高等数学-空间解析几何

第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程第1页一、向量概念二、向量线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量线性运算五、向量模、方向角、投影§8.1向量及其运算第2页表示法:向量模:向量大小,一、向量概念向量:(又称矢量).现有大小,又有方向量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关向量.起点为原点向量.单位向量:模为1向量,零向量:模为0向量,有向线段

第3页要求:零向量与任何向量平行

;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

a∥b;与a

模相同,但方向相反向量称为a

负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线

.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面

.记作－a;第4页二、向量线性运算1.向量加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.第5页第6页2.向量减法三角不等式第7页3.向量与数乘法

是一个数,

与a

乘积是一个新向量,记作尤其:第8页结合律运算律:分配律所以第9页定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P坐标为x充分必要条件是

直线上点坐标平面上点坐标OQpMxyij点M向量

平面上点M坐标为（x，y）充分必要条件是

向量第10页证实:

假设存在唯一实数,使得由向量与数乘法定义可知与平行.与平行假设与同向，取若则与同向，与同向.从而而,故第11页下面证唯一性：假设存在两个实数与反向，取若则与反向，与同向.从而而,故使以上两式相减，得故第12页定理1.

设

a

为非零向量,则(

为唯一实数)a∥b．．OiPxx点P实数x轴上点P坐标为x充分必要条件是

直线上点坐标平面上点坐标OQpMxyij点M向量

平面上点M坐标为（x，y）充分必要条件是

向量第13页ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条相互垂直数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点O,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系基本概念Ⅰ第14页向径在直角坐标系下坐标轴上点P,Q,R;坐标面上点A,B,C点

M特殊点坐标:有序数组称有序数组为点M坐标,记为

M原点O(0,0,0);第15页坐标轴:坐标面:第16页2.向量坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则沿三个坐标轴方向分向量.坐标为此式称为向量

r

坐标分解式

,任意向量r可用向径OM表示.第17页四、利用坐标作向量线性运算设则平行向量对应坐标成百分比:第18页例2.求解以向量为未知元线性方程组解:

①②2×①－3×②,得代入②得第19页例3.

已知两点在AB直线上求一点M,使解:

设M

坐标为如图所表示及实数得即故第20页说明:

由得定比分点公式:点

M为AB

中点,于是得中点公式:第21页五、向量模、方向角、投影

1.向量模与两点间距离公式则有由勾股定理得因得两点间距离公式:对两点与第22页例4.

求证以证:即为等腰直角三角形.三角形是等腰直角三角形.为顶点第23页例5.

在z

轴上求与两点等距解:

设该点为解得故所求点为及思索:(1)怎样求在

xoy

面上与A,B

等距离之点轨迹方程?(2)怎样求在空间与A,B

等距离之点轨迹方程?离点.第24页提醒:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.

已知两点和解:求第25页2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称

=∠AOB(0≤

≤

)

为向量

夹角.

类似可定义向量与轴,

轴与轴夹角.与三坐标轴夹角

,

,

为其方向角.方向角余弦称为其方向余弦.

记作第26页方向余弦性质:第27页例7.

已知两点和模、方向余弦和方向角.解:计算向量第28页例8.

设点A

位于第一卦限,解:

已知角依次为求点A

坐标.则因点A

在第一卦限,故于是故点A

坐标为向径OA

与x

轴，y轴夹第29页3.向量投影概念空间一点在轴上投影第30页过点

作一平面与轴垂直，该平面与轴交于一点，则称为向量在

轴上分向量，设

则称数为在轴上投影，记作

或向量在轴上投影：