第一章 全等三角形（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第一章全等三角形（知识归纳+题型突破）了解全等三角形的概念和性质，能够准确的辨认全等三角形中的对应元素。掌握并应用“边角边”、“角角边”、“角边角”、“边边边”、“HL”五种方法证明全等。【知识点1】全等图形1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．2、全等图形的性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定相同．【知识点2】图形的全等变换1、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换．2、全等变换有平移、翻折、旋转，变换后得到的新图形与原图形全等．例如：如图所示，图①经过___平移___变换可以得到图②，图③是由图形①经过___旋转___变换得到，图④是由图①___翻折___变换得到的．【知识点3】全等三角形全等三角形定义能够___完全重合___的两个三角形．表示用__≌__表示，左图记作：___△ABC≌△DFE___读法读作：___△ABC全等于△DFE___对应顶点全等三角形___重合___的顶点，如左图，点A对应__点D__，点B对应__点F__，点C对应__点E__．对应边全等三角形___重合___的边，如左图，AB对应__DF__，BC对应__FE__，AC对应__DE__．对应角全等三角形___重合___的角，如左图，∠A对应__∠D__，∠B对应__∠F__，∠C对应__∠E__．【知识点4】全等三角形的性质全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．你还能想到哪些呢？周长和面积相等【知识点5】“SAS”判定方法两边及其___夹角___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法1：简写为___边角边___或___SAS___．书写格式（三步法）第一步：∵在△ABC和△DEF中第二步：第三步：∴△ABC≌___△DEF___（___SAS___）【知识点6】“ASA”判定方法两角及其___夹边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法2：简写为___角边角___或___ASA___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___ASA___）【知识点7】“AAS”判定方法___两角___且其中一组等角的___对边___相等的两个三角形全等．（由___ASA___得到的推论）判定三角形全等的方法3：简写为___角角边___或___AAS___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___AAS___）【知识点8】“SSS”判定方法___三边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法4：简写为___边边边___或___SSS___．书写格式（三步法）∵在△ABC和△DEF中∴△ABC≌___△DEF___（___SSS___）【知识点9】“HL”判定方法___斜边___与一条___直角边___分别相等的两个三角形全等．判定三角形全等的方法5：简写为___斜边直角边___或___HL___．书写格式（三步法）∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（___HL___）【知识点10】证明的书写步骤①准备条件：证全等时需要用的条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：A、写出在哪两个三角形中；B、摆出三个条件用大括号括起来，并在后面标注“已知”或“已证”；C、写出全等结论（字母一定要对应）题型一全等图形的识别【例1】1．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个巩固训练：1．下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．

B．

、C． D．

2．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（

）A．边长相等的图形 B．面积相等的图形C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形题型二全等三角形的概念【例3】下列说法正确的是（

）A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等C．全等三角形的面积一定相等 D．面积相等的两个三角形全等【例4】下列说法正确的是（

）A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形巩固训练：3．下列说法正确的是（

）A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等4．下列说法正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形题型三全等三角形的性质【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．76° B．62° C．42° D．76°、62°或42°都可以【例6】如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，则∠E的度数是（C）A．50° B．44° C．34° D．30°【例7】（1）已知△ABC≌△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，则DF等于______．（2）已知△ABC与△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，则DF等于______．【例8】一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，，，若这两个三角形全等，则的值是_____．巩固训练：5．如图，，其中，，，则的周长为．6．如图，，，则．

题型四“SAS”判定方法【例9】已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD=CF，BC∥EF且BC=EF，求证：△ABC≌△DEF．【例10】如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点D是BC边的中点，且DF∥AB，BE=DF．求证：△BED≌△DFC．【例11】已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=EC．求证：AC∥DF．【例12】如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且AC=DB，过点D作DE∥AC，并截取AB=DE，且点C、E在AB同侧，连接BE．求证：BC=EB．巩固训练：7．如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（

）

A． B． C． D．8．如图，与相交于点，且是的中点，则与全等的理由是．

9．如图，已知点，，，在一条直线上，，，．求证：题型五“ASA”判定方法【例13】已知：如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求证：△ABC≌△EAD．【例14】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BD=BE．【例15】如图所示，∠E=∠F，∠1=∠2，AE=AF，求证：△ACN≌△ABM．巩固训练：10、如图，已知AE=CF，DF∥BE，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．11．如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点、的距离，用合适的方法使，，因此测得的长就是的长，在这里判定，最恰当的理由是（

）

A． B． C． D．12．如图，点B是的中点，，，试说明：．题型六“AAS”判定方法【例16】如图，∠A=∠B，AC=BD，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O，求证：△AEC≌△BED．【例17】如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE．【例18】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为点D，E．求证：DE=AD+BE．题型七“SSS”判定方法【例19】如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF．求证：（1）∠D=∠B；（2）OE=OF．【例20】如图，已知点B，C，D，E在同一条直线上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求证：△ABD≌△FCE．【例21】人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明理由．巩固训练：13．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（

）

A． B． C． D．14．一个三角形的三边长为，，，另一个三角形的三边长为，，，如果由“”可以判定两个三角形全等，则的值为（）A． B． C． D．题型八“HL”判定方法【例22】如图，点C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求证：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度数．【例23】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）OA=OB．【例24】如图，AB=AC，AE=AF，AE⊥EC于E，AF⊥FB于F，求证：∠1=∠2．巩固训练：15．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等 B．斜边和一直角边分别对应相等C．两条直角边分别对应相等 D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等16．如图，，，要使得．若以“”为依据，需添加的条件是（）

A． B．C．D．17．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则．题型九全等三角形判定与性质综合【例25】如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB=BD B．∠E+∠D=90° C．AC=AE+CD D．∠EBD=60°【例26】如图，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB这四个关系中可以选择的是______．【例27】如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）A．BE=CE B．∠A=∠D C．EC=CF D．BE=CF【例28】如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为点E，F．且BF=CE．求证：∠B=∠C．【例29】如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O，BO=CO．求证：AO平分∠BAC．巩固训练：18．如图