答此题的关键.

16.【答案】6

【解析】解：；扇形的圆心角为“I,弧长为；?-，

,nitR

.I，

171

则扇形的半径"6.

故答案为：6

第11页，共25页

利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径.

此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为」,，,为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径），熟练

17）

掌握弧长公式是解本题的关键.

17.【答案】:

【解析】解：画树状图为：

女女女史

女公男4

女女男男妥/女IV女.男

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12,

恰好选中一男一女的概率是:

故答案为：

画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果"，再从中选出符合事件/

或3的结果数目〃?，然后利用概率公式求事件/或8的概率.

18.【答案】24

【解析】解：①当尸与8重合时，3「|…

-及「M3I，

②当。与。重合时，由勾股定理，得

（V\\1>（l>\111'G、，

I」的最大值是8,

一当《「取最大值时，面积的值最大，

面积的最大值'-i,r-（I）:.L21,

故答案为：21.

根据翻折的性质，可得“4与NP的关系，根据线段的和差，可得$・，根据勾股定理，可得1「，根据

线段的和差，可得答案.

本题考查了翻折变换（折叠问题>勾股定理，分类讨论是解题关键.

19.【答案】8

第12页，共25页

【解析】解：如图,

1。为N2的中点，（八二八/3，

.OV是的中垂线，

n\L\,

<''H，il<1，C.V」，

,l.V/IVV'3-'4I-5，

ICLV〈V57x,

故答案为：、

首先根据题意画出图形，再根据勾股定理得到打\；,根据线段垂直平分线的性质得到」\/；V，可

得答案.

本题考查勾股定理和线段垂直平分线的性质定理，根据题意画出图形并熟练掌握性质定理是解题关键.

20.【答案】4

【解析】解：过点5作W于点E,过点C作，/I”于点尸，过点/作于点G,

,^AEli"/.I90，

一1/"'Ml,」1/•」上"'Ml,

\B!-（XI,

AU.1（',

占■之（LISI,

Cl,

737。，.\G1BD^80=1，

:BGIX；2，

5

BG

•而・丁

AH\1）2」，，—1，

第13页，共25页

'=IBDAG\\l)BE,

4•1-•BE，

.HI：-\5,

5

▲lcr6L

1/(I…，

5

「；〃/"’的面积

=Sgan+S&4C。-S&ABC

=8+6-10

故答案为：I

和「面积，从而得出的面积.

本题考查了一线三等角全等模型和面积法，构造全等三角形和求/D边上的高是解题的关键.

21.【答案】解：原式二I--

工+2x*2r21

_*-1工+2

*+2(1+1)(1—1)

1

J-I1'

x=4sin45:—2COB60:

【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再算出x的值，最后代入计算即可.

本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序,

熟记特殊角的三角函数值.

第14页，共25页

22.【答案】解：1如图，菱形/BE尸即为所求;

【解析】1作一个边长5,高为4的菱形即可；

根据等腰直角三角形的定义画出图形即可，利用勾股定理求出BK

本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关

键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】解：I，本次调查共抽取的学生数有：24+如%-60（名）;

口最喜欢冰壶项目的人数有：（山-H，12W名补全统计图如下:

人数

24

24

20

16

16

12

8

4

冰

冰

短

高

球

壶

道

山运动项目

速

滑

滑

雪

[3）根据题意得:1500X彳=3（据（名）,

答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名.

【解析】L用最喜欢短道速滑的学生人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数;

。用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢冰壶项目的人数，从而补全统计图；

第15页，共25页

:用总人数乘以最喜欢高山滑雪的学生所占的百分比，即可得出答案.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解

决问题的关键.

24.【答案】解：设/种品牌的防晒霜每套的进价为x元，3种品牌的防晒霜每套的进价为y元，

依题意，得"，，

解得：1:二¥•

(0=2

答：/种品牌的防晒霜每套的进价为100元，5种品牌的防晒霜每套的进价为75元.

」设/种品牌防晒霜购进加套，则3种品牌防晒霜购进Il套，

依题意，得：(130-KW)m+(9575)(2m>4)>1200,

解得：,Mi.

答：/种品牌防晒霜至少要进16套.

【解析】八设/种品牌的防晒霜每套的进价为龙元，3种品牌的防晒霜每套的进价为丁元，根据“若购进

N品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进/品牌防晒霜3套，5品牌防晒霜2套，则需

450元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

⑵设/种品牌防晒霜购进机套，则8种品牌防晒霜购进•II套，根据总利润=单套利润*数量结合总

利润不少于1200元，即可得出关于加的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：；I找准等量关系，正确列

出二元一次方程组；T根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

25.【答案】

5

【解析】解：①结论：.1.”,BE.

理由：,1"1交的延长线于点

ZA/=町=NC，

..4.V8.Y，

(''«,

BCI\，即BE，

••必s

i.v-y.v,

第16页，共25页

由“）得8EBC，

,AM=BE；

②如图，设/B,DE的交点为过M作A“；l于点G,

△ir/ginH,

.HE"9,DE=AC=12>LA=ZD>/I/*—/"BE，

」’HE-

!,!!!-H\<'，

/〃-AUAC，

\!l>\!!h

、〃；「〃），

点G是的中点，

由勾股定理得48.y/AC^+BC2-/iN+S1■15，

—I_15

.D（；二2-Hl）二f2；

：

■r«K/>--D-C--DE,

DMBD

157,

x1：,

„,rAX；13D,73,即4.“一_?；

NV——DT-F-=7、

7年a耳

\\l-AB-UM-15--=—；

88

「〃」〃，in：.DI，

.\HM-=ar，

£AMHJ，1/L，

.IA///s/M//,

AHAM3

BE=RW=5，

第17页，共25页

555

①由已知{BEBAC可得ANZTV，再由等积方法Sc-'/>'、•」'J,再结合已知即

可证明结论；

②设/瓦DE的交点为过M作.\“门8。于G,则易得A/。.A/8，点G是AD的中点；利用三角函

数知识可求得DM的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果.

本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三

角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键.

26.【答案】1证明：点£是弧NC的中点，

一弧」匚弧EC,

£ABE=4CBE

£ABC-2^ABE-2Z4CE，

a

；为直径，

Z.ACD-90：.

一〃.1(!肝，

Z.CEB+2Z.ACE>91r.

(2)证明:CHLAB，

ZDHF-9(J，

_D../)///川，

•/ZA£B=(M)，

」」〃•一」〃£xi,

弧弧EC,

ZABE=,I)，

ADFH=，

4DFH=.//\，

LEAB=/CEFA,

EA=EF.

第18页，共25页

I解：连接3D,CF交BE于点T,

CD1AB-48是直径,

••.45垂直平分CD.

:BC=BD，FC=FD.

\£EAB4EDB，Z.EAB小FB，

:.£EDH.DIH-

BF=BD，

Bl-1JC,

N4BE=z(/"，BG.BG，

bGFB^bGCB(SAS).

，.31K.(；(H=80°，

,cunw,

,.(;h(I),

GFEG

麻二乐’

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第19页，共25页

.UKII.\i：l”，，

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..CTTK，CG=GF-CK.

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(KGF，(H—DH，

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GHNFBT，

C，Ti

・・・BT=2FT=12.

in6v5-HCHIC，

第20页，共25页

•.GF=3人

•/idnZUACsinZZ/ZX

AB-10v5，

O.lOli…，

OF=BF-OB=6v^5-5v*g=V^5

(>(：--"-(；/:，

()(13ll，

(M；一，八2」负数舍去〕，

.\OG=5V2.

【解析】Hi点E是弧4C的中点，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到.2VT,

m('〃.“，再根据直径所对的圆周角是直角，即可证出.

L有已知可得.。//.EAULH),1/>7D，利用等角的余角可证.

连接BQ,CF交BE于点、T,证明「7〃也得到(/),证明对应线段成比例，设未知数

列方程，数形结合，求出("；.

本题考查了圆的有关性质，比例线段，三角形全等的判定和性质，三角函数.关键是添加辅助线找比例线

段，设未知数列方程数形结合，求线段的长.

27.【答案】解：II.•抛物线u<r--'1■3与y轴交于点G

(K.1,

.OH-33,

//3Jh,

把4B3.川代入yax1>bx3得

I-I

解得J2i,

抛物线的解析式为“，

(2)方法一s过尸作/"/.『轴于X,

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图2

()1PH,

.点尸是抛物线第四象限上的一个动点，点P的横坐标为右

:()EPH,

s」〃/，，

04OE

而二而‘

2OE

()E--f43,

1I

s'()I()1・」・r•：iif・K；

22

方法二：.山-上山，-lt-3i,

22

用待定系数法求直线NP解析式为v'3,

2

令r=1贝h/=，3,

.--f+3,

..S=^OA-OE=1x2x(-/-♦-3)=T+3；

「II设(JI：JL」，i,由2知厂：.