第四章 实数（知识归纳+题型突破）（原卷版）-2023-2024学年学年八年级数学上学期单元精讲·速记·巧练（苏科版）

第四章实数（知识归纳+题型突破）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解算术平方根的非负性。了解无理数、实数的意义，掌握实数的分类以及实数与数轴的一一对应关系。一、二次根式1、平方根：如果，那么x叫做a的平方根．表示方式：正数a的两个平方根记作．2、算术平方根：正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫作a的算术平方根．3、立方根：一般地，如果，那么x叫做a的立方根．表示方式：数a的立方根记作．4、最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．5、同类二次根式：几个二次根式化简成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫作同类二次根式．二、算术平方根的非负性1、算术平方根的非负性：2、常用公式：、、三、实数1、无理数：无限不循环小数．2、无理数常见形式：①与π有关的式子，②无限不循环小数，③开方开不尽的数．3、实数与数轴上的点一一对应．题型一求一个数的平方根（算术平方根）【例1】的平方根是(

)A． B． C． D．【例2】的算术平方根为（

）A．4 B． C．2 D．【例3】如果，那么的算术平方根为（

）A．7 B． C．1 D．巩固训练1．9的平方根是（

）A．3 B．81 C． D．2．化简的结果是（

）A． B．4 C． D．23．8的平方根是（

）A．4 B． C． D．4．若实数，满足，则的值为（

）A． B．8 C．2 D．题型二已知（算术）平方根求这个数【例4】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数．【例5】已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值．【例6】已知的平方根是，2是的立方根．(1)求a，b的值．(2)求的立方根．巩固训练5．已知的算术平方根是3，，求的算术平方根．6．已知正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．题型三算术平方根的非负性【例7】若一个正数的两个不同平方根是和，则这个正数是．【例8】实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是．

巩固训练7．若与互为相反数，则．8．已知：，那么的值为．题型四立方根【例9】若一个数的立方根等于，则这个数等于（

）A． B． C． D．【例10】已知x没有平方根，且，则x的立方根为（

）A． B． C． D．巩固训练9．的立方根是．10．已知一个正数的平方根是和，则这个正数的立方根是．题型五利用平方根解方程【例11】计算求下列各式中的x(1)；(2)．【例12】求下列各式中的x值(1)(2)【例13】求解下列方程：(1)；(2)．巩固训练11．解方程(1)(2)12．求下列未知数x的值(1)(2)13．求满足下列各式的未知数(1)(2)．题型六无理数【例14】下列实数中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例15】下列5个数：、、、、中，无理数出现的频数是（

）A．2 B．3 C． D．【例16】下列四个实数中，属于无理数的是（

）A． B． C． D．巩固训练14．在实数，，，中，无理数是（

）A． B． C． D．15．在下列实数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．16．在实数3，，，，，0，，，3.14，，，（从1开始不断增大的每两个连续正整数间都有一个零）中，无理数有个．题型七实数与数轴【例17】如图，数轴上的无理数被挡住了，则的相反数是（

）

A． B． C． D．【例18】如图，一条长度为的线段绕着O点旋转一周，当与数轴重合时，A点表示的数为（）A． B． C． D．巩固训练17．如图，实数在数轴上表示的大致位置是（

）

A．点A B．点B C．点C D．点D18．如图，数轴上表示实数的点可能是（

）

A．点M B．点N C．点P D．点Q19．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，最有可能被墨迹（如图所示）盖住的无理数是．

20．如图，在中，，，点，在数轴上对应的数分别为，．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则与点对应的数是．

21．如图所示的数轴上，点是线段的中点，和两点对应的实数是和，则线段的长为．题型八实数大小比较【例19】下列四个实数1，，，中，最小的实数是（）A．1 B． C． D．【例20】、、、这四个数中最大的是（

）A． B． C． D．巩固训练22．在这4个数中，最小的是（

）A． B． C． D．23．比较大小：6．（填“”、“”或“”）24．比较大小：．（填“>”或“<”号）25．比较大小：5（填“”，“”或“”）题型九无理数的估算【例21】估算的值（

）A．在与之间 B．在与之间C．在与之间 D．在与之间【例22】估计的值应在（

）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【例23】与是两个连续整数，若，则，分别是（

）A．6，8 B．3，2 C．2，3 D．3，4【例24】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：(1)的整数部分是，小数部分是(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．巩固训练26．下列整数中，与最接近的是（

）A．2 B．3 C．4 D．527．不等式的正整数解的个数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个28．阅读下面的文字，解答后面的问题．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)的整数部分是______，小数部分是______；(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．题型十近似数【例25】下列说法正确的是（

）A．0.720有两个有效数字 B．3.61万精确到百分位C．5.078精确到千分位 D．3000有一个有效数字【例26】下列说法中，正确的是（

）A．近似数精确到十分位B．按科学记数法表示的数，其原数是C．将数保留个有效数字是D．用四舍五入法得到的近似数精确到千分位【例27】四舍五入法中的“新定义”阅读材料：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同．但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分与实际值的差值不超过最后一位数量级的二分之一，假如0～9等可能出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的．我们规定：对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为．例如：，，，…．解决问题：(1)________（为圆周率）；(2)若，则的取值范围是________．巩固训练29．用四舍五入法将3.1415926精确到百分位的近似值为.30．2022年北京冬季奥运会开幕式于2月4日晚在中