2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知Cn2=6，则n的值为A.3 B.4 C.5 D.62.甲、乙、丙、丁四名学生代表高二(1)班参加校运动会4×100米接力比赛，则他们的出场顺序的方案数可以表示为(

)A.A44 B.C44 C.3.若X～B(n,0.4)，且E(X)=4，则D(X)等于(

)A.4 B.2.4 C.0.96 D.0.244.(x2+ax)5展开式中第四项的系数为A.8 B.4 C.2 D.±25.对于(2+x)A.(2+x)6的展开式中共有6项．

B.(2+x)6展开式中的第四项与6.一场元旦联欢晚会上共有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目，则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为(

)A.A73A66 B.A37.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为(

)A.120 B.36 C.24 D.68.盒子中共有3个红球和5个黄球，从中随机取出3个球，则取出的红球多于黄球的概率为(

)A.1156 B.38 C.9289.北京市某高中高一年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为(

)A.60 B.90 C.150 D.24010.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,3)，动点P满足OP=λOA+μOB，且|λ|+|μ|=1A.点P的轨迹为圆． B.点P到原点的最短距离为1．

C.点P的轨迹所围成的图形的面积为6． D.点P的轨迹是一个正方形．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知离散型随机变量X的分布列如下表，则m=______．X0123P11m1−2m12.若事件A，B相互独立，其中P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P(B|A−)=______．13.二十四节气是中国古代用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的智慧结晶.春、夏、秋、冬每个季节各包含六个节气.李华同学计划从中随机选取2个节气开展知识讲座，则两个节气恰好在同一季节的概率为______；若已知选取的2个节气均属于春季，则其中包含“立春”的概率为______.(“立春”是春季的六个节气之一.)14.(a+b+c)4的展开式中含a15.若曲线f(x,y)=0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，下列方程的曲线有“自公切线”的是______．

①|x|−4−y2+1=0；

②y=2sin(3x+π6)；三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知二项式(2x−1x)n的展开式中，各项二项式系数之和为64．

(1)求n的值及展开式中的常数项；

(2)17.(本小题13分)

“猜灯谜”是我国传统节日元宵节的特色活动.某公司组织猜灯谜比赛，根据谜底不同分为“字谜”、“事谜”、“物谜”三种类型，每个人每类灯谜只能猜一个.小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜”的概率分别为p1、p2、p3，假设每类灯谜猜对与否互不影响．

(1)求小张恰好猜对一类灯谜的概率；(只列式不化简)

(2)求小张至少猜对一个灯谜的概率.(18.(本小题14分)

某高中为了解学生日常运动情况，从该校学生中随机抽取100名学生作为样本，统计他们一周之内总运动时间，将结果按如图所示分组，得到样本学生一周内总运动时间的频率分布直方图．

假设以频率估计概率．

(1)求a的值，并计算样本中学生一周内总运动时间在[4,6)小时的人数；

(2)从该校学生中随机抽取5人，其中一周内运动总时间在[4,6)小时的人数记为X，求P(X≤2)；(只列式不化简)

(3)记y−为样本中所有学生一周内总运动时间的平均值，从样本中随机挑选一名学生，记Y为该名学生一周内总运动时间，比较E(Y)与y−的大小.(结论不要求证明)19.(本小题15分)

小型热带鱼具有颜色好看，小巧耐活，繁殖能力强等特点，深受大众喜爱.张先生在家里的鱼缸中养殖了3条孔雀鱼、5条虎皮鱼和7条斑马鱼．

(1)从鱼缸中随机捞出2条鱼，求两条鱼种类不同的概率；

(2)从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量为x1，虎皮鱼数量为x2，设Y=x1−x2，求Y的分布列及其期望；

(3)若张先生又从市场购买了孔雀鱼、虎皮鱼和斑马鱼各3条并投入鱼缸，此时从鱼缸中随机捞出2条鱼，记其中孔雀鱼数量减去虎皮鱼数量之差为Y′，比较(2)中E(Y)与20.(本小题15分)

已知椭圆C：x24+y22=1，点P(0,1)．

(1)求椭圆的离心率和短轴长；

(2)设直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆有两个不同的交点E，21.(本小题15分)

如图，设A是由2n个实数组成的2行n列数表(n≥3)，其中aij表示数表中第i行第j列的实数，满足：aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；aa…aaa…a记Pn为所有这样的数表组成的集合.对于任意A∈Pn，记S(A)=j=1na1j，T(A)=j=1na2j；记Ω为{1,2,3,…,n}的一个子集，定义“Ω变换”为：对于任意k∈{1,2,3,…,n}，若k∈Ω，则令a1k=0，a2k不变；若k∉Ω，则令a2k=0，a1k不变.240204(2)证明：对于任意A∈P3，存在集合Ω满足S(Ω(A))+T(Ω(A))≤6；

(3)证明：对于任意A∈Pn，存在集合Ω满足S(Ω(A))≤n+1且参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.D

9.C

10.C

11.51212.0.7

13.523

114.12

81

15.②④

16.解：(1)二项式(2x−1x)n的展开式中，各项二项式系数之和为64．

则2n=64，解得n=6，

所以该二项式为(2x−1x)6，

则通项公式为：Tk+1=C6k(2x)6−k(−1x)k=(−1)kC6k26−kx6−3k2,k=0,1,2,⋅⋅⋅,6．

令6−3k2=0，解得k=4，

所以该二项式的展开式中的常数项为T4+1=(−1)4C6422=60．

(2)取x=1，故展开式中所有项的系数和(2−11)6=1，

(3)由于n=6，故展开式中二项式系数最大为C63，故二项式系数最大的项为

T4=(−1)3C6323x6−3×32=−160x32．

17.解(1)：根据题意，设小张猜对“字谜”、“事谜”、“物谜“分别为事件A，B，C，

则P(A)=p1，P(B)=p2，P(C)=p3，且事件A，B，C相互独立．

设小张恰好猜对一类灯谜为事件D，

则P(D)=P(AB−C−)+P(A−BC−)+P(A−B−C)

=p1(1−p2)(1−p3)+(1−p1)p2(1−p3)+(1−p1)(1−p2)p3．

(2)根据题意，设小张至少猜对一个灯谜为事件E，

则事件E的对立事件为小张没有猜对一个灯谜，即A−B−C−，

故P(E)=1−P(A−B−C−)=1−(1−p1)(1−p2)(1−p3)．

18.Y−2−1012P103536213E(Y)=−2×10105+(−1)×35105+0+1×21105+2×3105=−20−35+27105=−28105；

(3)记其中孔雀鱼数量为x3，虎皮鱼数量为x4，设Y′=x3−x4，

则当Y′=x3−x4=0时，则x3=0，x4=0或x3=1，x4=1，此时概率C102+C61CY′−2−1012P2880936015E(Y′)=−2×28276+(−1)×80276+0+1×60276+2×1520.解：(1)因为椭圆C：x24+y22=1，

所以b2=2，a2=4，

故a=2,b=2，所以c=a2−b2=2

故离心率为e=ca=22，短轴长为2b=22；

(2)由y=kx+mx2+2y2−4=0，

得(2k2+1)x2+4mkx+2m2−4=0．

因为直线l与椭圆C有两个交点，

所以Δ=16m2k2−8(2k2+1)(m2−2)>0，

即4k2+2−m2>0(∗)，

设21.解：(1)根据题目：设A是由2n个实数组成的2行n列数表(n≥3)，

其中aij表示数表中第i行第j列的实数，满足：aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；j=1，2，…，240000S

=

2+4+0

=

6，T

=

0+0+0

=

0，S+T

=

6，符合题意；

当Ω={1,2,3}时，变换后的数表Ω(A)为000204S=0+0+0=0，T=2+0+4=6，S+T=6，符合题意；

当Ω={2,3}时，变换后的数表Ω(A)为200004S=0+4+0=0，T=2+0+4=6，S+T=10，不符合题意；

当Ω={1,3}时，变换后的数表Ω(A)为040204S+T=10，不符合题意；

当Ω={1,2}时，变换后的数表Ω(A)为000200S+T=2，不符合题意；

当Ω={1}时，变换后的数表Ω(A)为040200S+T=6，符合题意；

当Ω={2}时，变换后的数表Ω(A)为200000S+T=2，不符合题意；

当Ω={3}时，变换后的数表Ω(A)为240004S+T=10，不符合题意；

以上任意符合题意的集合都可以作为集合Ω，即Ω=⌀，{1,2,3}，{1}，{2,3}．

(2)证明：根据题目：记Pn为所有这样的数表组成的集合．对于任意A∈Pn，

记S(A)=j=1na1j，T(A)=j=1na2j；记Ω为{1,2,3,…,n}的一个子集，

定义“Ω变换”为：对于任意k∈{1,2,3,…,n}，若k∈Ω，

则令a1k=0，a2k不变；若k∉Ω，则令a2k=0，a1k不变．

数表A经过“Ω变换”所得新数表记为Ω(A)．

因为aij≥0，且a1j+a2j≤4(i=1,2；j=1，2，3)．

max{a1j,a2j}≥2，min{a1j,a2j}≤2，

定义Ω={j∈{1,2,3}|a1j≥a2j}，

即将列中第一行的数大于等于第二行的数的列的列数构成集合Ω，

则变换后每一列中只剩一个不超过2的数，S+T≤2×3=6，符合题意．

这就证明了对于任意A∈P3，存在集合Ω满足S(Ω(A))+T(Ω(A))≤6；

(3)证明：每一列的数对可能为(0,4)，(4,0)，(1