2024-2025学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷+答案解析

2024-2025学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集II,"1-।r/，，I—8.1.2}，〃,？："，贝1J。ii〃（）

A.{3}B.{3.1}C.{2}D.{2.3}

2.若复数z满足：il」「是虚数单位1则：（）

A.、/2B.、/5C.D.3\2

3.已知向量“一：二上：若，,3,则实数/（）

A.1B.%2C.i1D.;

4.已知〃，b为实数，条件p：〃•八，条件q：-,贝！Jp是4的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.已知随机变量A-.\T.门、-41，/，则八I，（）

A.aB.—-nC.1〃D.———ii

222

6.若存在实数a,使得直线-u，1，I）与圆，」,；11I相切，则实数6的取值范围是（）

A.[0.2|B.l-x.Oji,2.-x：i

C.[-2.0]D.|-x.2]L[Cl.■>vI

7.已知函数"且“，11在R上为单调函数.若方程

I—（工-2）"+4a>2

IIJ.1'-3。有4个不同的实数解，则实数。的取值范围是（）

A.（0,-1]B.C.II1D.1,1）

'21112I2I

.1।JTJ*

8.已知./（0,1）,./••-xI,满足I；'••（——0,则砂的值是（）

ITy

A.3v12B,3Y2C.V*D,3v3

422

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知随机事件42发生的概率分别为」I,八“I:事件/,2的对立事件分别为」，〃，则

下列结论正确的是（）

第1页，共17页

A.I'1

B.若/与8互斥，则广」li\'

6

c.若「wCAP（B）,则4c相互独立

D-P(A\B*/*iI//!/,i/r

10.己知函数力1=2、m」\1,则下列结论正确的是（）

A.函数J一的值域为［3.1：

函数），的一条对称轴为,

B.*2

C.若函数U八_…一•小在"：；上单调递增，则一的取值范围为

26

D.设厂门为函数h，，的导数，则方程〃」，-''恰有4个不同的实数解

2、

11.已知数列"",满足：，，1,d.2,„,1•pr.-21,则下列结论正确的是（）

A.<i4=？B.V'一'>2\'>i+1-2

3—依

C.二、15D.小口北、I」

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在J-」，广的展开式中，含」的项的系数为।用数字作答L

13.“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷

子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5cm和3c%,

侧面与上面的夹角为:，贝U该“米升子”模型“平升”的容积为,■»/

14.某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给

另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.，本小题12分।

记锐角的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知，，-〃1，一•，.一

II।求3的大小；

12）若rin4,加唐，疝1C成等差数列,且的外接圆半径为1，求△ABC的面积.

第2页，共17页

16.।本小题12分，

如图，在四棱锥〃。中，底面48co为平行四边形，其中人D_LBD，PA=PD-AD^BD^2>

PH2>点尸为棱尸D上一点.

III当下为尸。的中点时，证明：」/HP；

12］若直线NF与平面PDC的所成角的正弦值为2'；，求PF的大小.

17.।本小题12分）

已知函数八」：“lu.r

Ill当1时，求/一的单调增区间；

，证明：当"“时，//'I-2-1r

a

18.本小题小分）

双曲线1十一I左顶点为/，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为1.、1小，过/点的两条直线

Mlr

分别交双曲线「的右支于点尸，Q,且

“求双曲线【的方程；

Ji证明：直线尸0过定点；

iil直线4P,AQ,尸。分别交直线，、于点M,N,T,若S;/”,，='"、，，求P0的直线方程.

19.।本小题12分）

已知数列|定义、11.」："，”.•，"，其中3/.且一.

若〃“2”1,求Sll.3）和Si1」口；

②若“，2",证明：对于，，J,u,,\且।•j,以,,都有；

13.1对*于3,4,…，n9设/1。1।♦一--I〃，.I，111.1）..、1.AI：-6..S-11.A'11.正

项数列卜，；,为递增数列，求证：/.中至少有两个不同的元素，且/,中最大元素与最小元素之比小于2

第3页，共17页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：「（।IlI-1.।,Z'•-I*J.1.'2,；|,11,

则CI={3.1},iC/.lin〃=口}.

故选：A

利用集合的交、并、补集运算即得.

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由一।1-II2-；।2+,-人-「l+：h,

得|:-v1-'*3--v10

故选：（,.

根据复数的运算可得：】,J，,进而根据复数模的运算求解.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：,.向量了=；I,”一:L1।t；，

X

.<―-,解得『-二\2

X

故选：/）,

由向量平行的坐标表示即可求解；

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为。，6为实数，所以由「，，得八即充分性成立；

反之，当“-1,h时，满足〃但是“—I-22,即必要性不成立.

故选：

从充分性和必要性两个角度分别判断即可.

本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：随机变量、-一,P（解？3）=a,

,正态曲线关于「2对称，

第4页，共17页

/'iA-ll-o,

vc、1-P（rc1）-P（r>3）1

Pn/（tI<x<2）---------、-:—―■--a.

22

故选：H

由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，［，由广、"，“，可得八、［1.—“，进而求

得八1-A-2i.

本题考查正态分布曲线的对称性，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：由圆,，、:1I的方程可得圆心为半径为1,

由直线-U+b。与圆,-■,；,-1相切,

得圆心到直线“，r。的距离"-”•"：1…1,对于实数a有解，

vo*+1

由I，，.】.v,1-.I1）解得：仆或，，-。，

所以实数6的取值范围是LII.­xI.

故选：/）.

根据给定条件，利用圆的切线性质列式计算得解.

本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.

7.【答案】C

【解析】解：由题意可知：为单调函数，

当，」时，।.I”单调递减；

故当」？时，a，也是单调递减，故"“.1；

要确保。门在夫上单调递减，则一（2-2尸+4（1,&IW/（2・2,

解得：

所以当。一在式上单调递减时，实数。的取值范围为「-:,排除/）.

当J,2时，!\J；”:-1,

又因为。，在I上单调递减，（）<aW：，

所以，门”」-1-f\2-12,

即），）在I-x.2上的值域为2x

第5页，共17页

令严（上）-1/3+3=0,则|/"）|=1或3,

即「：1或：rJ,

因为，「，1必有2个解，

所以要使得-I门」；-3—“有4个不同的实数解，

所以。cI也必有2个解，

贝！I72-2/+1/<=In>1,

解得：〃」.

综上，实数。的取值范围为：।，

I2

BPae।'.

421

故选：（

首先根据单调性的定义得到。的范围，接着将。川看作一个整体，然后结合一元二次方程求解出|「，「的

值，然后结合/一的值域求解出a的范围.

本题考查了函数与方程思想，考查了指数函数、二次函数的性质及转化思想，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：由题知，J•'-dnm一帮・8Bm=2a/r+-⑼，

ITyvVv2

其中IJU",

2

因为TU：、一I,所以小.）,人,,/，即，，।\?，

y2VirV€tr

又由基本不等式可得：.1/.1,,/1J,当且仅当/I即/」时等号成立，

22

Vv\\y旷

所以/♦\_即/2,且wir1时取等号，

Vr

因为「।II.，\।,所以1；\此时.二,一.>•1,/,所以Lui1rtainT.i）:1，

**//

所以解得.，3-J-/,

241I

因为，-u,所以1,

4

又因为〃一山，所以y八-'

故选：.1.

第6页，共17页

,.IIsinJTJ工A八3,口hiIi1I【I=

-*

由小♦,-2|；<•'——”,利用辅助角公式得到十.2s•I.'-T.l-rI,从而

rydV/.

-12.1.-即，'」，再利用基本不等式得到，',2,'「从而

rVrVirVrvvv2

«■)---1-3求解.

Vir

本题考查辅助角公式、基本不等式、三角函数的性质的应用，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：随机事件/,8发生的概率分别为PL',〃，小，事件4,5的对立事件分别为〃

«JA

对于/,/'i.v1P\\\故/正确；

对于8,I与8互斥，/VIB)=尸(4)+与如=彳，故8正确;

6

对于c,P(AB)P(A)P(B),

根据事件独立性的定义可知/,3相互独立，故C正确；

对于D,由，,\U-！，，F。®P(AD)飞需娱需心故”

P(B)+P[B)

故选：」坟.

由对立事件概率的公式求得/，卜，判断/选项；由互斥事件的概率公式求得—“，判断2选项；由

独立事件的公式求得「判断C选项；由条件概率即可判断。选项.

本题考查对立事件、互斥事件、独立事件、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4因为〃““\Jr-I-->7川。•J—1,

«>

又'»ihl2」♦；：，1.1,

所以“；八」，：2.2,

可得/，」的值域为：3.「，故4正确；

对于B,因为J，J?-ni--IvI-I•-J,

3f

所以，一不是它的对称轴方程，故3错误；

*>

对于C,由，T,,可得,LI，

/JwO

第7页，共17页

若函数“，「_门，一小在卜、上单调递增，

则unr+g《T，则0<3W；，故C正确；

对于。，由题得J'「-lcoK（lr+^）,

因为直线吁二过点山，

2、12

所以山是直线，,,，一的对称中心，

又「:J-h，z2•1；•/-Im：”，

所以「八也是函数，:-：，的图象的对称中心，

根据图象的对称性可知，V—八八与--交点个数只能为奇数，

28

故。错误.

故选：AC.

由辅助角公式化简函数解析式，然后由三角函数的性质得到函数的值域，判断”选；由三角函数的对

称轴对应函数的最值，代入，:求得函数值，判断2选项；由,।：求得，，一；的范围，由三角函

数的单调区间得到不等式，然后求出-的取值范围，判断C选项；求出导函数丁」，，求出直线,/

2A

的对称中心，验证直线”L-?的对称中心也数导函数八，，的对称中心，从而得到它们的交点个数一定

2、

为奇数个，判断。选项.

本题考查了三角函数恒等变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对于A,因为“I1,，一1,.1.।+“，J八2।，

%

।]3128

所以…「1，•!；…,，故力正确；

22"3oo

对于因为“，।*,।•।1'1•-1,

%

所以两边同时乘以〃”得：1，仃1儿：，即,I.।.1H1।所）,

又因为山小2,所以数列；.是首项为2,公差为1的等差数列，

所以〃,，.I”11-1-».（11,

因为“।~”，j八，，所以n,：n,21,

%On

第8页，共17页

1

所以工一I”,,।勺.।一I""jl•­fI"；"iI•〃,.i・"，”」臼•

丁<U5例

八1••■,J2、”,，22\H•I3故5正确；

对于选项C和。，用数学归纳法证明：

1I.H_,।、？人I.”，\1人,1’对于〃3,A-2,n,t：'\*恒成立.

①当「"和…I,即K=2时，。】=,<x2—1-\,，>/夕x2+1=，

/4)

故八J和M1满足条件；

②假设“DI和「2；-,r«3,<-2,n,।.V,

〃工i12，I.v2A♦1成立,

由〃,，.—2♦।01i«1.4|,

所以〃.：2At1,H(2/»*2,

乜2A+121+1,———-

故-<i.—v2fr+1,

〃3\2k-I-I

2k+22t+2

〃八一------>「=，

0J4rT+]

因为|一1.7-1-2>-:；ir-、，-：；-T•I,」；.？J,

所以।一\[♦I,\2At3•"+2>

-\2*.'\-f1'»-।-I，

故"1和”，!时，“Aijv2A+7，“:'；•、1成立.

综上，当"为奇数时“1\"I,当"为偶数时，”X2A■\>

对于“.：,2，n,.、一恒成立.

取i11112,可得“二\J1i'JI♦1—\11,

取A1013,可得“》_，「，202515,故C正确，。错误.

故选：4BC.

对于选项N,可直接通过通项公式验证；

对于选项2：可由已知条件推导出1的表达式，再求,的前〃项和，借助基本不等式进行放缩，即可判断;

第9页，共17页

对于选项c和。，可用数学归纳法证明,，\1..,3，〃.1,即可判断.

本题考查由数列的递推式求数列的通项公式，数学归纳法的应用，属于中档题.

12.【答案】80

【解析】解：在J-L广的展开式中，

其展开式的通项公式为：(

由3.1；,

可得人1.

故在J•a的展开式中，含/项的系数是，•C-!-so

故答案为：71

根据二项式定理，展开式的通项(•，,令"5=3可得AI，进而可得含「项的系数

是，.<[一7L

本题考查了二项式定理，属基础题.

13.【答案】'

3

【解析】解：设底面/BCD和平面4131cHi的中心分别为O,心1，CD和，”的中点分别为E,/,

过点E作EF1平面UBCiDi于点F,如下图所示：

因为四边形/BCD的边长为3,四边形$从「格的边长为5,侧面与上面的夹角为，，

所以《〃-».()[/]—/<>(八二//,

iaA

-0(/.；(〃一：g=1,()]、</),II..C,/),,

又平面.猫儿「小，平面C”平面1/九LQ,II平面「/)〃「，

所以侧面CDDiQ与上底面A/CiD所成角的平面角为NQEiE,故./-:,

由//」平面UBiCiDi，OiEi二平面I口，所以EEL5E1，

第10页，共17页

所以//.一//।IanO|/\/-1-l.ui,-\1,

故正四棱台-1”一，的高为、J，

故“平升”的容积为++

故答案为：“'」

3

利用二面角的概念和台体的体积公式求解即可.

本题考查正四棱台的体积的求解，属中档题.

14.【答案】-?

25G

【解析】解：某学校篮球队有5名队员做传球训练，第一次由队员甲将球传出,

每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，

设八“表示经过第"次传球后球在甲手中，

〃次传球后球在甲手中的概率为几，“1,2,3,…，

则乃=“，A.1=.1,,•.1„.|+LV,

P(An'A”.]+An,■1^(An■AI.I)+P(An,A9+i)

■P(A»)•RZzilA)+P(4”)P(■(1-Pn)*彳+兄x0,j(I-Pn)，

即所以「一「「，

44545

又n―1Lu,所以｛匕—3是以」为首项,I为公比的等比数列,

5555

四.nvFn11；1?”

3n>»RJ,/,

55I256

故答案为：

设儿，表示经过第〃次传球后球在甲手中，"次传球后球在甲手中的概率为a,由全概率公式可得

r)；j/i,构造等比数列，求出通项公式即可得答案.

本题考查全概率公式、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】解：I在，.1〃「中，「周4-①-「“、」•，仆「，

而n<…一-《।z1♦H•--cos.|<।(^/?-1/4,

cili-.11二《।小〃《।m.I•binH-»in.I,

第11页，共17页

所以—M〃—一1：—cl'-CIX5,I—l||s|.I4//|,

-Z〃1•1A.1•2…、］「”、〃orsI,

又因为I/*'为锐角三角形，故CS.I」)，

所以«I卜〃，即〃；

23

；.”因为、in.l，>inIf，、ii」「成等差数列，故2-iu/J-.u\*-tn(r,

由正弦定理得2。n.,而开，，，

可得44^―/+<?+2nc，①

由余弦定理可得M,J-,二2〃<“小/7</-1二#，②

由①②可得〃二十」一2(〃二0,

解得〃一，

因此\IK为正三角形，而〃'外接圆的半径为1,

b

由正弦定理可得.---1,可得八二、a，

Mil、

3

故△/〃厂的面积为、二0x,「

【解析】I，由<•"«'-,结合两角和差的余弦公式化简即可求解；

2结合等比中项及正弦定理可得〃-;，再由余弦定理及正弦定理即可求解；

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角形内角和定理的应用，属于中档题.

16.【答案】解："证明：根据题意，Pl>I'.li2>fl：八/，根据勾股定理

又13且「'/，.17)D，PD,1/)_平面尸4D,

13D平面PAD,

而",二平面PAD,1/nn，

又丁尸为尸。的中点且尸4=A。,.AFA.PD>

又「/)BD一D，PD，HDCPBD,」/二平面尸3D,

HI'平面PBD,II

2)取40中点E,连接尸E,则/"：.」〃，riBD，l/>BDD>

AD,；；!)平面48CD,/'/平面/BCD,

以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系“

则。(0,0,。),4(2,0,0),B(0,2,0),P(l,0.V5),C(2,2,0),

第12页，共17页

且由=（-22。），5?:1,•I\11，

设平面PC。的一个法向量TT—」,人「，则!""

I-nPI）二0

令，」，得.「I,1,故］\S\二-II,

设点八，则"।\2,0.\/3A）-

设//与平面PCD所成角为“，

解得,”版史评（照

故1/'卜1.

【解析】1根据题意可证/“），〃，进而可知3〃一平面P/D,得.1/；“。，再由17，可得AFL

平面尸AD,进而可得；

”由空间向量法设/।\r、由线面角求参数的值，进而得/J“'、，进而可得.

12*2

本题考查了空间向量，属于基础题.

17.【答案】解：；1।当〃1时，“hi।,则"「।）。，解得।-1,

XXX2

当/川时，II,故•在/•川.11单调递减；

当」1.-\I时，”「二"，故J"在」1•VI单调递增，

故八一的单调增区间为11..、L

，证明：由1--0,解得J1,

XX*<|

当j-HI.1'f,\.1..o,故2单调递减；

第13页，共17页

当,「-时，II,故/,单调递增；

a

故，/I•f」।”，

a

设“I匚r1In/-,.rII,

1r

则/।I।I）,解得J1,

XX

当/川./时，II,"」I单调递减，

当（L+x）时，</（z）>0,g（工）单调递增，

所以।川1H,即」1-In•----.1.1-11J.ti；,

所以aaInau<*,'H—1）-2«i—f当〃1口寸等号成立,

又12,--”—？-Ji=2〃+?-4；•入；2“-4-lb当“，时等号成立，

aaVo

I2

故/1rI,（：ia•:In八•%-MI—3«i

aa

【解析】I"先求得/'」”根据导数的正负求解即可；

」首先根据导数得出/，，在,，，L单调递减，「，，在"）•"单调递增，则

aa

f（x]-f：।o—<iIn。,再构造函数UJ-IIn.।J*"I说明〃—〃In”，〃一“I”一11，再用作差

a

2

法及基本不等式得出IH,：II）即可证明.

a

本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在不等式证明中的应用，属于中档题.

18.【答案】解：1因为双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为।

解得〃—2,八I,

则双曲线r的方程为《_『=i；

」i，证明：设直线尸。的方程为“A,-，L，，八，•力।,3，:口，

联立,消去y并整理得N1省/-8*5-（止+1）=。,

=1

此时A-H>r4It.Mk'0,

第14页，共17页

Hr用++72)+t2

X|JT]+2(*|+12)+4H

整理得If-2kIlffGA，—0,

解得,-1或/=-i>A,

当，」；时，直线P。的方程为；，一，M；，,L,

此时直线尸。经过点，-2.山，不符