2025年高考数学二轮复习专项训练：空间向量与空间角（学生版+解析）

2025二轮复习专项训练19

空间向量与空间角

［考情分析］高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常与

空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进行考

查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.题目难度为中档题.

【练前疑难讲解】

一、异面直线所成的角

(1)设直线/,"Z的方向向量分别为a=(ai,bl,Cl),5=(。2,i>2,C2),设/,"Z的夹角为仇

n，\a-b\____|402+人13+。心|

'C°S间向<届+房星+庆+琢

(2)异面直线所成的角的范围为(0,I.

二、直线与平面所成的角

(1)设直线/的方向向量为。=31,bl,Cl),平面1的法向量为"=(〃2,bl,C2),设直线/与

平面a的夹角为仇则sin6=|cos〈。，〃〉|=华科.

(2)线面角的范围为［0,2.

三、平面与平面的夹角

(1)设平面a,4的法向量分别为〃=(。3,bi,C3),V=(fl4,MC4),且平面a与平面P的夹

角为0,

贝Ucos6=|cos〈/，v>|=^|.

TT

(2)平面与平面的夹角的取值范围为［0,2.

一、单选题

7T

1.(2024・湖北武汉•模拟预测)已知菱形ABC£>,ZDAB=~,将4c沿对角线AC折

起，使以A3,CD四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线A3与CD所成角的余弦值

为()

A.-B.且C.-D.B

5244

2.(2024・河南•模拟预测)为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建

城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民

赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢(如图1).已

知和是圆。的两条互相垂直的直径，将平面A3C沿A3翻折至平面ABC,使得平

面ABC'_L平面ABD（如图2）此时直线AB与平面C'BD所成角的正弦值为（）

图1图2

A.-B.走C.—D.B

3322

二、多选题

3.（2023・广东深圳•二模）如图，在矩形AEFC中，AE=2岳,EF=4,B为EF中点,现分

别沿42、BC^AABE,ABC尸翻折，使点从下重合，记为点尸，翻折后得到三棱锥P-

ABC,贝!!（）

A.三棱锥尸-ABC的体积为逑B.直线B4与直线BC所成角的余弦值为近

36

C.直线朋与平面PBC所成角的正弦值为;D.三棱锥P-ABC外接球的半径为

A/22

2

4.（22-23高二上•山东德州•期中）如图，已知正方体42a的棱长为2,点瓦厂

分别为棱的中点，^G=2B^（O<2<1）,则（）

A.无论4取何值，三棱锥C-EFG的体积始终为1

B.若彳=乎，则历•西'=2+0

C.点2到平面石尸G的距离为姮

3

D.若异面直线所与AG所成的角的余弦值为电.则

2210

三、填空题

5.（2024・上海•高考真题）已知四棱柱A2CD-A4c2底面A3C。为平行四边形,

M=3-BD=4^,AB^BC-AD^DC=5,则异面直线A4与BD的夹角余弦值为.

6.（2024・全国•模拟预测）在棱长为2的正方体ABCD-44G2中，动点N分别在棱

BC,AB±.,且满足=当％.MNB,的体积最小时，4M与平面AMN所成角的正

弦值是.

四、解答题

7.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是平行四边形,

PA=PB,DA=DB=&，AB=2,PD=1,点E,尸分别为AB和尸3的中点.

⑵若PE=1,求直线与平面尸所成角的正弦值.

8.（2021・全国•高考真题）在四棱锥。-ABC。中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=s/5,QC=3.

Q

(1)证明：平面QA。_L平面ABCD；

(2)求二面角B-QO-A的平面角的余弦值.

【基础保分训练】

一、解答题

1.(23-24高三上•山东枣庄•期末)如图，直四棱柱A2CZ)-A4G，的底面为平行四边

形，加,"分别为4氏。。的中点.

(1)证明：DM〃平面ABN；

(2)若底面ABC。为矩形，AB=2AD=4,异面直线DM与4N所成角的余弦值为萼，求

用到平面ABN的距离.

2.(2024•天津•二模)如图，ZM_L平面ABC,ABJ.AC,AD//CE,AB=AC=CE=1,

AD=2,“为AD的中点.

⑴证明：EMLBD；

⑵求平面DBC与平面ABC夹角的余弦值；

⑶设N是棱3c上的点，若硒与C。所成角的余弦值为手，求3N的长.

3.（2024・安徽合肥•二模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形,

/BAD=60。,“是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD底面ABC。.

（1）求三棱锥M-ABC的体积;

⑵求?与平面尸8C所成角的正弦值.

4.（2024•天津河东•一模）在正方体ABC。-AAG2中（如图所示），边长为2,连接

A。、BD

（1）证明：AG，平面48D；

⑵求平面ACD｝与平面\BD夹角的余弦值；

⑶底面正方形ABC。的内切圆上是否存在点P使得PB与平面A3。所成角的正弦值为

显,若存在求尸，长度，若不存在说明理由.

3

5.（2024・天津・二模）如图，在直三棱柱A3C-4月£中，

AC1BGAC=BC=2,CQ=3,尸为与G的中点，点。，E分别在棱人4和棱CG上，且

AD=1,CE=2.

(1)求证：4尸〃平面3。£；

(2)求平面ACG4与平面夹角的余弦值;

⑶求点4到平面的距离.

6.（2024•江苏•一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，EC_L平面A5C。，DC1.BC,

AB//DC,DC=2AB=2,CB=CE,点P在棱8E上，且BF=gFE.

(1)证明：DE//平面A/C；

⑵当二面角P—AC—。为135。时，求CE.

7.(2024•天津河西•一模)已知三棱锥P-ABC中，E4_L平面ABC,ABJ.AC,

AB=2PA=2AC=4,N为A3上一点且满足3丽=丽，M,S分别为PB,BC的中点.

⑴求证：CM1SN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小；

⑶求点P到平面CMN的距离.

8.（2024・重庆•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，R4,平面ABCD,四边形

ABC。是矩形，PA=AD,过棱的中点E作EFLPC于点尸，连接AF.

P

(1)证明：PCLAF-,

⑵若CD=2AD=2,求平面AEF与平面R4B所成角的正弦值.

【能力提升训练】

一、解答题

1.（22-23高三上•湖北•阶段练习）如图，在几何体ABCDE中，底面ABC为以AC为斜边的

等腰直角三角形.已知平面ABC_L平面ACD,平面ABC_L平面BCE,DE〃平面

ABC,AD工DE.

⑴证明：DE_L平面AC£＞；

（2）若AC=2CD=2,设“为棱的的中点，求当几何体ABCZ汨的体积取最大值时AM与

C。所成角的正切值.

2.（2024•天津蓟州•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，己知棱AB,ARAP两两垂

直，长度分别为1，2,2,若反=之通，且向量正与前夹角的余弦值为史.

C

(1)求实数九值；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

⑶求平面与平面PCD夹角的余弦值.

3.(2024•山东青岛•一模)如图，在三棱柱中，与8用的距离为名,

C

⑴证明:平面AiABBl1平面ABC；

(2)若点N在棱AC上，求直线AN与平面ABC所成角的正弦值的最大值.

4.(2024・山东济南•二模)如图，在四棱锥尸-ABCE＞中，四边形为直角梯形，

ABB\CD,ZDAB=ZPCB=60°,CD=IAB=3,PC=2^,平面PCS_L平面ABC。，F为线

段BC的中点，E为线段PE上一点.

(1)证明：PF±AD；

(2)当E/为何值时，直线8E与平面抬。夹角的正弦值为立.

4

5.(2021・全国•高考真题)如图，四棱锥尸-ABC。的底面是矩形，POJ_底面ABCZ),

PD=DC=1,“为BC的中点，且尸

R

（2）求二面角A-PM-3的正弦值.

6.（2024•辽宁葫芦岛•一模）如图，S为圆锥顶点，。是圆锥底面圆的圆心，AB,CD是

长度为2的底面圆的两条直径，ABHCD=O,且SO=3,尸为母线S3上一点.

⑴求证：当P为跖中点时，SA〃平面PCD；

⑵若N4OC=60。，二面角尸―CD-3的余弦值为之叵，试确定尸点的位置.

21

7.（23-24高三上•江苏淮安・期中）如图，是半球。的直径，"=4,M,N是底面半圆弧

AB上的两个三等分点，尸是半球面上一点，且NPON=60。.

⑵若点P在底面圆内的射影恰在ON上,求直线尸田与平面皿所成角的正弦值.

8.（2024・河南信阳•模拟预测）如图，在三棱锥尸-ABC中，A，综G分别是侧棱

尸APB,PC的中点，ABLBC,AC_L平面851clC.

(1)求证：平面平面AAG;

4

(2)如果/1^=4(7,42=8。=4,且三棱锥耳-ABC的体积为求二面角A-B4-C的

余弦值.

2025二轮复习专项训练19

空间向量与空间角

［考情分析］高考必考内容，常以空间几何体为载体考查空间角，是高考命题的重点，常与

空间线、面关系的证明相结合，热点为平面与平面的夹角的求解，均以解答题的形式进行考

查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.题目难度为中档题.

【练前疑难讲解】

一、异面直线所成的角

(1)设直线/,根的方向向量分别为a=(ai,bl,Cl),5=(。2,bl,c2),设/，根的夹角为仇

n，\a-b\_____++

I“仙I:届+房+昂^星+4+万,

(2)异面直线所成的角的范围为(0,I.

二、直线与平面所成的角

(1)设直线/的方向向量为〃=(41,"，C1),平面1的法向量为"=(〃2,62,。2),设直线/与

平面a的夹角为仇贝1Jsin6=|cos〈Q,"〉1=瑞温.

(2)线面角的范围为［0,2.

三、平面与平面的夹角

(1)设平面a,。的法向量分别为"=(。3,t>3,C3),V=(a4,MC4),且平面a与平面P的夹

角为0,

贝Ucos6=|cos<//,v>尸琮^

TT

(2)平面与平面的夹角的取值范围为［0,2.

一、单选题

JT

1.(2024・湖北武汉•模拟预测)已知菱形ABC3,ZDAB=~,将△D4C沿对角线AC折

起，使以A8,C,。四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线A3与CD所成角的余弦值

为()

A.-B.且C.-D.B

5244

2.(2024・河南•模拟预测)为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建

城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民

赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢(如图1).已

知AB和CO是圆。的两条互相垂直的直径，将平面ABC沿A3翻折至平面A8C',使得平

面ABC'，平面（如图2）此时直线A3与平面C5Z）所成角的正弦值为（）

图1图2

AR6「叵

r\.1D.L.Ln/.^3

3322

二、多选题

3.（2023•广东深圳,二模）如图，在矩形AEFC中，AE=2*,EF=A,B为EF中点,现分

别沿A3、BC'^LABE,相叱翻折，使点E、/重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-

ABC,贝U()

A.三棱锥P-ABC的体积为逑B.直线B4与直线BC所成角的余弦值为自

36

C.直线物与平面P2C所成角的正弦值为;D.三棱锥尸-ABC外接球的半径为

V22

~T

4.（22-23高二上•山东德州•期中）如图，已知正方体ABC。-A耳G2的棱长为2,点瓦厂

分别为棱A8,AO的中点，^G=2^q（O<A<l）,贝|（）

A.无论4取何值，三棱锥C-EFG的体积始终为1

B.若彳=1,则西•西二2+及

4

C.点R到平面EFG的距离为姮

3

D.若异面直线成与AG所成的角的余弦值为姮.则彳=1

2210

三、填空题

5.（2024・上海•高考真题）已知四棱柱A8CD-AqGR底面ABC。为平行四边形,

M=3-2。=4且鬲.弱-珂./=5,则异面直线AA|与BD的夹角余弦值为.

6.（2024・全国•模拟预测）在棱长为2的正方体ABC。-AqGR中，动点M,N分别在棱

BC,上，且满足AN=R0,当％.”解的体积最小时，耳加与平面AMN所成角的正

弦值是.

7.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,

PA=PB,DA=DB=6，AB=2,PD=1,点、E,尸分别为AB和尸3的中点.

（1）证明：CFLPE；

（2）若PE=L求直线C厂与平面尸所成角的正弦值.

8.（2021•全国•高考真题）在四棱锥。-ABCO中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=BQC=3.

(1)证明：平面QAD_L平面ABCD；

(2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.

参考答案:

题号1234

答案CBBDAB

1.C

【分析】当三棱锥的体积最大时，平面ACD，平面A3C,以£为原点，

而，床,而分别为龙,yz轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量荏，①的坐标，根据

向量夹角的坐标表示可解.

【详解】记AC的中点分别为E,因为AD=CD,所以DESAC,

同理，BEVAC,记AB=2a,

因为=所以彳五)AC=BAC=-,

36

所以BE=DE=a,AE=CE=#)a,

TT

易知，当平面ACD,平面ABC时，三棱锥O-ABC的体积最大，此时/台即二5，

以E为原点，丽，反，而分别为x，%z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则4仅，-石a,0),B(a,0,0),C(0,也a,0),O(0,0,a)

所以AB—(a,CD=(0,—6。,。)，

所以cos(4§,®)=3a__j.,

'/x2a4

3

所以异面直线AB与8所成角的余弦值为4.

4

故选：C

2.B

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值.

【详解】依题意，0cA而平面ABC，平面ABO,平面ABCQ平面

ABD=AB,

又OC'u平面ABC,O£)u平面则OCU平面ABD,OD±OC,

因此直线OR05OC'两两垂直，以点。为原点，直线。ROBOC'分别为x,%z轴建立空间

直角坐标系，

令圆半径OD=1,则0(0,0,0),"(1,0,0),8(0,1,0),C'(0,0,1),

OB=(0,1,0),5^=(0,-1,1),BD=(1,-1,O),设平面C'BD的一个法向量而=(x,%z),

n-BC=-y+z=Q_

则_-，令y=L得w=(1,1,1),设直线A8与平面C'B。所成的角为e,

n-BD=x-y=0

则sin6=|cos〈［OB)|==—,

\n\\OB\1x733

所以直线A3与平面CBD所成角的正弦值为且.

3

故选：B

3.BD

【分析】证明平面PAC,再根据VPTBCMLJAC即可判断A；先利用余弦定理求出

cosZAPC,将起用玄，而表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点A到

平面板C的距离d,再根据直线必与平面PBC所成角的正弦值为关即可判断C；利用

正弦定理求出AMC的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.

【详解】由题意可得

又APcCP=P,AP,CP=P,AP,CPu平面PAC,

所以3尸，平面PAC,

22

在AR4c中，PA=PC=2^/3,AC边上的高为26)|-2=20,

所以V-wc=%.PAC=gx；x4x2&x2=af,故A错误;

IT-»12+12-161

对于B,在"AC中，COSNAPC=Q百2卮父

8C=J12+4=4

PA-BCTA■(PC-7B)_PAPC-JPA-^B

cos(PA,BC)=

RR2V3X4—8V3

—_2_V_3_x2_V_3_x1—__V_3«

-8>/3-6

所以直线B4与直线BC所成角的余弦值为f,故B正确；

对于c,S“。BC=；PB.PC=2』，

设点A到平面PBC的距离为d,

由为"AC=%"BC，得工义26(1=巫,解得d=述,

333

4A/6

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为色=~272,故C错误;

PA一2白一3

由B选项知，cosZAPC=1,贝l|sinZAPC=迪，

33

]AC3

所以"UC的外接圆的半径r=--.=-j=,

2sinZ.APCV2

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

又因为平面PAC,

则尺2=2+1=口，所以R=H,

[2}222

即三棱锥P-ABC外接球的半径为叵，故D正确.

2

故选：BD.

4.AB

【分析】对于A,利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；

对于B,建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求

解；

对于C,由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面EFG的法向量，

再利用点到平面的距离公式即可求解；

对于D,由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线所与AG的方向

向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；

【详解】对于A,因为正方体A8C。-ABIGR的棱长为2,点瓦厂分别为棱的中

点，

所以S的c=2x2-\xlxl+；x2xl+；x2xl]=：,

在正方体ABC。—A耳GA中，CCi，平面

入113

=

由等体积法知，V一：棱链C-EFG=V-S#G-EFC~,^AEFC'（--C}=—X—X2=l,

所以无论彳取何值，三棱锥C-EFG的体积始终为1,故A正确；

对于B,由题意可知，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系&-型，如图所示

因为正方体A8CL•-4瓦£2的棱长为2,

所以3（2,2,0）,月（2,2,2）,£（2,1,0）,Q（0,2,2）,D,（0,0,2）,

由4=孝，得而=亨丽\设G（x,2,2）,则

所以南=（无一2,0,0）,祠=（一2,0,0）,

所以。-2,0,0）=¥（-2,0,0）,所以1一2=孝义（一2）,解得.2-孝,

所以G2-1,2,2,

\7

所以函=一自」,2),西'=(一2,-2,2),

所以函•砌=]一*X(-2)+1X(-2)+2X2=2+V2,故B正确；

对于C,由B选项建立的空间直角坐标系知，£(2,1,0),F(1,0,0),2(0,0,2),

设G(x,2,2),则丽=(x-2,0,0),*=(-2,0,0),^G=2^q(0</l<l),

所以(x—2,0,0)=2(—2,0,0),所以》一2=彳(一2),解得x=2-24,所以G(2—22,2,2),

所以坊=(—LTO),用=0—242,2),麻=(1,0,—2),,

设平面E尸G的法向量为〃=(%,y,z),则

nEF=0\-x-y=G-1-22

一，即外加一—八，令％=则尸T,z=—

n-FG=0〔(1一22)犬+2y+2z=02

一(—1—2»

所以〃=[l—

|印臼|2+2川

所以点2到平面EFG的距离为忖卜,+2彳：，

由于2无法确定，所以点2到平面EFG的距离无法确定，故C错误；

对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，£(2,1,0),*1,0,0),4(2,0,0),5(2,2,0),

片(2,2,2),G(0,2,2),

设G(%2,2),则丽=(x-2,0,0),祐=(-2,0,0),丽=4跖，

所以(x—2,0,0)=2(—2,0,0),所以》一2=彳(一2),解得尤=2-24,所以G(2—22,2,2),

所以而=(一1,-1,0),而=(一242,2),

因为异面直线斯与AG所成的角的余弦值为巫，则

EFAG而Hn2A-27112..10

|cos<EF,AG>|=-

”，即r1~一~,斛得力;二或2-）（舍），故

EFAG22V2XV4A2+82237

D错误.

故选：AB.

5

5.—

12

【分析】将通1,也用不共面的向量通，丽■，前表示出来，从而得到

芭•前-羽•皮=5,然后由公式计算夹角余弦值即可.

【详解】ABi=AB+A^,AD^=AD+AA^,

;.(AB+AA^-BC-^AD+AA^-DC=5,

ABBC+A^BC-AD；DC-A41-DC=5,

底面ABC。为平行四边形，所以通.配=而•觉，

所以招•配一瓶•配=5,

福.丽=环西-砌=硒•布-丽•丽=丽.配-丽灰=5.

所以3例/~7~T*皿HH\=同同,BD=而5=55

故异面直线AA与BD的夹角的余弦值为:，，

故答案为：—

6.境

15

【分析】设AN=X(OWX42),结合等积法，可求出当七一MNB,的体积最小时，M,N分别

是所在棱的中点；法一，根据九一4slN二VB「AIMN>可求出点用到平面AMN的距离为儿结

合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.

【详解】设4V=x(OVxV2),则

SgMN=2x2-^x2x-^(2-x)x--x2(2-x)=2-^(2-x)x.

由等体积法，得

2

14141(2—x+x

VD-MNR=VB,-DMN=GX2XS*DMN=n(2-x)x>----1=1,

332

当且仅当2-x=x,即尤=1时，等号成立.

所以当/一MNB,的体积最小时，M,N分别是所在棱的中点.

方法一易知AN=B、M=小,4M=3,MN=5.由余弦定理，得

cosZ?VW=3+（后）产）=显'所以sin/AMN=¥，

2x3x022

所以

设点名到平面上的距离为h.根据VM_A<BiN=VBI一AMN，

11134

^_X_X2X2X1=-X-X/Z,解得力=一.

32323

4

所以B.M与平面&NM所成角的正弦值为h_3_4^.

B、M7515

方法二以点。为原点，以ZM,DC,所在直线分别为无轴、、轴、z轴,

建立空间直角坐标系，

则N（2,l,o）,M（1,2,0）,A（2,0,2）,耳（2,2,2）.

所以加=（1,—1,0）,而=（一1,2,-2）,函=（1,0,2）.

设平面的法向量为元=（X,y,Z）,

n-MN=0,x-y=0,1

则<即令n=1,得y=i,Z-

n-\M=0,—x+2y2z—0.2,

则河=[1,1,g].设修加与平面AMV所成的角为e,

lxl+lx0+—x24^/5

.Z)—」彳6几.WgL2

rn.isma=cosn,MB.1=­j

则同的22丁•

|p+12+Qjx712+0+2

故答案为：f

7.⑴证明见详解;

【分析】（1）取PE的中点G,通过证明尸平面CDGb,再由线面垂直的性质定理即可

得到结果.

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.

【详解】（1）取PE的中点G,连接DG,尸G,

由。4=£>8=友,48=2,易知AZMB为等腰直角三角形，

此时£>E=1,又PD=1,所以尸ELDG.

因为上4=PB,所以PELAB,

由FG//EB,即BG〃AS,所以尸E_LFG,

此时，CD/MB〃尸G,有C2G,尸四点共面，FGC\DG=G,

所以尸E_L平面CDGF,又C/u平面CDGF,所以CF_LPE.

（2）由48，「£,48_1。凡且尸石0。石=已所以48，平面尸£见.

由PE=/汨=尸£）=1,得△/£>£■为等边三角形,

以E为原点，所在直线分别为x轴，y轴，过E且与平面A3CD垂直的直线为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

（1IO

P0,-,^-,D（0,l,0）,B（l,0,0）,C（2,l,0）,F,

DP=0,--,^-,08=(1,-1,0),设平面P3D的法向量元=(x,y,z)

1c

n•DP=0廿『0,取z=L"("«』),

由1一，即

n-DB=0

x-y=0

钎（33⑹

又歹。=日'"一彳j,设直线CV与平面PBD所成角为6,

则sin0二河二产一旦又

H|n|-|FC|V7.q7'

所以直线CP与平面P3D所成角的正弦值为空.

7

2

8.（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）取AO的中点为。，连接QO,C。，可证。。,平面ABCD,从而得到面

QA。_L面ABCD

（2）在平面ABC。内，过。作O77/CD,交BC于T,则OT_LA£）,建如图所示的空间坐

标系，求出平面QA。、平面2。。的法向量后可求二面角的余弦值.

【详解】

Q

（1）取的中点为。，连接QO,CO.

因为0A=QD,OA=OD,则。。，仞,

l^AD=2,QA=y/5,故QO=^T=2.

在正方形A3CD中，因为45=2,故。0=1,故C0=石,

因为QC=3,^QC-=QO2+OC-,故AQOC为直角三角形且。OLOC,

因为OCn"）=。，故。。上平面ABC。，

因为QOu平面。A。，故平面QAZ5J■平面ABCD.

（2）在平面ABC。内，过。作O77/CD,交BC于T,则OT_LAD,

结合（工）中的。平面A5CD,故可建如图所示的空间坐标系.

则£＞（0,1,0）,（2（0,0,2）,B（2-l,0）,故的=（-2,l,2）,BD=（-2,2,0）.

设平面的法向量］=（x,y,z）,

n•BQ=0—2x+y+2z=0，取光贝!

则=1,Jy=l,z=g,

n-BD=0-2x+2y=0

故

而平面QA。的法向量为五=(1,0,0),故cos(几”=尸=§.

2

2

二面角B-纱-A的平面角为锐角，故其余弦值为

【基础保分训练】

一、解答题

1.(23-24高三上•山东枣庄•期末)如图，直四棱柱A2CZ)-A4GR的底面为平行四边

形，加,"分别为4a。2的中点.

(1)证明：皿7〃平面ABN；

(2)若底面A3CZ)为矩形，AB=2AD=4,异面直线DM与4N所成角的余弦值为平，求

用到平面的距离.

2.（2024•天津•二模）如图，ZM_L平面ABC,ABJ.AC,AD//CE,AB=AC^CE=i,

AD=2,M为AD的中点.

(1)证明：EM工BD；

(2)求平面DBC与平面ABC夹角的余弦值；

⑶设N是棱上的点，若EN与C。所成角的余弦值为回，求BN的长.

10

3.(2024・安徽合肥•二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形,

/瓦10=60。,“是侧棱PC的中点，侧面上4。为正三角形，侧面上4£＞，底面ABCD.

⑴求三棱锥M-ABC的体积；

(2)求AM与平面尸BC所成角的正弦值.

4.(2024•天津河东•一模)在正方体4BCZ)-A与G，中(如图所示)，边长为2,连接

A。、A3、BD

(1)证明：，平面42。；

(2)求平面ACR与平面硬。夹角的余弦值;

⑶底面正方形ABCD的内切圆上是否存在点P使得尸3与平面42。所成角的正弦值为

生若存在求即长度，若不存在说明理由.

5.(2024・天津•二模)如图，在直三棱柱ABC-4百£中,

AC±BC,AC=BC=2,CCl=3,尸为的中点，点O,E分别在棱AA1和棱CQ上，且

(1)求证：AF〃平面应比；

⑵求平面ACC|A与平面3DE夹角的余弦值;

⑶求点A到平面的距离.

6.(2024•江苏•一模)如图，在四棱锥E—ABCD中，EC,平面ABCD,DC1BC,

ABHDC,DC=2AB=2,CB=CE,点P在棱防上，S.BF=-FE.

2

(1)证明：DE〃平面AFC；

(2)当二面角歹―AC-。为135。时，求CE.

7.(2024•天津河西•一模)已知三棱锥尸-ABC中，PA_L平面ABC,ABJ.AC,

AB=2PA=2AC=4,N为A3上一点且满足3次=丽，M,S分别为尸3,BC的中点.

R

B

(1)求证：CM_LSN；

(2)求直线SN与平面CMN所成角的大小；

⑶求点P到平面CMN的距离.

8.(2024・重庆•模拟预测)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABCD,四边形

ABCD是矩形，PA=AD,过棱的中点E作历，PC于点尸，连接AF.

P

(1)证明：PC±AF；

⑵若CD=2">=2,求平面AEF与平面R4B所成角的正弦值.

参考答案：

L⑴证明见解析

(2)也

3

【分析】(1)通过证明。0平行于面内的一条直线，即可证明DM〃平面ABN；

(2)建立空间直角坐标系，设出AA的长并表达出各点坐标，利用异面直线DM与4N所

成角的余弦值得出4,4,N,求出平面A2N的一个法向量，即可得出耳到平面ABN的距

离.

【详解】(1)连接4月，交4B于点E,连接NE,ME,

则E为AB的中点，

因为M为A3的中点，所以ME〃AA，且=

因为N为。R的中点，所以。N〃AVDNM/AA，

所以ME〃DN,且ME=DN,

所以四边形EMZW为平行四边形，

所以EN〃DM,

又因为DM＜Z平面ABV,ENu平面ABN,

所以DAf〃平面ABN.

(2)由题意(1)及几何知识得，

在直四棱柱ABCZ)-中，AB=2AD=4,

A2,ADA4,两两垂直，以A为坐标原点，分别以4氏4。,招所在直线为x轴、＞轴、z轴建

立如图所示的空间直角坐标系.

设朋=2々＞0）,则3（4,0,0）,0（0,2,0）,A（O,O2）,M（2,O,O）,N（O,2J）,

耳（4,02）,丽7=（2,-2,0）,柄=（0,2,T）,

设异面直线n似与AN所成角为6,则

|W-4/v|

画•和百十（一2）2.百+55

解得：t=i,

故A（0,0,2）,N（0,2,1）,4（4,0,2）,

则凝=（4,0,—2）,而=（0,2,—1）,瓯=（0,0,2）

设平面的一个法向量为元=（%,y,z）,

见到平面ABN的距离为d.

n=0,[4x—2z=0,

即C八取2=2,

Kn=0,[2y-z=0,

得力=（1,1,2）.

—庭词|0xl+0xl+2x2|42A/6

同5/12+12+22A/63

即用到平面ABN的距离为友.

3

2.⑴证明见解析

⑶*

【分析】⑴建立坐标系，利用前.分0=0，即可证明£M_L8£＞；

（2）分别求得平面DBC与平面ABC的法向量，利用法向量即可求解;

（3）设戢=九胡，借助卜os两网=得，求得2值，即可求解.

【详解】（1）证明：因为ZM_L平面ABC,ABJ.AC,以A为原点，通为无轴，衣为'

轴，莅为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

由已知可得4(0,0,0),5(1,0,0,),C(0,l,0),0(0,0,2),E(0,l,l),

因为M为凡□的中点，所以M（0,0,l）,

所以或=（0,-1,0）,丽=（-1,0,2）,

所以而•或=0，

所以而_L丽，

所以

(2)BD=(-l,0,2),BC=(-l,l,0),

设平面DBC的法向量为=（x,y,z）,则

BDn=0即］\~一x++2尸z=00,令z=l得x=y=2,

BCn=0

所以为=（2,2,1）.

平面ABC的法向量须=(0,0,2),

设平面D3C与平面ABC夹角为6,

cos6=IcosAD,n|=—=—,

II2x33

所以平面£>8C与平面ABC夹角的余弦值为;.

z\UUUULIU

(3)设N(x,y,z)且=(0W4W1),

(x—1,y,z)=/I(—1,1,0),贝ijx=l—X,>=几，z=0,

所以N（l—Z40）,所以函=0_；UTT）,CD=（0,-1,2）,

所以卜os前,CD|=J：川=寥，

1175V222-4/l+310

化简得4万-16；1+7=0,

17

解得4=或丸=：(舍)，

22

因为3C=&，所以BN=等.

3.(1)|

(2)痘.

11

【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M到平面

ABC。的距离为且，进而由锥体体积公式求出答案；

2

(2)证明出BO_LAD,建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角

余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.

【详解】(1)如图所示，取AD的中点。，连接尸O.

因为△PAD是正三角形，所以尸OLAD.

又因为平面_L底面ABCD,POu平面PAD,平面上4£>c平面ABCD=AD,

所以平面ABC。，且PO=Q.

又因为〃是尸C的中点，M到平面ABCD的距离为正，

2

5AABc=1x2x2xsiny=^