电势及其梯度课件

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电势及其梯度

4.1静电场力所做的功与路径无关

证明的出发点：库仑定律场强叠加原理

证明过程：

(1)单个点电荷产生的电场有心力场：就是在空间存在一个中心

点电荷产生的库仑场是有心力场。*把试探电荷q0从P移到Q

力对试探电荷所作的功与路径无关．只和试探电荷的起点、终点位置有关，此外它还与试探电荷q0的大小成正比。

*(2)任何带电体系产生的电场

把试探电荷从P移至Q电场力所做的功

结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功，只与这试探电荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，与路径无关。*（3）任意有限大的带电体产生的电场

可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷——点电荷组结论：在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关*(4)静电场的环路定理

在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L从p——Q——P，电场力所做的功为

静电场的环路定理:静电场中场强沿任意闭合环路的线积分,即环量恒等于0。*讨论哪些力具有做功与路径无关这种性质？引力引入引力势能重力引入重力势能弹性力引入弹性势能静电力引入静电势能势函数*4.2电势与电势差可以与重力做功类比电场力做正功，电势能将减少电场力做负功，电势能将增加电势能的改变量q0在

P点的电势能q0在

Q点的电势能电势增量定义静电场与q0有能量交换电场力的功*电势的定义从中扣除q0,即引入电势P、Q两点之间的电势差定义为从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功单位正电荷的电势能差*空间某点的电势值为了确定某点的值，还需要选择零点一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为两点之间电势差可表为两点电势值之差单位：1V(伏特）＝1J/C*例题10（p35)一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000V，试求阴极发射出的电子到达阳极时的速度。设电子从阴极出发时初速为零。

解：电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极K出发到达阳极A.

静电场力是保守力，按能量守恒电子到达阳极时获得的动能*电子伏特电子伏特：能量单位带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得这么多能量（动能）——1eV*例题11(p36)

求单个点电荷q产生的电场中各点的电势。解：利用公式

因为电场力的功与路径无关，计算公式中的积分时,我们就选取一条便于计算的路径，即沿矢径的直线，于是有：*

例题12（p36)

求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布，设球壳带电总量为Q、半径为R.解：在例题6中得到的带电球壳场强分布为计算电势时，仍和点电荷的情形一样，沿着矢径积分方向沿矢径在球壳外(r＞R)，结果与点电荷情形一样,*在球壳内(r<R),积分要分两段：一段P到球壳表面(r＝R处)，在这段里E＝0：另一段由r＝R处到∞，只有这段对积分有贡献。于是：概括起来有：均匀带电球壳的电势分布如图*4.3电势叠加原理点电荷组有

连续带电体有*讨论电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。电势UP：P与无穷处电势差电势零点选取可以任意选取选择零点原则：场弱、变化不太剧烈

问题选无穷远为零点

？

选地为零点即地和无穷远等电势吗？*地与无穷远的电势差实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的若以无穷远为势能零点，则地球的电势为思考：点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？*求电势用电势定义求：用电势叠加原理求例题13(p37)：

求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。已知电偶极子中两电荷±q之间的距离为l。解：设场点P到±q的距离分别为r+和r-，则±q单独存在时P点的电势分别为根据电势叠加原理，有*

电偶极子的中点O到场点P的距离为r,按题意，r>>l于是有：得*例题（补充）：方法一：已知场强求电势

两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，带电总量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区内的电势分布**方法二：电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的电势的叠加

内壳单独存在外壳单独存在Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：

*小结：

求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易*

4.4等势面

等势面：电势相等的点所组成的面。点电荷的等势面*等势面的性质（1）等势面与电场线处处正交

证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元位移dl电场力所做的功\*等势面与电场线的分布等量异号点电荷等量同号点电荷*（2）等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小

证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差为一定的值，按这一规定画出等势面图，以点电荷为例，其电势为

因为相邻等势面电势差为一定值，所以有半径之差∝r2定值*标量场：任何空间坐标的标量函数电势U是标量，它在空间每点有一定的数值，所以电势是个标量场。梯度：指一个物理量的空间变化率,最大的方向微商.如:速度梯度温度梯度等沿

l的方向微商可以表示为4.5电势梯度

若取垂直方向，即场强方向

n，则沿该方向的方向微商为*结论：两等势面间U沿Δn方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大电势梯度

方向：沿电势变化最快的方向大小：

在三维空间电势梯度与场强的关系Δn很小，场强E变化不大

*E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反矢量微分算符

直角坐标系表示

在球坐标系中，场强的各个分量为：

*例题14(P41):利用例题13的结果求电偶极子的场强分布解：例题13的结果为

由于轴对称性，U与方位角φ无关。E的三个分量为*在偶极子的延长线上，θ=0或π，Eθ=0从而在偶极子的中垂面上,θ=π/2

,Er=0例题15(P42)

求均匀带电圆形细环轴线上的电势和场强分布。设环的半径为R，电荷的线密度为ηe。*解：（1）电势分布

轴上任一场点P到圆环上每一线段dl的距离为

按照电势叠加原理．整个圆环在P点产生的电势为各线元dl产生电势的标量叠加*（2）场强分布

轴线上场强的投影为

从对称性可以看出，场强矢量的方向就沿轴线，而它的大小，轴线以外的场强则有多个分量。*4.6电偶极层

电偶极层一厚度l均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷±σe。这样的带电体系为电偶极层.

按电势叠加原理，P点的电势为：

于是*因而定义电偶极层强度：——单位面积上的电偶极矩

对于均匀的电偶极层，是常量，*P点的电场强度