2024-2025学年浙江省绍兴市新昌县某中学九年级（上）期中考数学试卷+答案解析

2024-2025学年浙江省绍兴市新昌县西郊中学九年级（上）期中考数学

试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列事件中，是不可能事件的是（）

A.买一张电影票，座位号是奇数B.度量某个三角形的内角和，度数为185。

C.打开电视机，正在播放新闻D.射击运动员射击一次，命中9环

2.将二次函数?/=（2―1）2+2的图象向上平移3个单位，得到的抛物线的函数表达式为（）

A.沙=（2+2）2-2B.y=（工—4）2+2C.y=（x—I）2—1D.y=（x—I）2+5

3.不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红

球的概率是（）

1113

A.—B.—C.—D.—

4324

4.已知的半径为4c〃z,点尸到圆心。的距离为3c〃z,则点P（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不能确定

5.如图，四边形A8CD内接于00，点E在3c的延长线上.若/8。。=120°，则N0CE=（）

A.120°B.60°C.100°D.80°

6.已知AB=6,点P为线段N3的黄金分割点G4P〉BP），则/尸的长为（）

A.3\/5-3B.3A/5+3C.9-375D.9+375

7.若点4（—3,阴），BQ,,。（2,券）在二次函数V=/+24+1的图象上，则勿，数，统的大小关系

是（）

A.yi<y\<姬B.y\</<52c.y\<yi<明D.胡〉为〉yi

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8.如图，在半径为。的扇形0/8中，^A0B=90°，将扇形CUB沿过点8的直线折叠，点。恰好落在弧

9.如图，N3是©O的直径，AACD=ACAB，AD=2,47=4,则00的半径为（）

10.如图，等腰及△48。内接于圆。，直径48=2血，。是圆上一动点，连接AD,。。，BD,且⑦交

AB于点G.下列结论：①。C平分NADB；®ADAC=ZAGC^③当AD=CD，四边形NDBC的面积为

873；④当_8。=2时，四边形AD3C的周长最大，正确的有（）

A.①②B.②③C.①②④D.①③④

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.正六边形的每个内角等于°.

12.若二次函数g=/+3/的图象经过点P（2,a）,则a的值为.

13.已知线段a=2,6=8.则。，6的比例中项线段长是.

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9

14.如图，直线直线/£交A，/2,b于点、4C,E,直线BF交11，(2,Z3于点3，。，F.若7汨=：,

。七3

15.在半径为5的圆。中4B,。。分别是它的两条弦，豆ABHCD,其中43=8，CD=6,求此时这两

条弦之间距离为.

16.已知二次函数V=x2-2nx+3(n>0),点A(m-2,a),B(4,6),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，

且a<b<3,则〃?的取值范围是.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

已知x：y=2：3,求：

⑴一;的值；

山y

⑵若4+V=15,求x,y的值.

18.(本小题8分)

小明和小莉做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇

碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色.现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸储水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬

水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸储水是中性，两人各取了4个烧杯，

分别倒入这4种不同的无色液体.

(1)小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是；

(2)小莉随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率.

19.(本小题8分)

已知抛物线沙=—X2+(m—1)/+m与y轴相交于点(0,3).

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)当x取何值时，抛物线在x轴上方？

20.(本小题8分)

如图，40、2C相交于点P,连接NC、BD,且/1=/2,AC=3-CP=2，DP=1,求AD的长.

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21.(本小题8分)

如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，将绕点C顺时针旋转90°，得到

△CDE.

(1)在网格中作出△COE；

(2)求出线段3C扫过的面积.

22.(本小题8分)

为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千

克与每平方米种植的株数以24/W8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时，平均单株产

量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.

(1)求y关于x的函数表达式.

(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？

23.(本小题8分)

如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度48=60米，拱高产。=18米，

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p

(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；

(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米是否要采取紧

急措施？

24.(本小题8分)

【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，。。的半径为1,

点4(2,0).动点3在0O上，连结NS作等边△480(4用。为顺时针顺序)，求0c的最大值.

图①图②

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接03,以为边在03的

左侧作等边三角形连接AE.

(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

(2)线段OC的最大值为.

(3)【灵活运用】如图②，8。=4逐，点D是以3c为直径的半圆上不同于3、C的一个动点，以BD为

边在的右侧作等边求NC的最小值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答.

【详解】解：4买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故/不符合题意；

R度量某个三角形的内角和，度数为185°，是不可能事件，故3符合题意；

C打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，故C不符合题意；

D射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故。不符合题意；

故选：B.

2.【答案】D

【解析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键.

根据二次函数图象平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可.

【详解】解：将二次函数“=2的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式

为：沙=(2一+5,

故选：D.

3.【答案】A

【解析】直接由概率公式求解即可.

【详解】解：•.•袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同，

.•.从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是」=；,

故选：A.

4.【答案】A

【解析】本题考查了点与圆的位置关系，设0O的半径为r,点尸到圆心的距离OP=d,则有：①点P在

圆外0d〉r;②点尸在圆上0d=r;③点尸在圆内0

根据©0的半径r和点尸到圆心的距离d的大小关系判断即可.

【详解】解：根据题意可得：。。的半径为r=4cwz,点尸到圆心。的距离为d=3an,

•.•3<4,

：.d<r,

二.点尸在圆内，

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故选：A.

5.【答案】B

【解析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求得/4=60°，再根据圆内接四边形的外

角等于它的内对角求解.

【详解】解：•.•NBO0=12O°,

•.-ZA=1zBOD=60°,

ADCE=NA=60°.

故选：B.

6.【答案】A

【解析】根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出NP的长.

【详解】解：由于P为线段43=6的黄金分割点，

且NP是较长线段；

则AP=6x--=3\/5-3，

2

故选：A.

7.【答案】A

【解析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由4,B,。三个点离对称轴的远近，即可解决问题.

【详解】解：由题知，

抛物线g=/+2r+1的开口向上，且对称轴是直线立=—1,

所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小.

又;一(T)<T-(-3)<2-(T),

所以续<yi<ya

故选：A.

8.【答案】C

【解析】由折叠的性质，可得。。=C。，BD=BO,则可得4。+。。=。4,又在扇形。N5中，

ZAOB=90°，半径08=a，即可求得不力的长度，继而求得阴影部分周长.

【详解】解：根据折叠的性质，CD=CO,BD=BO,

：,OB=OA=BD=a,AC+CD=AC+OC=OA=a

又•.•"03=90°，

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_90i

...矗的长度为：—™=-7ra,

则阴影部分的周长为：3a+2a.

故选：C.

9.【答案】B

【解析】先由直径所对的角是直角得到=90°，再根据圆周角相等得到3。=40=2，最后在

H力△48。中，由勾股定理求出直径即可得到答案.

【详解】解：•二48是。。的直径，

AACB=90°，

■：AACD=Z.CAB,

---AD=BC>则3。=4。=2，

在中，AC=4,5。=2,则由勾股定理可得+区02=?后

：,0。的半径为:45=①，

故选：B.

10.【答案】C

【解析】证明40=48,公=矗，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；作“

交可延长线于证明BO=（\历-1）40,利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明③错误；当

40=30时，四边形/D3C的周长最大，据此求解即可.

【详解】解：•.•等腰放△/口。内接于圆。，且为直径，

：,AC=AB,AC=AB>

;"ADC=4BDC，即DC平分NADB；故①正确；

-：AC=AB'

:.AADC=ACAB，

■：ADAC=ACAB+ADAB,AAGC=AADC+ADAB,

.-.ADAC^ZAGC；故②正确；

作M。！。。，交以延长线于M,

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M-z：-"

\4

•.-Z1+Z3=9O°=Z1+Z2，

Z2=Z3,

4、C、B、。四点共圆，

Z4+ACAD=180°，ACAD+ACBD=180°，

:"4=NCBD，

：,ACBD^ACAM(ASA),

：,AM=BD,CM=CD,

•.•NMCD=90°，

△儿r。。是等腰直角三角形，

由勾股定理得：DM=MCD，

■;DM=ZX4+AM^DA+BD,

,-.BD+AD=&CD；

-：AD=CD,

：,BD=(^2-1)AD；

•.•直径4B=2g，AD2+BD2AB2,AC2+BC2=AB2»

AD2+[(^2-1)叫2=(2四/，AC=BC=2,

A。2=」^=2(2+⑸

2-^2

四边形4D8C的面积为gxACxBC+1xADxBD

=2+1xADx(\/2-1)AD

=2+—x2(2+\/2)(\/2—1)

=2+V2＞故③错误；

AC=BC=2,要使四边形4D3C的周长最大，AD+要最大,

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.•.当40=8。时，四边形AD8C的周长最大，

此时，AD=BD=2,故④正确；

综上，①②④正确；

故选：C

11.【答案】120

【解析】解：六边形的内角和为：(6-2)x180°=720°,

72。°

二正六边形的每个内角为：--=120°,

6

故答案为：120

12.【答案】10

【解析】直接把点P(2,a)代入到二次函数解析式中求解即可.

【详解】解：•.•二次函数?/=/+32的图象经过点P(2,a),

a=2?+3x2=4+6=10，

故答案为：10.

13.【答案】4

【解析】设线段。，6的比例中项为c,根据比例中项的定义可知，c2=ab=2x8,求得c的值，注意两

条线段的比例中项为正数.

【详解】解：设线段a,6的比例中项为c,

•••c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，

「.，=ab=2x8,

即c2=16>

；,c=4(负数舍去)，

故答案为：4.

14.【答案】12

【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可.

【详解】解：•.力〃引〃3，

AC_BD

''~CE^1DF，

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.2_8

''3=DF，

：,DF=12,

故答案为：12.

15.【答案】1或7

【解析】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论.

连接。C、OA,过点。作0EL4B于£,交CD于F,则EFJ_CD,根据垂径定理求出。£AE,根据勾

股定理求出。£、OF,即可得出答案.

【详解】解：连接。4。。.过点。作。于£,交CD于F,

当和CD在圆心的同侧时，如图所示，

-：AB//CD,OE1AB,

:.OF1CD,

■：OELAB,OF1CD,

：,AE=jylB=4,CF=|CD=3,

根据勾股定理，得0E=^AO2-AE2=佝-42=3,0F=\/0C2-CF2=^52-32=4,

则EF=OF—OE=1；

当和CO在圆心的两侧时，如图所示，

-：AB//CD,OELAB,

.-.EFLCD，

■：OE1AB,OFLCD,

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AE=|AB=4,CF=|cn=3,

根据勾股定理，得。E=y/AO2-AE2=，52—42=3,OF=s/OC2-CF2=^52-32=4-

则EF=OF+OE=7.

故答案为：1或7.

16.【答案】m>6或3<m<4

【解析】本题考查了二次函数性质，以及解一元一次不等式，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析不

同的可能性，先根据A(加一2,a),C(m,a)的纵坐标相等得到二次函数对称轴，再根据a<b<3,结合二

次函数的增减性进行分类讨论，建立不等式进行求解，即可解题.

【详解】解：•.•4加―2,a),C(m,a)都在二次函数的图象上，

.,.二次函数g—x2—2nx+3(n>0)的对称轴为直线C=———；+771=m—1,

:.m-1>0,

解得m>1,

'：m-2<m,

」.4在对称轴左侧，C在对称轴右侧，

当①=0时，y=3,

.•.二次函数图象与y轴交于(0,3),

：.(0,3)关于对称轴对称的坐标为(2m-2,3),

,,7<3,

.,.2m—2>4,解得m>3,

①当A(m-2,a),B(4,b)都在对称轴左侧时，

•.•a<b<3,y随x的增大而减小，

m-2>4,解得m>6,

②当A(m-2,a)在对称轴左侧，5(4,均在对称轴右侧时，

■：a<b,

即A(m-2,a)到对称轴距离小于B(4,与到对称轴距离，

m-1-(m2)<4-(m-1),解得m<4,

即3<wz<4,

故答案为：？71〉6或3<m<4.

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17.【答案】【小题1】

由x：y=2：3,设c=2k,y=3k

x2k

x—y2k—3k一’

【小题2】

由（1）可知，x=2k,n=3k

'：x+y=15

;.2k+3k=15

,-.fc=3

：,x=6，y=9.

【解析】1.

结合题意，设立=2k，4=3上代入代数式计算，即可得到答案；

2.

由（1）得立=2上y=3k,结合立+9=15,可计算得后的值，从而得到答案.

18.【答案】【小题1】

1

4

液（。）呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果,

、41

,一杯变红、一杯变蓝的概率为访=了

JL/O

【解析】1.

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本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,

适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.直接由概率公式求解即可；

【详解】解：•.•小明和小莉两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体，将石蕊试剂滴入，食

用碱溶液呈现蓝色，

.•.小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是:，

故答案为:

4

2.

列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可.

19.【答案】【小题1】

解：由题意将(0,3)代入解析式可得：m=3,

.♦.抛物线为y=—x2+2x+3；

【小题2】

令?/=0，则一/+22+3=0，

解得：的=—1,X2=3,

.•.抛物线与x轴的交点为(一1,0),(3,0),

则：当—1</<3时，抛物线在x轴上方.

【解析】L

由已知点(0,3)代入y=-x2+(m-\)x+m即可求得m的值，即可求得抛物线的函数表达式；

2.

由解析式可知抛物线开口向下，令n=。，求得抛物线于x轴的交点坐标，即可判断.

20.【答案】解：•.•N1=N2,AAPC=ABPD,

:4APCsABPD,

AC_CP

"^D=1JP，

c「DP-AC1x33

CP22

Q

：RD的长为了

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Ar1「p

【解析】先证明△APCsABP。得蒜=诺，从而即可求解.

21.【答案】【小题1】

如图，ACQE为所求作的图形

【小题2】

BC=A/22+22=2V2，Z.BCE=90°

.•.在旋转过程中，8c所扫过的面积为黑x（2四）==27r

【解析】1.

根据旋转中心方向及旋转角度找出点/、3的对应点。、E的位置，然后顺次连接即可.

2.

利用勾股定理求出2C的长，2C所扫过的面积等于扇形2CE的面积，然后列式进行计算即可.

22.【答案】【小题1】

解：•.•每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，

,-.y=4-0.5（2：-2）=-0.5®+5（2<2<8,且X为整数）；

【小题2】

解：设每平方米小番茄产量为少千克，

w—x（—0.5x+5）=—0.5/+5工=—0.5（2—5）2+12.5.

.,.当工=5时，w有最大值12.5千克.

答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克.

【解析】1.

由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式；

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2.

设每平方米小番茄产量为沙千克，由产量=每平方米种植株数x单株产量即可列函数关系式，由二次函数

性质可得答案.

23.【答案】【小题1】

连接。工,

由题意得：AD==30，OD