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文档简介

2025/4/101一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章

2025/4/102定理1.

若f(x),g(x)在点

x0处连续,则(1)af(x)+bg(x)在x0处连续,其中a,b为常数.

(2)f(x)·g(x)在

x0连续.(3)当g(x0)0时,一、连续函数的运算法则在其定义域内连续(利用极限的四则运算法则证明)例如,2025/4/103例如,在上连续单调递增，其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.定理2.

若y=f(x)在区间I上严格单调增加(减少)且(证明略)则其反函数x=f–1(y)在相应区间上严格单调连续,增加(减少)且连续.又如,在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.2025/4/104定理4.连续函数的复合函数是连续的.注：连续函数的本质是极限符号与函数符号可交换。即定理3.设函数的极限存在,即

在连续,则复合函数在极限存在,且二复合函数的连续性2025/4/105例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,2025/4/106例1.计算下列极限注意:如果内外层均是连续的,则复合函数极限直接带值即可.2025/4/107例4.求下列函数的极限2025/4/108注意:幂指函数求极限的方法(1)若则(2)若则方法一:利用重要极限II方法二:利用指数函数的连续性2025/4/109例5计算极限2025/4/1010定理5.(1)基本初等函数在其定义域内连续.(2)初等函数在其定义区间内连续.三、初等函数的连续性例如：的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为例7.包含在定义域内的区间2025/4/1011初等函数连续性的应用：（1）初等函数的定义区间就是连续区间。（2）初等函数在定义区间内求极限就是带值法。（3）初等函数只需从无定义的点找间断点。例8求函数的连续区间，间断点，并判断类型。2025/4/1012

内容小结基本初等函数在定义域内连续。连续函数的四则运算的结果连续。连续函数的反函数连续。连续函数的复合函数连续。初等函数在定义区间内连续。说明:

分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.2025/4/1013思考与练习续?反

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