2024-2025学年陕西省西安市灞桥区宇航中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市灞桥区宇航中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB=DC是四边形ABCDA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.下面给出的关系式中正确的个数是(

)

①0⋅a=0

②a⋅b=b⋅aA.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是(

)A.a⋅b=0⇒a//b

B.a//b⇒a在b上的投影向量为−|4.已知a=(5,−2)，b=(−4,−3)，c=(x,y)，若a−2bA.(1,83) B.(133,5.若△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是(

)A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形6.已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b的方向相反，则实数A.1 B.−12 C.1或−12 7.在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，若BE=λAB+μAC，则A.1 B.34 C.−348.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.不确定二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3),b=(−2,1),cA.(a+2b)/​/c B.(a10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为32，且b=2，c=3，则角A的值可能是A.30 B.60° C.150° D.120°11.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则(

)A.GA+GB+2GC=0 B.AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(6,−8)，则与a平行的单位向量是______．13.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b14.△ABC是钝角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=1，b=2，则最大边c的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=e1−2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)

求：16.(本小题15分)

如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=2a．

(1)求点B与点C的坐标；

(2)求向量17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

(1)求角A；

(2)若18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=8．

(1)若sinC=47，求角A的大小；

(2)若b=5，求AC19.(本小题17分)

已知村庄B在村庄A的东偏北45°方向，且村庄A，B之间的距离是4(3−1)千米，村庄C在村庄A的北偏西75°方向，且村庄C在村庄B的正西方向，现要在村庄B的北偏东30°方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的3倍.

(1)求村庄B、C之间的距离；

(2)求农贸市场D到村庄B，

参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.AD

10.BD

11.BCD

12.(35,−13.(−6514.(15.解：(Ⅰ)∵向量a=e1−2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)，

∴a=(1,−2)，b=(1,1)，∴a⋅b16.解：(1)过B作BD⊥x轴，垂足为D，过B作BE⊥y轴，垂足为E，过C作CF⊥BE，垂足为F，

如图所示，由题可得∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°，

|AD|=12a，|BD|=32a，|BF|=a，|CF|=3a，

|BE|=2a+12a=52a，|EF|=52a−a=32a，

则B(5a2,3a2)，C(3a2,33a2)．

(2)由(1)知BC=(−a,3a)．

设向量BC和OA的夹角为α，e是与OA方向相同的单位向量，

则BCcosαe=BCBC⋅OA18.解：(1)由正弦定理，asinA=csinC，即sinA=asinCc=7×478=12，

因a<c，故A<C，即A是锐角，故A=π6；

(2)

如图，由余弦定理，cosC=a2+b2−c22ab19.解：(1)由已知可得AB=43−4，∠BAC=120°，∠CBA=45°，∠BCA=15°，

在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，

∴B