2025年高考数学三轮复习之两个基本计数原理

第26页（共26页）2025年高考数学三轮复习之两个基本计数原理一．选择题（共8小题）1．（2025•扬州模拟）设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的不同排列的个数为（）A．24 B．16 C．8 D．22．（2024秋•渭南校级期末）四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（）A．64 B．81 C．24 D．123．（2024秋•定西期末）从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（）A．3种 B．4种 C．7种 D．12种4．（2025•河南一模）拓扑排序（TopologicalSorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclicGraph）．拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边（u，v），顶点u在序列中都出现在顶点v之前，每个顶点出现且只出现一次．如果图中含有环，则无法进行拓扑排序．在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程．这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成．例如，如果课程C是课程E的先修课，那么学生必须首先完成课程C才能选修课程E．如图展示了五门课程（A，B，C，D，E）及其之间的先修关系．箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成．如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置．根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（）A．（A，C，D，B，E） B．（A，B，C，D，E） C．（A，C，B，D，E） D．（A，B，D，C，E）5．（2024秋•河南期末）甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（）A．24 B．36 C．64 D．816．（2024秋•越秀区校级期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（）A．12 B．16 C．18 D．247．（2024秋•衡水期末）给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种8．（2024秋•汉中期末）一辆公交车上有12位乘客，沿途10个车站，则乘客下车的可能方式共有（）A．1012种 B．1210种 C．C1210种 D．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•鄄城县校级期末）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法 C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法（多选）10．（2024春•礼泉县期中）平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（）A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线有140个交点 C．这两组平行线可以构成280条射线 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形（多选）11．（2024春•宿迁期中）（多选）下列说法中正确的有（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果（多选）12．（2024春•武汉期末）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（）A．共有256种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种三．填空题（共4小题）13．（2025•泰州模拟）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是．14．（2025•海南州模拟）正整数19600的不同正因数的个数为．15．（2025•榆林三模）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味．现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有．（用数字作答）16．（2024秋•凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．11213140122233421322334315243444四．解答题（共4小题）17．（2024秋•于洪区校级期末）用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？（Ⅰ）奇数都排在一起；（Ⅱ）偶数不相邻；（Ⅲ）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．18．（2024秋•华池县校级期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项．19．（2024秋•庆阳期末）已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试．（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？20．（2024春•敖汉旗校级期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字．试问：（1）有多少个没有重复数字的排列？（2）能组成多少个没有重复数字的四位数？

2025年高考数学三轮复习之两个基本计数原理参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BBDCCDDA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDBCACD一．选择题（共8小题）1．（2025•扬州模拟）设a1，a2，a3，a4为1，2，3，4的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的不同排列的个数为（）A．24 B．16 C．8 D．2【考点】计数原理的应用；简单排列问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】B【分析】根据题意，按a1，a2，a3，a4的取值分8种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分8种情况讨论：①a1＝1，a2＝4，a3，a4为2或3，有2个不同的排列；②a1＝2，a2＝3，a3，a4为1或4，有2个不同的排列；③a1＝3，a2＝2，a3，a4为1或4，有2个不同的排列；④a1＝4，a2＝1，a3，a4为2或3，有2个不同的排列；⑤a1＝1，a2＝3，a3，a4为2或4，有2个不同的排列；⑥a1＝3，a2＝1，a3，a4为2或4，有2个不同的排列；⑦a1＝2，a2＝4，a3，a4为1或3，有2个不同的排列；⑧a1＝4，a2＝2，a3，a4为1或3，有2个不同的排列；共有8×2＝16个不同的排列．故选：B．【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意分析|a1﹣a2|+|a3﹣a4|＝4的可能情况，属于基础题．2．（2024秋•渭南校级期末）四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（）A．64 B．81 C．24 D．12【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【答案】B【分析】根据题意，易得四名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，每人有3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有3×3×3×3＝81种不同的报名方法；故选：B．【点评】本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报一项”．3．（2024秋•定西期末）从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（）A．3种 B．4种 C．7种 D．12种【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果．【解答】解：根据题意，从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，由分步计数原理，从甲地到丙地不同的走法有4×3＝12种．故选：D．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数原理的不同，属于基础题．4．（2025•河南一模）拓扑排序（TopologicalSorting）是图论中的一个概念，它适用于有向无环图（DAG，DirectedAcyclicGraph）．拓扑排序的结果是一个线性序列，该序列满足对于图中每一条有向边（u，v），顶点u在序列中都出现在顶点v之前，每个顶点出现且只出现一次．如果图中含有环，则无法进行拓扑排序．在一所大学的计算机科学系，学生们必须按照特定的顺序选修一系列专业课程．这些课程之间存在先修要求，意味着某些课程必须在其他课程之前完成．例如，如果课程C是课程E的先修课，那么学生必须首先完成课程C才能选修课程E．如图展示了五门课程（A，B，C，D，E）及其之间的先修关系．箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成．如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置．根据图形，下列代表了这五门课程的一个正确拓扑排序为（）A．（A，C，D，B，E） B．（A，B，C，D，E） C．（A，C，B，D，E） D．（A，B，D，C，E）【考点】计数原理的应用．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】C【分析】根据一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程，然后是它的后续课程，依次分析各课程特点即可得出结果．【解答】解：如图展示了五门课程（A，B，C，D，E）及其之间的先修关系．箭头表示了先修的要求方向，即箭头起点的课程必须在箭头终点的课程之前完成．如果没有直接的先修关系，两门课程可以互换位置．课程B和课程A没有先修关系，所以它们可以互换位置．根据图中的箭头指向，我们知道课程C依赖于课程A，课程D依赖于课程A和课程B，而课程E依赖于课程B和课程D．因此，一个有效的拓扑排序应该是先列出没有其他课程作为先修要求的课程（如A），然后是它的后续课程（如C），接着是它的后续课程（如B），再是它的后续课程（如D）最后是所有其他课程都作为其先修课程的课程（如E）．五门课程的一个正确拓扑排序为A，C，B，D，E．故选：C．【点评】本题考查计数原理相关知识，属于中档题．5．（2024秋•河南期末）甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（）A．24 B．36 C．64 D．81【考点】分步乘法计数原理．【专题】计算题；对应思想；分析法；排列组合；逻辑思维．【答案】C【分析】由分步乘法计数原理进行分析即可．【解答】解：甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是：43＝64．故选：C．【点评】本题考查学生对分步乘法计数原理的理解，运用．6．（2024秋•越秀区校级期末）甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】分步乘法计数原理．【专题】方程思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】先安排甲乙，然后安排其他人，再根据分步乘法计数原理求得正确答案．【解答】解：甲、乙等5人去听同时举行的4个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，甲乙两人听同一个讲座，方法数有C4其他人听不同的讲座，方法数有A3∴恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为4×6＝24种．故选：D．【点评】本题考查分步乘法计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（2024秋•衡水期末）给图中A，B，C，D，E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种【考点】染色问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】D【分析】根据题意，分别讨论区域BCD和区域AE的染色方案，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于区域BCD，三个区域两两相邻，有A43对于区域AE，若A与D选择相同，E有2种选法，若A与D选择不同，A有1种选法，E有1种选法，则区域AE有2+1×1＝3种选法，则有24×3＝72种选法，故选：D．【点评】本题考查排列组合的实际应用，涉及分步、分类计数原理，属于基础题．8．（2024秋•汉中期末）一辆公交车上有12位乘客，沿途10个车站，则乘客下车的可能方式共有（）A．1012种 B．1210种 C．C1210种 D．【考点】分步乘法计数原理．【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】A【分析】利用分步计数原理进行计算即可．【解答】解：每位乘客下站的可能有10种，共有10×10⋯×10×10＝1012．故选：A．【点评】本题主要考查简单的计算问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024秋•鄄城县校级期末）设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（）A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法 C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法【考点】分步乘法计数原理；分类加法计数原理．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】ABD【分析】根据题意，由分步计数原理依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若从东面上山，上山的路2条，下山的路有3+3+4＝10条，则有2×10＝20条，A正确；对于B，若从西面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，B正确；对于C，若从南面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4＝9条，则有3×9＝27条，C错误；对于D，若从北面上山，上山的路4条，下山的路有2+3+3＝8条，则有4×8＝32条，D正确；故选：ABD．【点评】本题考查分步、分类计数原理的应用，注意分类、分步计数原理的不同，属于基础题．（多选）10．（2024春•礼泉县期中）平面内有两组平行线，一组有10条，另一组有7条，且这两组平行线相交，则（）A．这两组平行线有70个交点 B．这两组平行线有140个交点 C．这两组平行线可以构成280条射线 D．这两组平行线可以构成945个平行四边形【考点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】ACD【分析】利用分步计数原理判断A、B，根据交点个数确定射线条件，即可判断C，利用组合数公式及分步计数原理判断D．【解答】解：对于A、B，这两组平行线相交有10×7＝70个交点，故A正确，B错误；对于C，一个交点可以引出4条射线，则可以构成4×70＝280条射线，故C正确；对于D，10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形，则可以构成C102C7故选：ACD．【点评】本题考查分步计数原理，属于中档题．（多选）11．（2024春•宿迁期中）（多选）下列说法中正确的有（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有43种报名方法 B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有34种报名方法 C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有43种可能结果 D．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有34种可能结果【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】BC【分析】利用计算原理，转化求解判断选项的正误即可．【解答】解：对于A、B，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每人都有3种选择，共有34种报名方法，所以A错误；B正确；对于C、D，4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），每个冠军有4种可能，共有43种可能结果，所以C正确，D错误．故选：BC．【点评】本题考查计数原理以及排列组合的简单应用，是中档题．（多选）12．（2024春•武汉期末）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个分别标有1，2，3，4号的盒子中，则下列结论正确的有（）A．共有256种放法 B．恰有一个盒子不放球，共有72种放法 C．恰有两个盒子不放球，共有84种放法 D．没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号都不相同的放法共有9种【考点】分步乘法计数原理；简单组合问题．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】ACD【分析】按照分步乘法计数原理判断A，B，先分组、再分配，即可判断C，先确定编号为1的球的放法，再确定与1号球所放盒子的编号相同的球的放法，按照分步乘法计数原理判断D．【解答】解：若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44＝256种放法，故A正确；恰有一个盒子不放球，先选一个盒子，再选一个盒子放两个球，则C41⋅恰有两个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将四个球分为3，1或2，2两种情况，故共C42⋅编号为1的球有3种放法，编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号或其他两个盒子，共有1+C21=3，即3×3＝故选：ACD．【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2025•泰州模拟）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是480．【考点】数字问题．【专题】排列组合．【答案】见试题解答内容【分析】先排2，4，5，6，形成了5个空，把1，3插入到其中两个空即可．【解答】解：先排2，4，5，6，形成了5个空，把1，3插入到其中两个空，故有A44A52＝480个，故答案为：480．【点评】本题考查了数字问题的中不相邻问题，采用插空是关键，属于基础题．14．（2025•海南州模拟）正整数19600的不同正因数的个数为45．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】45．【分析】由19600＝24×52×72，令t＝2x•5y•7z，结合乘法原理即可求解【解答】解：设t为正整数19600的正因数，19600＝24×52×72，可知t＝2x•5y•7z，其中x∈{0，1，2，3，4}，y∈{0，1，2}，z∈{0，1，2}，故t有5×3×3＝45种不同的可能，则正整数19600的不同正因数的个数为45．故答案为：45．【点评】本题考查计数原理的应用，是中档题．15．（2025•榆林三模）乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共39支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味．现有4名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有81．（用数字作答）【考点】分步乘法计数原理．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】81．【分析】利用分步乘法计数原理计算即可．【解答】解：4名国际友人，每人有三种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的观看方式有3×3×3×3＝81种．故答案为：81．【点评】本题主要考查了计数原理的应用，属于基础题．16．（2024秋•凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有24种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是112．11213140122233421322334315243444【考点】分步乘法计数原理；归纳推理．【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．【答案】24；112．【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可．【解答】解：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法，第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法，第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法，第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法，由分乘法原理可知共有4×3×2×1＝24种不同的选法；先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4，再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，所以选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15＝112．故答案为：24；112．【点评】本题考查分步乘法原理相关知识，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•于洪区校级期末）用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？（Ⅰ）奇数都排在一起；（Ⅱ）偶数不相邻；（Ⅲ）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．【考点】数字问题．【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（Ⅰ）576个；（Ⅱ）1440个；（Ⅲ）840个．【分析】（Ⅰ）利用捆绑法即可求解；（Ⅱ）利用插空法即可求解；（Ⅲ）先选3个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数．【解答】解：（Ⅰ）①先将4个奇数排好，有A4②将四个数字看成一个整体，与其他3个数字全排列，有A4则有A44（Ⅱ）①先将4个奇数排好，有A4②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有A5则有A44（Ⅲ）①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有C7②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有A4则有C73【点评】本题考查了捆绑法和插空法的应用，属于中档题．18．（2024秋•华池县校级期末）（1）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？（2）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项．【考点】数字问题．【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）600；（2）193．【分析】（1）根据题意，先排首位，再排其它位置，进而结合分步计数乘法原理得到答案；（2）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240135小，当首位数字为2时考虑比240135小的数字，进而根据排列数公式和分类加法计数原理得到答案．【解答】解：（1）由于是五位数，首位数字不能为0，首位数字有A5其它位置有A5所以用0，1，2，3，4，5可以组成5×120＝600个无重复数字的五位数．（2）由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A5首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3A所以从小到大排列，240135是第A55+3即所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，240135是数列的第193项．【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于中档题．19．（2024秋•庆阳期末）已知6件不同的产品中有2件次品，现对这6件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试．（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？（2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？【考点】计数原理的应用．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）48；（2）18．【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果；（2）分两种情况讨论：（i）测试2次找到所有次品；（ii）测试3次找到所有的正品．求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可．【解答】解：（1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第5次测试时，找到第二件次品，则第一、三、四次抽到的都是正品，由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为4×2×3×2×1＝48种；（2）至多测试3次就能找到所有次品，有两种情况：（i）测试2次找到所有次品，不同的测试情况种数为2×1＝2种，（ii）测试3次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到次品，则不同的测试情况种数为2×2×4＝16种，综上所述，不同的测试情况种数为2+16＝18种．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．20．（2024春•敖汉旗校级期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字．试问：（1）有多少个没有重复数字的排列？（2）能组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】数字问题．【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．【答案】（1）840；（2）720．【分析】（1）由排列的定义，结合排列数的运算求解；（2）由排列的定义，结合排列数的运算求解．【解答】解：（1）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，有A74=7×6×5×4（2）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，能组成A74-A63【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题．

考点卡片1．分类加法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．3．特点：（1）完成一件事的n类方案相互独立；（2）同一类方案中的各种方法相对独立．（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；4．注意：与分步乘法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法计数原理．实现步骤：（1）分类；（2）对每一类方法进行计数；（3）用分类加法计数原理求和；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A.30种B.35种C.42种D.48种分析：两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果．解答：可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C3②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C3∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C4故选A．点评：本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．本题也可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去不合题意的，可以这样解：C732．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21∴所求奇数的个数共有18×12＝216种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．3．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法点拨】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）4．数字问题【知识点的认识】﹣数字问题涉及数字的排列组合、数字的特性以及数位的安排．例如：求解由数字构成的不同整数的数量、分析某一数字在特定数位上的可能性、或求解满足特定条件的整数个数．﹣数字问题通常涉及到计数原理在数字排列中的应用，以及整数的分配与组合．【解题方法点拨】﹣首先分析题目中的数字特性，如数字的范围、允许的重复次数等．﹣使用排列数或组合数来计算数字的不同排列组合方式，必要时采用分类讨论的方式处理特殊情况．﹣在涉及限制条件（如某些数位必须满足特定要求）时，先处理限制条件，再进行组合计算．【命题方向】﹣典型的数字问题命题包括：计算由给定数字组成的不同整数的数量，或者确定某一数位上特定数字出现的频率．﹣可能涉及到数字排列的特殊情况，如求解满足某些数位条件的整数个数，或计算某些数字在排列中的特定组合数量．﹣在更复杂的问题中，可能需要结合多种计数方法，如递推公式或生成函数来处理数字的排列组合．5．染色问题【知识点的认识】﹣染色问题是指在一个物体或一组物体上应用不同颜色的组合问题．典型的染色问题包括着色多边形、涂色图形、或为物体表面染色．﹣该问题通常要求满足某些条件（如相邻元素不能相同颜色）来确定染色方案的总数．【解题方法点拨】﹣使用排列组合的基本思想来分析每个元素的染色选择数．对于每个元素，可能的颜色选择数是给定的，应用乘法原理计算总方案数．﹣如果存在限制条件（如相邻元素必须不同色），可以采用排除法或递推关系来处理．﹣在处理对称图形染色时，考虑图形的对称性，减少重复染色方案的计数．【命题方向】﹣染色问题常出现在图形染色、几何图形着色、多边形面染色等问题中，要求考生计算满足条件的染色总数．﹣可能涉及染色图形的对称性分析、染色方案的合理性判定，以及复杂图形的多色染色问题．6．简单排列问题【知识点的认识】﹣简单排列问题通常涉及无任何限制条件的排列情况．n个不同元素的全排列总数为An﹣该类问题通常是排列问题的基础，强调对基本排列公式的理解与应用．【解题方法点拨】﹣直接应用排列公式进行计算．对于全排列问题，计算阶乘即可得到排列数．﹣在计算过程中，注意排列数中的阶乘表示法，并理解排列的意义．﹣对于涉及排列的实际问题，可以通过具体化问题，将其转化为排列数计算．【命题方向】﹣基本排列问题的命题常见于简单元素排列的计算，如全排列数的求解、特定位置的排列数计算．﹣可能涉及对排列数公式的直接应用，以及对排列问题的基础性理解与操作．7．组合及组合数公式【知识点的认识】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cn2．组合数公式：Cnm=n(n-1)(n-2)(n3．组合数的性质：性质1C性质2Cn8．简单组合问题【知识点的认识】﹣简单组合问题涉及无任何特殊限制的组合情况．n个不同元素中选出r个元素的组合总数为Cn﹣这类问题是组合问题的基础，强调对基本组合公式的理解与应用．【解题方法点拨】﹣直接应用组合公式进行计算．在实际问题中，注意理解组合与排列的区别，组合不考虑顺序，而排列考虑顺序．﹣对于简单组合问题，可以通过列举法或公式直接求解．﹣在复杂组合问题中，分类讨论和递推公式可能是有效的解题工具．【命题方向】﹣常见命题包括基本组合问题的计算，如从一组元素中选出子集的总数，或计算特定组合情况的可能性．﹣命题可能涉及对组合数公式的直接应用，以及对组合问题的基础性理解与操作．9．归纳推理