第5讲-离散方程的求解

第五讲离散方程求解屠基元教授清华大学墨尔本皇家理工大学第1页2控制方程向代数方程转化I均匀发烧无限大平板稳定导热问题。xyzABTA=100oCTB=400oCLq=500W/m3控制体体积

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2大平板区域有限体积离散第2页3控制方程向代数方程转化

II对于恒定传热系数和热流量，方程变为：引入线性近似梯度：将上述方程进行重新整理，得到代数方程：第3页4控制方程向代数方程转化III对于节点2和节点3，系数为

：对于节点1，系数为：对于节点4，系数为：控制体体积

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2第4页5控制方程向代数方程转化

IV控制体每一节点系数值代数方程矩阵形式：代入第5页6二维离散化I一维网格二维网格第6页7二维离散化

II因为代数方程式以上方程适合用于内部点:对于节点或点第7页8矩阵求解I

对于线性代数：

反演方法效率不高

高斯消元法并非最好方法

对于方程个数较多方程组，能够利用迭代法求解第8页9矩阵求解II

每个节点未知变量普通形式能够写成：重新排列上述方程，用雅可比喻法迭代：k+1

为新迭代级

对于高斯-赛德尔迭代方法k为上一步迭代级

收敛性判据第9页10迭代法

–雅可比喻法利用雅可比迭代方法求解方程组演示第10页11迭代方法–高斯-赛德尔方法利用高斯-赛德尔迭代方法求解方程组示例第11页12二维热传导–高斯-赛德尔方法利用高斯-赛德尔迭代方法求解方程组第12页差分方程求解将前面得到差分方程改写为，或者简单写成矩阵形式，其中，第13页差分方程求解第14页差分方程求解与方程（1）对比，知，由方程（1）系数阵[A]特殊性，通常称之为三对角方程（Tri-diagonalequation)三对角方程能够采取非常高效追赶法（TDMA法）求解基于矩阵分解属于必须掌握内容第15页差分方程求解TDMA法Fortran源程序第16页计算机实现：算例求解下面一维稳态导热问题：第17页计算机实现：算例求解区域离散化：内节点法：先划分控制容积，在确定节点均匀网格：

x=x将整个求解区域划分为（N-2）个控制容积，N个节点（包含2个边界节点）内部节点差分方程第18页计算机实现：算例其中，第19页计算机实现：算例注意：采取内节点法划分网格时，近边界节点与其它内部节点不尽相同，所以必须单独考虑。123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e当i＝2时(

x)w=½

x

w=W=1所以，当i＝2时第20页计算机实现：算例所以，当i＝2时，第21页计算机实现：算例当i＝3，4，…，N-2时，第22页计算机实现：算例一样，当i＝N-1时(

x)e=½

x

e=E=N所以，当i＝N-1时123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e第23页计算机实现：算例所以，当i＝N-1时，第24页计算机实现：算例最终得到由（N－2）个方程组成方程组为求解上面方程，即可得到（N－2）个未知数，即，T2,T3,T4,…….,TN-1。第25页计算机实现：算例注意：上面方程组是非线性，必须用迭代法求解求解方法：假定一个温度分布：Ti，i＝1，2，3，。。。，N计算

i，i＝1，2，3，。。。，N计算a,b,c,d用TDMA法求解方程组，得到新温度分布：Ti’计算：Max{abs(Ti-Ti’),i＝1,2,3,……,N}判断：abs(Ti-Ti’)是否小于（精度要求）假如不能满足精度要求，令Ti＝Ti’，重复上面计算满足精度要求：计算结束第26页计算机实现：算例希望大家用计算机完成上面计算，并与下面分析解结果比较：第27页尤其提醒计算机实现基础地位关键：掌握循环变量使用基础：对算法清楚透彻把握保障：细心细心再细心第28页29迎格调式I包含对流项和扩散项控制方程：网格雷诺数第2