2024-2025学年广东省佛山市佛山一中高二（下）第一次质检数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省佛山一中高二（下）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在等差数列{an}中，已知a3+a4=12A.12 B.32 C.36 D.722.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若4aA.17 B.2 C.−2 D.−173.如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设∠PAB=θ(0<θ<π)，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是θ的函数.这个函数的图象可能是(

)A.B.

C.D.4.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，那么该函数的图象可能是(

)A.B.

C.D.5.已知f(x)+f(1−x)=2，an=f(0)+f(1n)+…+f(n−1A.an=n−1 B.an=n C.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm−1=−2，Sm=0A.8 B.7 C.6 D.57.已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2nA.(3,∞) B.(2,∞) C.(1,∞) D.(0,+∞)8.已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，对于任意的n∈N∗，均有an+1=2an+1，A.599 B.569 C.554 D.568二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下命题正确的是(

)A.设集合A={x|1<x<3}，B={x|2<x<4}，则A∪B={x|1<x<4}

B.向量a=(6,2)在向量b=(2,−1)上的投影向量为(4,−2)

C.若复数z=a−i1+i(a∈R)是纯虚数，则z的共轭复数z−10.已知函数f(x)=x3−3x+1，则过点(1,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程可以为A.2x+y−1=0 B.y=−1 C.9x+4y−5=0 D.3x+2y−1=011.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了类似如图所示的图形，后人称为“三角垛”(如图所示的是一个4层的“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则下列所有说法中正确的有(

)A.an−an−1=n+1(n≥2) B.a2025三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Sn、Tn分别为等差数列{an}、{bn}的前n13.若函数f(x)=x2−ax+lnx在区间(1,e)上单调递增，则a14.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+1,n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD是正方形，PC⊥底面ABCD，且PC=BC=1，E是棱PB上动点．

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)线段PB上是否存在点E，使二面角P−AC−E的余弦值是223？若存在，求16.(本小题15分)

已知函数f(x)=(2−a)x−lnx−1，a∈R．

(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调递增区间；

(2)若a<0，设g(x)=f(x)+ax2，求函数g(x)的单调区间．17.(本小题15分)

已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且an2+2an=4Sn−1(n∈N∗).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列18.(本小题17分)

某企业2015年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．

(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的年纯利润为an万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为bn万元，求an和bn；

(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元，求An和Bn19.(本小题17分)

若数列{an}满足：对任意n∈N∗，都有an+1−an>1，则称{an}是“P数列”．

(1)若an=2n−1，bn=2n−1，判断{an}，{bn}是否是“P数列”；

(2)已知{an}是等差数列，a1=2，其前n项和记为Sn，若{a参考答案1.C

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.D

8.D

9.AB

10.BC

11.BCD

12.51313.(−∞,3]

14.6

2n

15.解：(1)证明：连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC；

∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD，

又AC⋂PC=C，AC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

(2)以C为坐标原点，CB，CD，CP所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则A(1,1,0)，C(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，

∴PB=(1,0,−1)，AC=(−1,−1,0)，BD=(−1,1,0)，AP=(−1,−1,1)，

假设在线段PB上存在点E，使得二面角P−AC−E的余弦值为223，

设PE=λPB(0≤λ≤1)，则PE=(λ,0,−λ)，∴AE=AP+PE=(λ−1,−1,1−λ)，

设平面ACE的一个法向量n=(x,y,z)，

则AE⋅n=(λ−1)x−y+(1−λ)z=0AC⋅n=−x−y=0，令x=1，解得：y=−1，z=λλ−1，

∴平面ACE的一个法向量n=(1,−1,λλ−1)，16.解：(1)当a=1时，f(x)=x−lnx−1，定义域是(0,+∞)，

f′(x)=1−1x=x−1x，令f′(x)≥0，解得x≥1，

故f(x)的单调递增区间为[1,+∞)；

(2)g(x)=ax2+(2−a)x−lnx−1，其定义域为(0,+∞)，

∴g′(x)=2ax+2−a−1x=2ax2+(2−a)x−1x=(2x−1)(ax+1)x，

当a<0时，g′(x)=a(2x−1)(x+1a)x，

−2<a<0时，12<−1a，令g′(x)>0，解得12<x<−1a，

令g′(x)<0，解得x>−1a或x<12，

故g(x)在(0,12)递减，在(12,−1a)递增，在(−1a,+∞)递减，

a=−2，g′(x)≥0，g(x)在(0,+∞)递减，

a<−2时，12>−1a，令g′(x)>017.解：(1)各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且an2+2an=4Sn−1(n∈N∗)，

可得a12+2a1=4S1−1=4a1−1，解得a1=1，

当n≥2时，由an2+2an=4Sn−1，可得an−12+2an−1=4Sn−1−1，

相减可得an2−18.解：(1)不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元，组成等差数列，an=500−20n；在未扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元，则bn=500(1+12n)；

(2)依题设，An=(500−20)+(500−40)+…+(500−20n)=490n−10n2；

Bn=500[(1+12)+(1+122)+…+(1+12n)]−600=500n−5002n−100．

(3)Bn−An19.解：(1)对于数列{an}而言，若an=2n−1，则an+1−an=2n+1−(2n−1)=2>1，

所以数列{an}是“P数列”；

对于数列{bn}而言，若bn=2n−1，则b2−b1=2−1=1，则数列{bn}不是“P数列”；

(2)因为等差数列{an}是“P数列”，所以其公差d>1．

因为a1=2，所以Sn=2n+n(n−1)2d，

由题意，得2n+n(n−1)2d<3n2+2n对任意的n∈N∗恒成立，

即(n−1)d<6n对任意的n∈N∗恒成立．

当n=1时，(n−1)d<6n恒成立，故d>1；

当n≥2时，(n−1)d<6n对任意的n∈N∗恒成立，即

d<6nn−1对任意的n∈N∗恒成立，

因为6nn−1=6+6n−1>6，所以d≤6．

所以d的取值范围是(1,6