2024-2025学年广东省深圳市宝安第一外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市宝安第一外国语学校高一（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知z=1−i1+i，则z的实部是(

)A.−i B.i C.0 D.12.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(1,−2)，b=(−2,m)，a⊥b，则A.−1 B.4 C.1 D.−44.若向量a，b满足|a|=|b|=1，且a⋅(a−A.π6 B.π3 C.2π35.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为(

)A.203海里

B.403海里

C.206.△ABC中，若asinB=3bcosA，且a2+cA.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形7.已知a=(x,1)，b=(2,−2)，若向量a,b的夹角为钝角，则实数xA.(−∞,1) B.(−∞,1]

C.(−∞,−1)∪(−1,1) D.(−∞,−1)∪(−1,1]8.在△ABC中，∠BAC=2π3，∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，△ABD的面积是△ADC的面积的2倍，则tanB=(

)A.533 B.32 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法正确的是(

)A.已知a，b均为非零向量，若a//b，则存在唯一的实数λ，使得a=λb

B.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=−4a−b，CD=−5a−3b，则四边形ABCD为平行四边形10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若A>B，则cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解

C.若cosAcosBcosC>0，则△ABC为锐角三角形

D.若a−c⋅cosB=a⋅11.已知复数z1，z2，下列结论正确的有(

)A.若z1−z2>0，则z1>z2

B.若z12=z22，则|z1|=|z三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=−2+ii，则z的共轭复数z−=13.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，点F在CD边上，且AE=12ED，DF=λFC，AF与BE相交于点G，若AF=10314.克罗狄斯⋅托勒密(约90−168年)是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理.定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=2CD，∠ADC=2π3，则BD的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=a+2i，z2=b+i(a,b∈R,i为虚数单位)．

(1)若b=2，z1⋅z2是纯虚数，求|z116.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，点F，G分别是AB，DC的四等分点(AF=14AB,CG=14CD).设AB=a，AD=b．

(1)用a，b表示FE，FG；

(2)若|17.(本小题15分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cosC(acosB+bcosA)=c．

(1)求cosC的值；

(2)若c=22，△ABC的面积为2，求18.(本小题17分)

如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，∠DAB=90°．

(1)若AD=AB=2,∠ABE=150°,∠C=30°，求AE；

(2)若AD=AB=2，∠C=45°19.(本小题17分)

对任意两个非零向量m,n，定义新运算：m⊕n=|m|sin〈m,n〉|n|．

(1)若向量a=(3,4),b=(2,0)，求a⊕b的值；

(2)若非零向量a,b满足|a|=2|参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.C

9.AD

10.ACD

11.BCD

12.−1−2i

13.1214.215.解：(1)b=2时，复数z1=a+2i，z2=2+i，

所以z1⋅z2=(a+2i)(2+i)=(2a−2)+(4+a)i，

令2a−2=04+a≠0，解得a=1，所以z1=1+2i，

所以z1−z2=(1−2)+(2−1)i=−1+i，

所以|z116.解：(1)因为点E是AD的中点，AF=14AB，

所以FE=AE−AF=12AD−14AB=12b−14a，

因为平行四边形ABCD中，G是DC的四等分点，且CG=14CD，

所以FG=FA+AD+17.解：(1)已知3cosC(acosB+bcosA)=c，

代入正弦定理得3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

即3cosCsin(A+B)=sinC，又sin(A+B)=sinC>0，则cosC=13．

(2)由于cosC=13，则sinC=1−cos2C=223，

△ABC的面积为2，则12ab⋅sinC=2，所以ab=318.解：(1)连接BD.在△ABD中，AD=AB=2,∠DAB=90°，

∴BD=2+2=2，∠ABD=45°．

∵∠ABE=150°，∴∠CBD=105°，∠BDC=180°−∠C−∠CBD=45°．

在△BCD中，BCsin∠BDC=BDsin∠C，∴BCsin45∘=2sin30∘，

∴BC=4sin45°=22，∵E为线段BC的中点，∴BE=2．

在△ABE中，AE=AB2+BE2−2AB⋅BEcos∠ABE=4+23=3+1．

(2)设∠DBC=θ∈(0,3π19.解：(1)由新定义知，a=(3,4),b=(2,0)，a⋅b=3×2+4×0=6