2025年高考数学二轮复习《平面解析几何》专项测试卷+答案解析

《平面解析几何》专项测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.“£1〉0”是“点(0,1)在圆久2+旷2-25一2旷+。+1=0外”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查充分、必要条件的判断方法，圆的方程，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题.

把圆方程化成标准形式，根据点(0,1)在圆/+y2__2y+a+1=0外的充要条件进行计算出。的范

围可解决此题.

【解答】

解：将刀2+必一2ax—2y+a+1=0化为标准方程，得(乂—a)2+(y—1)2=az-a.当点(0,1)

在圆d+产一2a久一2y+a+1=0外时，有。、彳，“八2、2解得a>1.

所以“a>0”是“点(0,1)”在圆/+y2—2a久—2y+a+l=0外”的必要不充分条件.

故选：B.

2

2.双曲线C:方-/=1(a>0)的上焦点&到双曲线一条渐近线的距离为会则双曲线两条渐近线的斜率之积

为()

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

首先根据题意得到一‘=1=［得a=2,从而得到两条渐近线斜率，即可得到答案.

Vl+a22

【解答】

解：由已知可得々(O,c),b-1,又a2+l=c2,

可设一条渐近线方程y=ax,

由点到直线的距离公式可得：=1=*

a—2,

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两条渐近线的斜率为口=2,七=-2,则的%=-4,

故选：A.

3.设。为坐标原点，直线x=2与抛物线。产=2「双「>0)交于。，E两点，若。DLOE,则抛物线。的焦

点坐标为()

A.(1,0)B.0)C.(1,0)D.(2,0)

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题.

根据直线x=2与抛物线交于。、£两点，确定。、E两点坐标，由。D1OE可得丽・丽=0,可确定。的

值，从而得到抛物线的焦点坐标.

【解答】

解：根据题意，不妨设。(2,26)，E(2,—2杼)，

因为。D1OE,可得丽•丽=0,所以4—4p=0,故p=l,

所以抛物线C：丫2=2刈所以抛物线的焦点坐标为弓,0).

故选B.

4.已知直线/：x-y+2=0,圆C：x2+y2=r2(r>0),若圆C上恰有三个点到直线/的距离都等于，I,

则r=

A.2B.4C.272D.8

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查圆的半径的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线距离公式的合理运用.

先求出圆心(0,0)到直线I的距离d=72,由圆上恰有三个点到直线I的距离都为，2得到圆心(0,0)到直线

/的距离d+，一2=r,由此能出r的值.

【解答】

解：圆心C(0,0),则点C到直线/的距离d=

又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为逅，

所以圆心到直线I的距离d+72=r,即r=，，+=242,

故选：C.

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5.已知两个不同的圆Ci，C2均过定点A(a,b),且圆Ci，C2均与x轴、了轴相切，则圆的与圆C2的半径之积为

()

ooQ2_L^2

A.\ab\B.2\ab\C.a2+b2D.---

【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查点与圆的关系，属于中档题.

讨论点力所在象限，根据题意可得丁江2.

【解答】

解：当点4在第一象限时，圆Ci，。2的方程为。一丁)2+(y—r)2=八(厂＞0)的形式，代入点4(q,b)的坐标,

可得关于尸的方程72-2(a+b)7+次+炉=0,圆Ci，。2的半径勺，上是该方程的两个不同实根，

所以厂172=十+/,

同理，当点4在第二、三、四象限时也可得厂1厂2=+接.

当点/在歹轴上时，。=0,此时圆C1，。2的圆心分别位于第一、二象限(或第三、四象限)，

两圆在4点处相切，且71=72=网，满足厂172=力2=+扶.

同理，当点Z在X轴上时，b=0,同样满足厂1丁2=*=/+房.

显然4点不可以是坐标原点，

综上4是除原点外任意一点时，满足丁1T2=小+房.

6.已知双曲线得—9=1上有不共线的三点/、B、C,且线段AB、BC、NC的中点分别为。、E、F,若直

线。D、OE、。口的斜率之和为—2,则J—F——I--T-——()

kABkBCkAC

A.2B.-4C.-73D.3

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查双曲线的中点弦问题、直线与双曲线的位置关系及其应用、过两点的斜率公式、中点坐标公式，

属于中档题.

设出点43、。的坐标，代入双曲线的方程，利用点差法结合中点坐标公式和过两点的斜率公式，可得

kAB

2k0D,同理可得J-=2/COE，；=2k°F，相加即可得到所求的值.

KBCKAC

【解答】

解:设点4(久1，乃)、8(X2,为)、DOo,y。)，

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贝卜1+久2=2x0,yi+y2=2y0.

由点/、8在双曲崎-9=1上，可唬―¥=1，条4=1，

两式相减可得鱼普®=d-吗"+⑸,

则1=?资=言BP^-=2k0D,

打一冷，y。KAB

同理可得^—=2k()E，T—=2k()F，

KBCKAC

111

•,,++~2"OD+k()E+k()F)=2x(-2)=-4.

故选：B.

7.P是椭圆C4+*l(a>6>°)上一点，％、吃是。的两个焦点，时尾=。;点0在2PF2的平分

线上，。为原点，OQIIPF],且|0Q|=b.则。的离心率为()

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查椭圆离心率的求法，属于较难题.

根据题意可得点0至此F1PF2两边的距离相等，不妨设P%<P?2,贝4PF2=b+2PFi，根据椭圆的定义和

勾股定理求解即可.

【解答】

解：因为际•嗝=0,

所以PFi1PF2,

因为点。在NF1PF2的平分线上，

所以点。至U/F1PF2两边的距离相等，

不妨设P%<PF2,

11

贝心PF2=b+^PFlt

联立PFi+PF2=2a,

可得PF1—a—b,PF2—a+b,

又PF/+「@2=/弁，

则(a—b)2+(a+b)2=(2c)2,

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化简可得+b2=2c2,

则》+a2-c2=2c2,

贝！I2a2=3c2,

艮吟=等

故C的离心率为苧.

8.如图，画在纸面上的抛物线产=8久过焦点厂的弦长为9,则沿x轴将纸面折成平面角为60°的二面角

后，空间中线段N3的长为()

D.<65

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，空间向量长度与夹角的坐标表示，属于较难题.

联立直线与抛物线方程得到根与系数关系式，结合焦半径公式可得4(4,4，1),8(1,-2/1),进而根据线面

垂直，以及二面角的定义得60。，根据锐角三角函数计算长度，可得4(4,-2，％2d石),8(1,-

272,0),利用两点距离公式即可求解.

【解答】

解：因为抛物线V=8x过焦点为R

所以尸(2,0),

设直线AB的方程为x=my+2(m>0),

BQ2,月)，

'x=my+2(m>0)

由

y2—8x

可得y2—8my-16=0,

则+丫2=8m,

则比1+久2=m(yi+乃)+4=8m2+4,

故|4B|=+久2+P=87n2+8=9,

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解得m=，，

4

故俨-272y-16=0,

即（y-4，I）（y+2"）=0，

解得Vi=4V_2,y2=—2A/~2>

故A（4,4，I）,B（1,-2，I），

如图，建立空间直角坐标系，过/作力N_L平面xOy于N,过N作NH_L无轴于，，连接

ZA

B

由于力Nix轴，且N”_Lx轴，ANCtAH=A,

故x轴J■平面ANH,

因为力Hu平面/人%，

故AH1x轴，则ZAHN=60。，

由于在直角坐标系中4（4,4，1）,3（1,-2，1），

故。"=4,AH=4，1，

因此在直角三角形/NH■中，

HN=^AH=2回,AN=苧4H=2<6,

因此在空间直角坐标系中，

4（4,-2<2,2<6）,8（1,-272,0）,

故|4B|=J（4-I）2+02+（2/6）2=<33>

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知直线4：ax—3y+1-0,l2：x-by+2-0,则（）

A.若匕_L%，贝勺—3

B.若力〃2，贝Uab=3

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C.若A与坐标轴围成的三角形面积为1,则。=±、

D.当bWO时，"不经过第一象限

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查两直线位置关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

由两直线平行、垂直与系数的关系列式判断力,B；先得出直线匕与坐标轴的交点，再计算三角形面积可得

a,判断C；分b=0和b丰0两种情况讨论可得结果.

【解答】

解：若k—2，当的斜率存在时，贝哈=一3；

当，2的斜率不存在时，则a=。，b=0，故N错误；

若A//G，当％的斜率存在时，1=贝！1就=3；

当％的斜率不存在时，则匕=0,",%不可能平行，不符合题意，故3正确；

直线匕：ax—3y+l=0与x轴，夕轴的交点分别为(一，0),

则匕与坐标轴围成的三角形面积为S=：|-1x〉l,解得a=±：,故C正确；

若直线％不经过第一象限，则当640时，!<0,解得6<0；

当b=0时，直线x--2,也不过第一象限；

综上可知：bWO时，G不经过第一象限，故。正确.

故选BCD

10.已知M为直线x-y+5=0上的一点，动点N与两个定点。(0,0),4(3,0)的距离之比为2,贝！|()

A.动点N的轨迹方程为(x-4)2+产=4B.\MN\22+苧

C.|MN|+]NO|的最小值为D.乙4ON的最大角为看

【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查与圆相关的轨迹问题，直线与圆的位置关系中的最值问题，属于一般题.

设N(x,y),运用两点间的距离公式，整理可得点N的轨迹方程，可判断/；由M点与圆上一点的距离的最

小值，可判断3；要求|MN|+：|NO|的最小值，即求点/到直线x—y+5=0的距离，即可判断C；易知

当直线ON与点N的轨迹所在圆相切时，上AON最大,可判断D

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【解答】

解:设N(x,y),由。(0,0),4(3,0),耨=2,

可得JN+y2=2d(x―3)2+y2,

两边平方整理可得/+V一8久+12=0,

即(X—4)2+y2=4,故/正确；

由题意点N的轨迹为圆，圆心C(4,0),半径为2,

又M为直线x—y+5=0上的一点，

所以|MN|之姓萼一2=殍—2,故5错误，

由题意|M4|=/|ON|,

所以|MN|+]NO|=\MN\+\NA\,易知点/在圆内，

所以要求|MN|+g|NO|的最小值，即求点/到直线x—y+5=0的距离,

所以|/0|+加。|的最小值为号包=4，之故C正确；

易知当直线ON与点N的轨迹所在圆相切时，乙AON最大,

此时sin乙40N=喘=U解得乙4ON=也

所以乙4ON的最大角为和故。正确；

故选力CD.

11.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线C：y2=4x,过点P(m,0)(m>0)作与x轴垂直的直线，与抛物

线。交于43两点，则下列说法正确的是()

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A.若|P*>\P0\,则m的取值范围是0<小<2

B.若△AB。为正三角形，则m=12

C.若抛物线C上存在两个不同的点E,F（异于4,B）,使得|PE|=|PF|=竿，则m>4

D.当叫瞿取得最大值时，m=1

【答案】BCD

【解析】【分析】

本题以命题的真假为载体考查了抛物线的应用，解题的关键是掌握抛物线的相关性质，同时考查了基本不

等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题.

利用两点间距离公式列出关于加的不等关系，求解即可判断选项/,设4（爪,2行）,8（矶-2V沆），利用等

边三角形的性质列出关于加的等式，求解即可判断选项瓦设E（t,2，7）,t>0且t大山,表示出|PE|=|PF|=

^\AB\,求出加和f的关系，利用，的范围，求出机的范围，即可判断选项C,利用加表示出厂费PL

再利用换元法和基本不等式求解取最大值时m的值，即可判断选项D

【解答】

解：对于/,^\PA\>\P0\,则|P*2>|po/，所以4m>源，解得0<小<4,故选项/错误；

对于8,若△AB。为正三角形，不妨设/在x轴的上方，贝1」月（犯2，元）,3（犯-2，而），

所以|。川=|0B|=|4B|,即机2+4租=16m,因为m>0,解得巾=12,故选项3正确；

对于C,不妨设E在x轴的上方，则设E（t,2，7），t>0且tKm,

因为|PE|=J（m-t）2+（0-2<t）2,\AB\=4，而，

由|PE|=|PF|=g,可得（m—t）2+4t=4m,则由（m—t）2=4（m—t）,

因为tH所以?n-t=4,贝!Jt=ni—4>0,所以zn>4,故选项。正确；

-p-r\%\AB\+\OP\_4V_m+m_44-/m_/m+16+8-/m_匚~（12+87^

河于|0周二吞2+47n-=d-m+4'

0

令％=12+贝！Jm+4=）2+4="一笔+的,

o64

所以+_J-64%__J064

切以\0A\-4%2_24X+4OO~%+竽一24

-J1+2718^24=

当且仅当％=即X=20,即12+8/元=20,故租=1时取等号，

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所以当嘴臀取得最大值时，爪=1,故选项。正确.

\UA\

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分。

12.已知直线2x-y+1=0的倾斜角为a,则tan2a的值是.

【答案】一号

【解析】【分析】

本题考查二倍角正切公式，直线的倾斜角,属于基础题.

根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得tana=2,再利用二倍角的正切公式即可得到结果.

【解答】

解：由直线2x-y+1=0的倾斜角为a,得直线的斜率为tana=2,

所以tan2a=哥^=当=4

故答案为-土

13.老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形/BCD,AB=8,BC=3（单位：m）,一边是以CD为直径的

半圆，另外一边是以为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点”到的距离是2小，要在庭院里种两棵

树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭院里相距最远的两点间距离是m.

【答案】2/7+4

【解析】【分析】

本题主要考查两点间距离公式，椭圆方程，属于中档题.

由题意问题转化为。C中点到半个椭圆上点的距离的最大值加4,以N5中点为原点，所在直线为x轴,

建立直角坐标系，设椭圆上一点坐标，利用两点间距离公式结合椭圆方程，由二次函数求最值即可.

【解答】

解：以48中点为原点，48所在直线为x轴，48中垂线为y轴建立直角坐标系,

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DC中点即为。1(0,3),椭圆方程为¥+4=i(yw0),

164

由题意，0到半圆上的距离均为4,故问题可看做。1到半个椭圆的距离的最大值加4即可，

设椭圆上一点为P(x,y),-2<y<0,

则|0P|=JN+3_3)2=J-3/一6y+25=J-3(y+l)2+28,

当y=-1时，—3(y+l)2+28取到最大值28,

即J—3y2-6y+25<728=2万

所以庭院里相距最远的两点间距离是(2，7+4)m.

故答案为：2/7+4.

14.已知曲线G:x|久|+y\y\=4,0为坐标原点.给出下列四个结论：

①曲线G关于直线y=无成轴对称图形；

②经过坐标原点。的直线/与曲线G有且仅有一个公共点；

③直线Lx+y=2与曲线G所围成的图形的面积为兀-2；

④设直线2：y=依+2,当ke(-1,0)时，直线/与曲线G恰有三个公共点.其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】【分析】

本题考查二元二次方程表示的曲线，属于较难题.

分x,y的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，由图可得①正确；当斜率为-1时结合渐近线可得

②错误；由四分之一圆面积减去三角形面积可得③正确；数形结合可得④正确.

【解答】

rx2+y2=4,x>0,y>0

x2—y2=4,x>0,y<0

解o：x|x|+y|y|,=40〈2'2/，

=4,x<0,y>0

x2—y2=4,x<0,y<0

因为当％<0,y<0时，一%2-y2=4无意义，无此曲线，故舍去；

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"x2+y2=4,x>0,y>0

所以曲线G表示为：,久2一y2=4,x>0,y<0,

y2—x2=4,x<0,y>0

作出曲线图象如下：

对于①，由图象可得曲线G关于直线y=x成轴对称图形，故①正确；

对于②，由于左上和右下部分双曲线的a=6,所以渐近线方程为y=-x,

所以当直线的斜率为-1时，过原点的直线与曲线无交点，故②错误；

对于③，设直线/与久,y交点分别为4B,

因为圆方程中半径为2,且点4(0,2),B(2,0),

所以直线与曲线围成的图形的面积为,x兀X22—白X2x2=?r—2,故③正确;

对于④，由于直线y=kx+2恒过(0,2),

当k=0时，直线与x平行，有一个交点；

当k=—1时，与渐近线平行，此时有两个交点，

当-l<k<0,结合斜率的范围可得有三个交点，如图:

故答案为：①③④.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

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已知定点「(-2,-1)和直线/：(1+3A)x+(1+2A)y-(2+54)=0(AGJ?).

(1)求证：直线/过某个定点，并求出该点的坐标；

(2)求证：不论2取何值，点尸到直线/的距离不大于

【答案】证明：(1)方程(l+34)x+(l+24)y-(2+54)=0,

可整理为0+y-2)+A(3x+2y-5)=0.

.(x+y-2=0(x=1

、(3x+2y—5=O^ly=1'

故x=1,y=1能使原方程左右两边相等恒成立，

所以直线/过定点，且该点的坐标为(1,1).

(2)由(1)知直线/过定点(1,1),

设该点为4,设P与直线/的距离为力

而线段NP为点P与直线/上一点的连接线段，

可知d<|4P|,而|4P|=79T4=713,

所以dW，言，即不论2取何值，点尸到直线/的距离不大于d

【解析】本题考查直线过定点问题，点到直线的距离，属于基础题.

(1)原方程整理为(X+y—2)+4(3支+2y—5)=。.令［+^~2=1「得定点，该点的坐标为(1,1).

(5%~rLy_3=U

(2)由(1)知直线/过定点4(1,1),设尸与直线/的距离为力而线段/尸为点P与直线/上一点的连接线段，

可知dW|AP|,而|AP|=AH?,所以结论成立.

16.(本小题15分)

已知圆〃经过函数y=/-6久+5的图象与坐标轴的3个交点.

(1)求圆"的标准方程；

(2)若点尸为圆N：/+⑶—2尸=1上一动点，点。为圆M上一动点，点4在直线y=—2上运动，求|AP|+

MQI的最小值，并求此时点/的横坐标.

【答案】解：(1)因为函数丫=/一6久+5的图象与坐标轴的3个交点分别为8(0,5),C(l,0),5(5,0),

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所以可设M(3,b),

由|MB|=\MC\,得J9+(6-5尸=VTTP，

解得b=3,则|MC|=/13>

故圆M的标准方程为(x—3>+(y—3)2=13.

(2)设圆N关于直线y=-2对称的圆为圆E,则圆E的方程为了+(y+6)2=1.

设4(x,—2),则当/,E,M三点共线时，MP|+MQ|取得最小值，

且|4P|+MQ|的最小值为|ME|-1=V92+32-AA13-1=—Y4?-1，

此时，kME=kAE,即笠包=?6,

解得x/故点/的横坐标为，

【解析】本题考查点到圆上点的最值问题，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

(1)求出函数丫=久2一6刀+5的图象与坐标轴的3个交点分别为3(0,5),。(1,0),。(5,0),然后求解圆的圆心

与半径，然后推出圆的方程；

(2)求出圆N关于直线y=—2对称的圆E的方程.设2(无2),则当/,E,M三点共线时，|4P|+|4?|取

得最小值，利用斜率相等，求解/的横坐标即可.

17.(本小题15分)

已知/,8是双曲线1上的两点，点P(—1,2)是线段的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若线段48的垂直平分线与£相交于C,。两点，证明：A,B,C,。四点共圆.

【答案】(1)解：依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为匕力(巧/1)，8(尤2，乃)，

所以优一”=1，点一除=L

两式相减得，01+久2)(%1-%2)-吗=0,

又点P(-1,2)是线段A8的中点，

所以空=一1,吗”=2

所以k=丫1一丫2_2(%1+%2)

%1一%2—71+72

故直线45的方程为y-2=-1x(%+1),即y=-%+l,经检验，符合题意,

所以直线AB的方程为y=-x+l.

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2

r2_y-1

(2)证明：由X—2一,得久2+2.3=o,

y=-x+l

解得x=1或x=-3,

不妨令幺在3左侧，

所以4(-3,4),5(1,0)

线段的垂直平分线方程为：丫=%+3,

设C(久3，为)，O(x4,y4),

心一比=1,,

由，2得比一6x—11——0.

y—x+3

所以乂3+^4=6,%3%4=-1L

故线段CD的中点M(3,6),

所以|CD|=YTTTX,36+44=4百6，

\MA\=J(3+3/+(6-4尸=2AA10

\MB\=J(3—1)2+(6—0)2=2AA10

1

所以=\MB\=^\CD\,

所以/,B,C,。在以〃■为圆心，为半径的圆上，

所以N,B,C,。四点共圆.

【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及到中点问题，可用点差法，四点共圆问题，可先求出圆

心坐标，再考虑其他的点到圆心的距离是否为半径即可.属于中档题.

(1)利用点差法可求直线方程.

(2)算出CD的方程，联立直线方程和双曲线方程后可求线段CD的中点M和CD的长度，计算MB的

长度后可判断/，B,C,。四点共圆.

18.(本小题17分)

已知直线/与抛物线的:y=2x交于两点力(右,乃)，B(x2,y2)＞与抛物线。2：%=4%交于两点。(刀3，乃)，

D(x4,y4),其中N,C在第一象限，B,。在第四象限.

(1)若直线/过点M(l,0),且=苧,求直线/的方程；

\DIVI।1z

(2)(i)证明：-+-=-+

yiyiy3y4

(ii)设△AOB,△C。。的面积分别为Si，S2(。为坐标原点)，

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若|力。=2|啊，求今

【答案】解:(1)设直线/方程为％=my+1,4(久口为)，B(x2,y2),

(x=my+1

。=2久^/-2my-2=0,

_______i__________________________i_=C=工+工一

\AM\—7l+m2-y2Vl+m2-yi2yly22

yi4-V9y/~2/-：-;---72mrz-;---T«

12=———V1+m2,—=———V1+m2=>m=1,

y/22-22

・,・直线l的方程为％-y-1=0.

(2)解析一：(i)设直线/方程为第=my+t,t>0,

(x=my+t(x=my+t

2m

Iy2=2xy-2t=0;=4x-4nly-4t=o

.1+1_yi+y2_2m_m1+1_73+74_4m_m

-

••yi及_y/2_-2£_t"y3y4~y3y4~-4tC，

22

(ii)v\AC\=2\BD\,Vl+m(y3-y。=2V1+m(y2-y4)=为一Yi=2(y2一y。，

.1111一73-71_、2—丫4

由-----------------------------------小乃乃=2y2y4,

yi73ys,及月以y2y4

由乃力=-2t,y3y4=-4tn%=丁，为乃=2y2y4=>为乃=『以，

yiyi

•••五二芮=乃=五',4=一乃，且由丫3—=2(^2—、4)=五=3y”

,2t8

S1JIO1-二2)月+五%+2t寸+2t=7

-74)8^-10-

yi3

22

解析二：(2)(范)|ZC|二2\BD\=V1+m-(y3-yi)=2V1+m-(y2-y4),

且*+击=套+器

・•・y3-yi=2(y2-%)①，

乃乃=一23为%=-43；•卷=嫄=2（乃+乃）=乃+判，②

由①=yi+2y2=丫3+2y4③，②-③=yiy*

设yi=一y4=A,=2=丫3=-2y2④，将④代入①=丫2=-/丫3=

y/24乙

...£i=/lyifl=>]+।彳3A=2_

••S2—同仅一以1一|A+A-io.

【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，弦长公式，解题中需要一定的计算能力,

属于难题.

第16页，共19页

⑴设直线/方程为x=my+1,AQi，%)，B(x,y),所以广2二7

22=>俨_2my—2—0,然后利用弦

ly—LX

长公式计算即可.

X=772V+t(X——771V+t

_2=y2_2my-2t==4]=>y2-

(X

4my-4t=0,利用根与系数的关系计算即可.

3)：由①矢p=今于=yi>3=2y2y4可得号=3yi，代入计算3可得•

y，3y2y4yi

解析二：(2)(范)由题意可得=2(丫2-、4)①，2(yi+丫2)=、3+丫4②，yi+2y2=丫3+2%③，

②-③今71=—丁4，

设为=-%=九3=罂匚珥代入对应数值即可.

S2|t||y3-74l

19.(本小题17分)

设椭圆E4+真=l(a>b>0).已知点7(0,1),S6-5)在椭圆E上.

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)若过点4(2,1)的直线/与椭圆£交于2,C两点(8在C右侧)，且与线段ST交于点P.

⑴证明.也'=2.幽

(ii)当P为4C中点时，求直线力尸的方程.

【答案】解：(1)由于点T在椭圆上，可知b=l,

再将点S的坐标代入椭圆