2024-2025学年重庆市荣昌中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市荣昌中学高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列导数运算正确的是(

)A.(2x2+3)′=4x+3 B.(cosπ32.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(

)A.(0,2) B.(−2,0)∪(0,2)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)3.已知等比数列{an}的公比为q，前n(n∈N∗)项和为SnA.q=2 B.q=12 C.q=−2 4.已知y=x−1与曲线y=ln(x−a)相切，则a的值为(

)A.−1 B.0 C.1 D.25.若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C：x2m2+yA.2 B.263 C.26.若函数f(x)=x+(x2−ax)lnx的极值点是1，则f′(2)=A.4ln2+1 B.2ln2+1 C.2ln2 D.17.已知A(0,4)，双曲线x24−y25=1的左、右焦点分别为F1，FA.5 B.7 C.9 D.118.利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0,+∞)，下列说法正确的是(

)A.f(x)有且只有一个极大值点

B.f(x)在(0,1e)上单调递增

C.存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=−x3+3x+1，则A.f(x)有三个零点 B.f(x)有两个极值点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线10.若直线y=kx−2与曲线y=−x2+6x−5恰有一个交点，则A.0 B.25 C.2 D.11.已知函数f(x)=alnx−ax+1(a∈R),g(x)=f(x)+32x2A.当a=1时，f(x)≤0在定义域上恒成立

B.若经过原点的直线与f(x)的图象相切于点(3,f(3))，则a=1ln3−1

C.若g(x)在区间[32,4]上单调递减，则a的取值范围为[16,+∞)

D.若g(x)有两个极值点x1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ex−12x2−ax是13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱DD14.已知函数f(x)=|x2−4x−1|⋅x,x>0ex−1,x≤0，若方程f(x)=ax四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知各项均为正数的等差数列{an}的首项a1=1，a2，a4，a6+2成等比数列；

(1)求数列{an}的通项公式；16.(本小题15分)

已知函数f(x)=1+alnx−x(a∈R)．

(1)当a=2时，求f(x)的极值；

(2)讨论f(x)的单调性．17.(本小题15分)

如图，点C在以AB为直径的半圆的圆周上，∠ABC=60°，且BP⊥平面ABC，AB=2BP=4，CD=λCP(0<λ<1)

(1)求证：AC⊥BD；

(2)当λ为何值时，平面ACP与平面ABD夹角的余弦值为18.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)求证：当0<x≤1时，2f(x)≥x2−1；

(3)若ℎ(x)=x2−2t|1+f(x)19.(本小题17分)

已知f(x)是定义在Ⅰ上的函数，若对任意x∈I，f(x)≥0恒成立，则称f(x)为Ⅰ上的非负函数．

(1)判断f(x)=x−elnx是否为(0,+∞)上的非负函数，并说明理由．

(2)已知n为正整数，g(x)=nx−alnx(a>0)为(0,+∞)上的非负函数，记a的最大值为an，证明：{an}为等差数列．

(3)已知n≥2且n∈N∗，函数ℎ(x)=nxx参考答案1.C

2.D

3.A

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.ABC

10.BD

11.ACD

12.(−∞,1]

13.414.(0,1)∪(1,5)

15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0)，

∵a2，a4，a6+2成等比数列，

∴a42=a2(a6+2)，即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+5d+2)，

整理得：2d2−d−a1=0，

又∵a1=1，∴2d2−d−1=016.解：(1)当a=2时，f(x)=1+2lnx−x，x∈(0,+∞)，

则f′(x)=2x−1=2−xx，

令f′(x)>0，则0<x<2，∴f(x)在(0,2)上单调递增，

令f′(x)<0，则x>2，∴f(x)在(2,+∞)上单调递减，

故当x=2时，f(x)有极大值为f(2)=2ln2−1，无极小值；

(2)f′(x)=ax−1=a−xx，

当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)=0，则x=a，

则当x∈(0,a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

17.解：(1)证明：由BP⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，则BP⊥AC，

又点C在以AB为直径的半圆的圆周上，则BC⊥AC，

由BP∩BC=B且都在面PBC内，则AC⊥面PBC，

由BD⊂面PBC，故AC⊥BD；

(2)若O为AB的中点，即为半圆的圆心，作Oz⊥面ABC，在面ABC内作Ox⊥AB，

由∠ABC=60°，AB=2BP=4，则BC=2,AC=3，

故可构建如下图示的空间直角坐标系O−xyz，

则A(0,−2,0),B(0,2,0),C(3,1,0),P(0,2,2)，

由CD=λCP(0<λ<1)，故CD=(−3λ,λ,2λ)，可得D(3−3λ,λ+1,2λ)，

所以AD=(3−3λ,λ+3,2λ)，AB=(0,4,0)，AC=(3,3,0)，

若m=(x,y,z)，n=(a,b,c)分别为平面ACD、平面ABD的一个法向量，

则m⊥ADm⊥AC，则m⋅AD18.解：(1)f′(x)=lnx+1(x>0)，令f′(x)=0，得x=e−1，

当0<x<e−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>e−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的极小值为f(e−1)=−e−1，无极大值；

(2)证明：原不等式等价于：0<x≤1，2xlnx≥x2−1，

即0<x≤1，2xlnx−x2+1≥0，

令g(x)=2xlnx−x2+1，(0<x≤1)，下证：g(x)≥0，

则g′(x)=2lnx+2−2x，令φx=g′(x)=2lnx+2−2x，

φ′(x)=2x−2=2(1−x)x≥0，当且仅当x=1时等号成立，

所以g′(x)在0,1上单调递增，g′(x)≤g′(1)=0，当且仅当x=1时等号成立，

所以g(x)在0,1上单调递减，g(x)≥g(1)=0，即原不等式成立；

(3)等价于ℎ(x)=x2−2t|1+lnx|(0<t<1)的零点个数问题：

①当0<x<e−1时，ℎ(x)=x2+2t(1+lnx)，显然ℎ(x)在(0,e−1)上单调递增，

又ℎ(0)→−∞，ℎ(e−1)=e2>0，所以ℎ(x)在(0,e−1)上总有唯一的零点；

②当x>e−1时，ℎ(x)=x2−2t(1+lnx)，

则ℎ′(x)=x2−2t(1+lnx)=2x−2tx=2(x+t)(x−t)x，

(Ⅰ)若0<t≤e−2，则ℎ′(x)>0在(e−1,+∞)上恒成立，ℎ(x)在(e−1,+∞)上单调递增，

ℎ(x)>ℎ(e−1)=e−2>0，ℎ(x)在(e−1,+∞)上无零点；19.解：f(x)是定义在Ⅰ上的函数，若对任意x∈I，f(x)≥0恒成立，则称f(x)为Ⅰ上的非负函数．

(1)f(x)是(0,+∞)上的非负函数，理由如下：

因为f(x)=x−elnx，x>0，所以f′(x)=1−ex=x−ex．

当x∈(0,e)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(e,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

则f(x)≥f(e)=0，故f(x)是(0,+∞)上的非负函数．

(2)由g(x)=nx−alnx(a>0)，x>0，得g′(x)=n−ax=nx−ax．

当x∈(0,an)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(an,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

则g(x)≥g(an)=a−alnan．

因为g(x)为(0,+∞)上的非负函数，所以a−alnan≥0