2025届江苏省某中学高三模拟预测数学试题（含答案解析）

2025届江苏省射阳中学高三模拟预测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合W=[y]y=2x,xe[-1,1]｝,JV=|X|^=log2(l-x)j,则MP|N=()

A.0,2]B.[1,2]C.[-2,1)D.[-2,1]

2.已知复数z=M■的共轨复数为7,贝()

2+1

A.3B.4C.5D.6

3.在公差不为0的等差数列｛4｝中，若4+4=2?，则±的最小值为()

st

59-63

A.-B.—C.—D.一

3552

4.若非零向量心B满足同=2问，且向量3在向量3上的投影向量是-;a,则向量N与3的

夹角为()

712兀「5兀一

A.—B.—C.—D.兀

636

5.在复平面内，复数z=kina-2sinA)+(costz-2cosmi(i为虚数单位)与点Z(G,1)对

应，则cos(a-/)=()

A1n岳「1n7

8448

9

6.已知(1+x)2+(1+X)3H--F(1+X)9=〃0++%%2H----F(29%,则。2的值为()

A.60B.80C.84D.120

22

7.已知椭圆c：j+2=l,称点P(%,比)和直线/：笔+岑=1是椭圆C的一对极点和极

线，每一对极点与极线是一一对应关系当P在圆外时，其极线/是椭圆从点P所引两条切线

的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线

尸」x+4上的一个动点，过点尸向椭圆0工+仁=1引两条切线，切点分别为监N,直

线"N恒过定点T,当说=而时，直线的方程为()

A.x+2y-4=0B.x+2y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y-4=0

8.已知一几何体上半部分为圆台尸。，下半部分为圆锥S。，其中圆锥S。底面的半径为r,

试卷第1页，共4页

高为h.圆台尸。的两底面的半径分别为「和国，高为26该几何体内接于表面积为100兀

7

的球，则圆台尸。的体积为（）

A.（10+V21）7rB,2（10+V2T）nC.400+万）兀D,6（10+V21）7t

二、多选题

9.已知。>0,b〉0,满足。+26=4,则下列说法正确的是（）

[2]6

A.ab<2B.-+-<1C.a2+b2>—D.3a+9A>18

ab5

57r

10.把函数/（x）=6sin0x+cos0x（O<0<3）的图象向左平移F个单位长度，得到的函数

图象关于原点对称，则下列说法正确的是（）

A./（x）的最小正周期为兀

B./（无）的图象关于直线尤4对称

6

C.〃尤）在（-三少上单调递增

D.若“X）在区间[4,a）上存在极大值点和极小值点，则实数。的取值范围为亭+⑹

11.投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，

得〃分的概率为勺，下列说法正确的是（）

A.P,=—B.g=—

1222

C.当“23时，+D.当时，月=2-2*

三、填空题

12.从公比不为1的正项等比数列｛%｝的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概

率为.

13.已知y=/（x）-3x是定义域为R的偶函数，/（x）的导函数/'（x）满足/（1+力=。（1-力,

贝I]/，（2026）=.

14.如图，将边长为1的正五边形/BCDE的各边延长，得到一个正五角星.若点尸,。在正五

角星的内部（含边界），则力•福的最小值为.

试卷第2页，共4页

A.

四、解答题

15.已知V/BC的三边。也。所对的角分别为4B,C,5(asiM-/?sia8)=3csinC.

⑴求证：tarU=4tan5；

(2)若求tanC的取值范围.

16.在四棱锥P-48CD中，底面/BCD是等腰梯形，AD//BC,面P/CL底面

ABCD,PALAC,PA=BC=2AB=4,ZABC=60°.

P

(1)证明：ABLAP；

⑵求平面ACP与平面CDP夹角的余弦值.

17.若函数/(x)=Rnx/>0)与函数g(x)=l的图象在公共点处有相同的切线.

⑴当4=1时，求函数/(x)与g(x)在公共点处的切线方程；

⑵求。的最小值：

18.在平面直角坐标系xOy中，双曲线G§-/=i(a>o),离心率为半，点?是£上任

意一点.抛物线G：%2=2»,

试卷第3页，共4页

⑴求G的方程；

(2)过点尸作。的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于43两点，求证：平行四边

形以。8的面积为定值；

(3)PC,即是G的两条切线，G。是切点，求△尸CD面积的最小值.

19.在“五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分

初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得1分，

其概率为获得2分，其概率为(.最多进行20轮答题，某同学累计得分为20分时，比赛

结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军.

⑴当进行完3轮答题后，甲同学总分为y,求y的分布列及颐y)；

⑵若累计得分为机的概率为(初始得分为。分，4=1)

p

①求Pm-m-\的表达式(0<m<19,meN*).

②求获得亚军的概率.

试卷第4页，共4页

《2025届江苏省射阳中学高三模拟预测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CCDBCDADACDABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】由函数值域求出集合函数定义域求出集合N,由交集定义求得McN.

【详解】依题意，M={y|y=2x,xe[-l,l]}=[-2,2],

*.*1-x>0,x<1,

...N={x>=log20_x）}=（-8,1）,

所以MnN=-2,l）

故选：C.

2.C

【分析】利用复数的除法运算以及共辄复数的定义，再结合乘法运算即可求得结果.

3-4i_（3-4i）（2_i）_6-3i—8i+4i?_2-Hi_2_H.

【详解】2+i-（2+i）（2-i）一~22-i2-5一丁丁

所以-z=2]+^11i,

故选：C

3.D

【分析】依题意可得s+/=6,再由乘“1”法及基本不等式计算可得.

qt

【详解】=2%,...s+f=6,.,.二+;=1,显然sJeN*,

66

41（41V522ts15"―9_3_

/广匕+7限+/=^丁。/32仁―

2

当且仅当=2t=v即"2,s=4时取等号.

3s6t

故选：D.

4.B

答案第1页，共15页

【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.

a-b一1一

【详解】B在商上投影向量有F•d——U

144

由于伍3"[0,兀],

故选：B.

5.C

【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的

余弦公式计算即可.

sina-2sin/?=6sin2a_4sinasin/?+4sin2/?=3

【详解】

cos6Z-2cos/7=1cos2a-4cosacos"+4cos2y0=1

1-4(cosacos/?+sinasin,)+4=4,1一4cos（。一万）=0,

故选：C.

6.D

【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得。2=C；+C；+C；+…+C；,即可求解.

【详解】由题知。2=C；+C：+C；+…+C；=l+3+6+10+15+21+28+36=120,

故选：D.

7.A

【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积

为定值，得直线的方程.

【详解】设尸则的直线方程为，x0x।I"4!],

',~164―

整理得,%（）（x-2y）+16y-16=0

x-2y=0(x=2-、

解得,•­•「定点r(2,1)

16y-16=0[y=1

答案第2页，共15页

MT=TN，则T为肱V中点,kMN-kOT=--kMN=--

TW：7-1=-1(X-2),即x+2尸4=0.

故选：A.

8.D

【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后

求体积.

【详解】外接球半径尺，则4位?2=ioo兀,,及=5.

MR=MQ=MS=R=5,OQ=r,PR=^-r,PO=?.h,SO=h,,

设外接球球心M,^.^PMR,PR-+PM-=MR\BPr2+(PS-MS)2=MR2,

在RUMOQ,OQ2+OM2=MQ2,即RUMOQ,r2+(MS-OS)2=MQ2,

-疗+/=

1525ch=3

则‘(3〃-5)2+方/=25，"|r=V21

...%=；(21兀+9兀+3后71)*6=6(10+.)兀,

故选：D.

9.ACD

i21(\

【分析】选项A,据基本不等式可得；选项B,—+1=:("+26)一+1进而根据基本不等

ab4v\ab)

式可得；选项C,将。=4-26代入片+济得/+/=5,_：；+：,进而可得；选项D,

利用基本不等式3"+9"22行尹，进而根据指数的运算可得

【详解】ab=--a-2b<-\^^\=2,当且仅当“=26=2时取等号，故A确；

2212J

答案第3页，共15页

121u2b2aa}^1（c

—+5+——+——>—5+2

ab4ab4

4

当且仅当a=b=3时取等号，故B错误;

5〃—166+16=5,用16、16

a+/=（4-26）2+/=+一>一，

55

当6=]8,04时取等号，故C正确;

3"+炉=30+3?士炳

当且仅当。=26=2时取等号，故D正确，

故选：ACD

10.ABD

【分析】利用辅助角公式化简函数/（x）,由已知求出。即得解析式，再利用正弦函数的图

象性质逐项判断.

【详解】/（尤）=2sin（0x+£）,f（x+=2sin[®（x+（兀）+.]=2sin（t»x+得兀。+.）,

57r57rjr12

由/（x+一）关于原点对称，得一①+—=Tt+kjjkeZ,a）=2+一k,kGZ,

121265

兀

而0<G<3,则G=2,f（x）=2sin（2x+—）,

6

2兀

对于A,/（x）的最小正周期7=k=兀，A正确；

2

对于BC,由2x+巴=乌+左兀4eZ,得》=工+如水eZ,直线x=工是〃x）的图象一条对称

62626

轴，B正确，C错误；

TTTTTTTT

对于D,由-二4x<。，得0W2x+：<2a+：,而/（无）在[-二,。）上有极大值点又有极小

126612

值点，

兀32

则2。+—>—兀，解得“〉一兀，D正确

623

故选：ABD

11.ACD

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可得解.

【详解】对于A,第一次投掷出现反面，则6=g,A正确；

对于B,得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面，

答案第4页，共15页

1113

R=：XK=9,B错误；

2224

对于C,当“23时，得〃分的事件，可以在得”-1分后投掷出现反面，

也可以是在得"-2分后投掷出现正面，因此+_2,C正确；

对于D,由选项C知，当〃wN*时，P"+2=；A+I+；P,，则匕+2+^£+1=匕+|+；匕，

因此数列是常数列，只+|+；匕=鸟+；4=*+3；=1,即勺=2-

所以当〃210时，匕=2-2月+1，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两

互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

12.A

14

【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原

理，前8项中任取三项，共有C；=56种取法，结合古典概型可得答案.

【详解】从公比不为1的正项等比数列｛%｝的前8项中任取三项，共有C；=56种取法，

其中能构成等比数列的有%)，(。2，%，。4)，(%，。4，。5)，(%，。5，。6)，(%，&，%)，

(。6，07，"8)，(。3，05，%)，(“2，04，06)，(04，06，08)，(,。4，%)，(“2，05，08)，

12种取法，

193

假设任取三项并能构成等比数列为事件A,所以尸(4)=9==.

v75614

故答案为：弓3.

14

13.3

【分析】先根据y=/(x)-3x是偶函数得出/(x)的一个等式关系，再对其求导得到了'(X)的

一个等式关系，然后结合/'(I+x)=/'(I-无)推出了'(X)的周期，最后根据周期求出/，(2026)的

值.

【详解】因为用=/(劝-3无是定义域为R的偶函数,所以〃f)-3(r)=/(x)-3x,即

/(-x)+3x=/(%)-3%.

/(一外+3尤=/。)一3苫两边求导，可得：-f'(-x)+3=f'(x)-3,可得/(x)+/Vx)=6.

因为/'(l+x)=/'(l-x),所以/'(x)的图象关于直线x=l对称，则/'(x)=/'(2-x).

答案第5页，共15页

用-x代替x可得f\-x)=广(2+X).

将八一)=—)代入「(月+八年=6中,可得/'(x)+/'(2+x)=6①.

用x+2代替x可得/'(x+2)+/G+4)=6②.

由②-①可得：r(x+4)=/,(x).

所以/'(X)是周期为4的周期函数.

所以八2026)=八4x506+2)=八2).

在八x)+/'(-》)=6中，令x=2,可得八2)+八-2)=6.

又因为((无)的图象关于直线x=1对称，所以/'(2)=/'(0).

在/'(x)+/'(-x)=6中，令x=0,可得2/(0)=6,解得/'(0)=3,

所以/⑵=3,即尸(2026)=3.

故答案为：3.

14,-2-V5

【分析】按照P0所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得尸,。点分别

在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解.

【详解】要使万•而最小，它们夹角必定为钝角或平角，若尸，。在五角星内，

只要延长APAQ与边界相交于点P,Q,在保持AP,AQ夹角不变情形下，

IZP|>|ZP|,\AQ'\>\AQI,则赤•愆〈万•而，

所以P,。必定在五角星边界上先考察点尸位置，根据对称性，分两种情形：

1.点尸在边上：

①先考虑极端情形：若点p与右顶点y重合，

则而在后上投影向量的模最长且与静反向的就是加(即。与M重合)，所以此时

舒•而最小，

答案第6页，共15页

M.

②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点p在边上由y向。移动时，|万|变小,

且而在不上投影向量的模I）应I也变小为I通故万•而变大，不合题意;

2.点尸在ver厅的边。尸上：

①先考虑极端情形：若点尸与顶点歹重合，则此时|疝?|>|/但注意到而在万上投影

向量的模最长且反向的是前，

且根据相交弦定理知：|石用与7|>|方川万所以此时万.而〈善.前

②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点尸在边CF上由万向c移动时，।后।变小，而而

在万上投影向量方的模会变大，

过尸作N3的垂线7W,垂足为N,则尸,N",/四点共圆，

由相交弦定理知|万川万|=|万川京|<|力川益|=|方川而

答案第7页，共15页

所以此时方.屈〈万.万，

WF

如图：在顶角为36。的等腰三角形，设左'-=k,

3-…ABBC「Li、，aka,解得人=也二1,

^CD-BCMBC-BD^ka-a-ka

2

所以cos72。一二一1二1，

AC4

A

a-ka/^\kaV

BkaC

综上，当尸，。分别与顶点RM重合时,万•而取最小值

由于黄金分割比：—=1匚，二—=叵虫,

而NE=1,则=

EY2EY22

同理=旦，贝|/丫=®+1=2±^,

222

所以（后.而）=后.而=_[lx2±也一4五+5+3「46+8

\/min224~4

=-2-V5,

故答案为：-2-V?

【点睛】关键点点睛：按照P。所处的位置分类,结合向量数量积的几何意义及图形特征分

类求解.

15.（1）证明见解析

⑵55可

【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化,再用余弦定理得到54cos5=4。,最后结合和角

答案第8页，共15页

公式和同角三角函数关系式计算即可；

(2)有了A,3两角之间的正切关系，直接将C用A和3表示，转变成关于B的函数，借

助函数单调性求范围即可.

【详解】(1)由正弦定理得5(/-^)=3°2

322

222C+C

Da+c-b5上，5acosB=4c

2ac2ac5a

5sinAcosB=4sinC=4sin(/+8)=4sinAcosB+4cosAsinB

sinAcosB=4cosAsin5,/.tan4=4tanB.

tan4+tan85tan55

.、tanC=-tan(A+B}=-

(2)i)1-tanAtaaS1-4tan2B

4tan5------一

tan5

v—<B<—,<*.——<tan^<1，令tan5=%「.——</<l,

6433

tan。=----,y=At—,,.1

4z_lt由于>==——,在小上单调递增,

则原函数也是在此上单调递增.

A—<4t--<3,.\-<tanC<5枢，即tanC的取值范围为

3t3

16.(1)证明见解析

⑵也

19

【分析】(1)利用面面垂直的性质可得尸/,平面/BCD,再利用线面垂直的性质可得结论.

(2)以A为原点，以/5NC,/尸分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出平面CD尸的

一个法向量以及平面NCP的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可.

【详解】(1),•・平面P/C_L底面/8CA,

平面尸/CPI平面

PAu平面PAC,PA±AC,:.PA±平面ABCD,

又因为A8u平面ABCD,PA±AB.

(2)因为底面/BCD是等腰梯形，AD//BC,

AB=2,SC=4,ZABC=60°,

答案第9页，共15页

AC=^4+16-2x2x4x；=2五，

AB1+AC2=16=SC2,.'.BAIAC,

由（1）P/_L平面/BCD,

以A为原点，以尸分别为x,%z轴，建立如图所示的坐标系.

设平面CD尸的一个法向量用=（x,%z）,

n}-DC|x+V3j=0

"n}-CP1一2岛+4二=0,

令x=26可得«.=(273,-2,-^),

而平面/CP的一个法向量%=（1。0），

设平面ACP与平面CDP的夹角为e

2732历

cos6二

||^-719x1-19

17.(l)j=x-l.

（2）1

【分析】（1）设切点，求斜率，建立方程组求解即可;

（2）设切点，求斜率，建立方程组，包含尤。、人。三个未知数，消参，得到关于修、。的关

系式，再转化为函数关系式，通过研究函数单调性进而求值域即可.

【详解】（1）当2=1时，/（x）=lnx,

设（x。,%）为〃x）与g（x）的一个公共点,

答案第10页，共15页

因/'(x)=：,g'(x)=，

X。X。

故切点为（1,0）且左=1,

所以/'（X）与g（无）在公共点处的切线方程为＞=x-L

（2）设）（%,%）（%＞0）为/（何与8（与的一个公共点,

因，（x）=（'g'（x）=m

A，lnx^—1---,(J)

-aa..a

由②得％%=。＞0,即％=一,将其代入①中得，一lnxo=l---,

入0%0工0

1lnx+1

即一=3n一,

ax0

令〃（x）=S,则”3=匕型回=芈，

%XX

则当0＜x＜l时，〃（x）＞0，M尤）在区间（0,1）单调递增;

当x＞l时，”（尤）＜0,〃（》）在（1,+8）单调递减,

故:d（x）max=Ml）=l，又因。＞0,故/1，当且仅当/=1"=1时取"=”，

故。的最小值为1.

【点睛】关键点点睛：本题的主要考点为求曲线的切线方程，在本题中需要注意两点，其一,

切勿忽视函数的定义域，导致。的范围扩大；其二，多变量问题的处理可通过消参来降元，

与此同时，务必重视函数与方程的关系.

2

18.（1）^--/=1.

（2）证明见解析

小16盘

⑶丁

【分析】（1）由离心率即可求解；

答案第11页，共15页

（2）尸（无。，%）,求得48坐标，进而得到再结合面积公式求解即可;

（3）设尸（如比）,。（再，必），D（X2,y2）,通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦

长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解;

【详解】（1）解：设双曲线的焦半距为c,则c2=/+],

又因为离心率为型，所以二=型，

3a3

代入得（平a）2=/+i,解得°=百，

2

所以双曲线G的方程为:-V=i.

(2)

。5为渐近线>=-巨工，

3

直线/尸的方程为了-％=-?

V3

y=—X

3w1也也1)

联立方程‘解倚”-xo+Tyo)Txo+-yo,

百/7

)-%=一1

grp,,,卜+岛。|

所以CM=----1=——-

11百

同理可得*%-3即-后”,,卜0一岛o|

所以•=j——广―1

11V3

由于直线。4的斜率左=里，因此//Qx=30°,所以4405=2/40、=60°,

3

所以平行四边形"的面积为™.必由❷

丫2

因为点尸在双曲线。上，所以自-/=1,即/-3/=3,

所以平行四边形以。2的面积为".

2

答案第12页，共15页

（3）

因为函数的导数为_/=x,所以直线PC的方程为了-必=再（》-%），

由于尸（%，%）在直线PC上，则为-必=%（七一网）=%再一2%，为+%=%%,

同理％+%=%%，

所以。（如乂），D（X2,%）均满足方程为+y=XoX,

所以直线CD的方程为x（）x=y+%,

联立方程/，得f_2x0x+2%=0,

[x=2y

所以项+%=2玉），玉々=2%,

则CD=Jl+x；|xj—x2|=Jl+x；•-8%f

又因为尸到直线CD的距离d=Wj"J,

Jl+x；

所以公PCD面积T=—CD-d=—卜;—oI'J收;—&o=G；-?Po）2,

88

又因为只一2%=3火-2%+3=3（%一）2+>

3--3-

所以72（与当尸为（土Til时7取最小值3”

39（33）9

所以△尸CD面积最小值为竺业.

9

【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：

（1）从特殊入手，求出定值，再证