2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，共40分。1.下列叙述中正确的是(

)A.已知向量a，b，且a//b，则a与b的方向相同或相反

B.若|a|=|b|，则a=b

C.若a//b，2.已知向量a=−1,1,b=2,x，若A.32 B.3 C.23.在▵ABC中，已知a=8,B=30∘,C=105∘，则A.323 B.43 C.44.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(

)A.a+2b B.2a+b 5.如图，已知AB=a，AC=b，BC=4BD，CA=3A.34b−13a B.56.若e1，e2是夹角为60∘的两个单位向量，且a=2eA.60∘ B.120∘ C.7.如图，正方形ABCD的边长为2,M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足BE=1，则DM⋅DN的最小值为(

)

A.8−42 B.4 C.16−88.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a−b=ccosB−cosA，则▵ABCA.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形二、多选题：本大题共3小题，共18分。9.已知向量a=2,1，b=−2,1A.a=b

B.与向量a共线的单位向量是255,55

C.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是(

)A.a=7，b=14，A=30°，有两解

B.a=30，b=25，A=150°，有一解

C.a=3，b=6，A=60°，无解

D.a=6，11.下列命题中，正确的是(

)A.在▵ABC中，若A>B，则sinA>sinB

B.在锐角▵ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.在▵ABC中，若acosA=bcosB，则▵ABC必是等腰直角三角形

三、填空题：本大题共3小题，共15分。12.已知空间向量a和b的夹角为π3，|a|=2，|b|=3，则a13.已知向量a，b的夹角为π3，且|a|=4,|b|=2，则向量a+2b在向量a上的投影向量为

14.已知在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2(a2+b2−c四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知向量a=−3,1，b=1,−2(1)若n与向量2a−b(2)若向量c=1,−1，且n与向量kb+16.已知向量a与b的夹角为θ=3π4，且a(1)求a⋅(2)求a与a+(3)若ka+2b与3a17.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+(1)求A；(2)若a=2，且▵ABC的面积为3，求b+c的值．18.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为30∘，60∘，45∘.且AB=BC=75米，则滕王阁高度OP=

19.在▵ABC中，CA=a，CB=b，若D是AB的中点AD=12AB，则CD=12a+12b；若D(1)如图①，若AD=λAB，用a，b表示(2)如图②，若CM=12MB，CN=NA，AM与BN交于O，过O点的直线l与CA，①利用(1)的结论，用a，b表示CO；②设CP=xCA，CQ=yCB(x>0,y>0)参考答案1.D

2.A

3.D

4.D

5.B

6.B

7.A

8.D

9.AC

10.BC

11.ABD

12.213.32a

或14.215.解：(1)∵向量a=−3,1，b=∴n=a∵n与向量2∴n解得k=−5(2)∵向量c=1,−1，∵n与向量k∴−3−k解得k=−116.解：(1)由题目条件知a⋅b=(2)cos(3)由于kaka3a而ka+2b与3a+4从而3k+28<0且3k+28≠−65⋅9将方程3k+28=−65⋅整理得到1442k−32=0这在k<−28从而k的取值范围是k<−2817.解：(1)由acosC+因为▵ABC中B=π−A+C所以sinA由于sinC≠0，所以3sin又0<A<π，故A=π(2)由题意可知S=12bc根据余弦定理可得a2即4=b+c2−3bc18.

19.解：(1)猜想：CD=证明：因为AD=λAB=1−λCA+λCB，因为CA(2)①若CM=12MB，CN=因为A、O、M三点共线，设AO=t则CO=因为B、O、N三点共线，设BO=μ则CO=因为a与b不共线，所