2025年高考数学分层练习（中档题）：函数与导数（30题）

函数与导数

一、单选题

1.已知函数〃x)=J+3依2+笈+片在x=_i处取得极值o,则广⑴=()

A.6B.12C.24D.12或24

1

2.定义在R上的函数/(%)满足/(%+2)=/(%),若/(%)在区间(0,1)上单调递增，。=/(1口2),b=f

e

5

，则()

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

3.已知/(x)是定义在R上的奇函数，尸(x)是函数/(x)的导函数且在［(),+◎上7若

/(2024-ni)-f(m)>2024-2m,则实数机的取值范围为()

A.[-1012,1012]B.[1012,4<x>)C.(^»,-1012]D.(^»,-1012],[1012,+oo)

4.已知函数〃x)满足/(x+3)=/(l-x)+9/(2)对任意xeR恒成立，又函数〃尤+9)的图象关于点(-9,0)

对称，且"1)=2025,贝|/(53)=()

A.2024B.-2024C.2025D.-2025

5.函数=的图象大致是()

、7e+e-X

A.B.

Ox

D.

x<0

6.函数/(尤)=,若不等式/(尤+2加)+/m2<0恒成立，则实数机的取值

x>0

范围是()

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(―℃,—3)l(1,+co)D.(ro,T)U(3,+oo)

7.已知曲线,=^-1与曲线y=alnx+a(a>0)只有一个公共点，则〃=()

A.-B.1C.eD.e2

e

flO%Y<0

8.已知函数/（%）=（'八，g（x）=/（x）+2x-m,若g（%）有一个零点，则机的取值范围是（）

[1gx,x>0

A.（-oo,l]B.（-oo,l）C.1X+8）D.（L+8）

9.碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已

t

知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡/年后，碳14含量c（/）=Co[；："。，其中C。为活体生物组织内

碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳

14的含量约为原始含量的0.92,已知W0.23,则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（）

A.宋（公元960~1279年）B.元（公元1271~1368年）

C.明（公元1368〜1644年）D.清（公元1636〜1912年）

10.P是平面直角坐标系无Qy内一点，我们以x轴正半轴为始边，射线。尸为终边构成角[0,2万0P的

长度「作为。的函数，若其解析式为:=|2sin2q+kin4，|,则P的轨迹可能为：（）.

二、多选题

11.设函数〃司=彳3-3/+5,则下列说法正确的有（）

A.函数仅有1个零点

B.x=。是/'（X）的极小值点

C.函数“X)的对称中心为(1,3)

D.过(3,1)可以作三条直线与y=的图象相切

12.已知函数/(x)=e£+sinx,尸(x)为/'(x)的导函数，则()

A.曲线y=/(%)在(0,/(0))处的切线方程为y=x+1

B./(x)在区间(0,+oo)上单调递增

C./(%)在区间(-无,0)上有极小值

D.7'(X)在区间(-兀,+8)上有两个零点

13.设函数/(X)=(X—1)2(X-4),则()

A.x=l是〃X)的极大值点

B.f(2+x)+/(2-x)=-4

C.Y<f(2x—1)<0的解集为{x[l<x<2}

D.当0<x<g时，/(siiu)>/(sin2x)

14.湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索

可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数cosh(x)=T^的图象，相

应的双曲正弦函数为sinh(x)=三寸.则下列说法正确的是()

A.cosh2(x)-sinh2(x)=1

B.y=cosh(x)sinh(x)是偶函数

sinh(x)/、

c.函数y=的值域为-1,i

cosh(x)

D.当直线V=相与y=cosh(%MDy=sinh(x)共有3个交点时，加目1,+8)

15.若孙〃分别是函数/⑴，的零点,且|加—〃区1,则称F。)与g⑺互为“零点相邻函数”.已知

/(%)=ln%+Y+2x-3与g(x)=e'+内互为"零点相邻函数”，则〃的取值可能是()

2

A.—2eB.--eC.-eD.-1

2

16.已知=,g(x)=inx,则下列说法正确的是()

A.曲线y=f(x)与y=g(与有公共点

B.曲线y=g(x)关于直线>=x对称的曲线是y=e，

C.曲线y=〃x)关于直线y=T对称的曲线是y2=_2x

D.直线x=M>0)与曲线y=〃x)、y=g(x)的交点分别是A、B,则|A5|的最小值为3

17.已知是定义在R上的奇函数，且满足〃x+4)=〃x)+4,若当无《0,2)时，f(x)=ex,则下列

选项正确的是()

A.“X)图象关于点(2,2)中心对称

B.8为B(x)的周期

C./(2025)=-+2024

D.方程〃尤)=尤在［0,2025］上共有1526个不同的实数解

18.下列说法中正确的有()

A.已知f(x)在R上是增函数，若a+6>0,贝1］„)+/0)>/(-4)+/(-3

B.是“x>y”的必要条件

C.若命题“Vxw(2,3),3x-a<0”是真命题，则。的取值范围为

D.函数y=J'5+4x—X、的减区间是［2,+<o)

19.已知函数的定义域为R,且〃x+1)为奇函数，当xNl时，/(x+l)>/(x)+l,则()

A./(1)=0

B.的图象关于点(TO)对称

C./(4)>3

D./(-98)<-99

20.已知函数y=〃x)的图象关于直线％=-2对称，且对VxeR都有〃x)+〃f)=-2,当xe(0,2］时,

/。)=5尤.则下列结论正确的是()

A./(2025)=：

B.在区间(2,4)上单调递减

C.〃尤)的图像关于点(0,1)对称

D.函数y=/(x)—lgx有2个零点

三、填空题

|log2x|,0<x<4

21.已知函数/(元)=若f[a)=f(h)^f(c)(a<b<c),则abc的取值范围是

6-x,x>4

22.已知函数"力=八："一1)"：4"'：<2在定义域上单调递增，则a的取值范围为_____

[X-ax+5,x>2

23.已知函数的定义域为R,〃x+2)为偶函数，〃x+l)为奇函数，则〃2025)=.

24.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，其导函数为/(%),且当x<0时，2/(x)+#'(x)<0,则不等式

(x-2024)2/(%-2024)-/(-1)<0的解集为

25.定义在(。,+8)上的函数的导函数为尸(可，当x>0时,矿(x)<2,且〃e)=5,则不等式

/(x2)-41nx<3的解集为.

2—|x|尤<3

.一函数g(N)=机-/(3-X)，其中机ER,若函数y=g(x)恰有3个零点，

)(x-3),x>3

则m的取值范围是.

27.已知定义在R上的函数〃同=丁+彳5,贝|关于x的不等式/任一3)+〃-5-2x)<0的解集为.

28.若过点(2,。可以作曲线y=lru的两条切线，则实数f的取值范围是.

29.已知函数〃M=1皿1一：)1'尤<1拓(月=41-6，若函数“X)与g(x)的图象有且仅有三个交点，则

(x—2)+a,x21e

实数〃的取值范围是.

30.已知函数是定义在R上的函数，〃X)="2_2X_1,且曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线斜率

为4,则々=.

《函数与导数》参考答案

题号12345678910

答案CDBDCBBCBB

题号11121314151617181920

答案ACDBCABDACABCBCDACACACDABD

1.C

rr(-i)=o

【分析】根据在％=-i处取得极值。可得[/八n,解出，力即可.

【解析】由题意知，f\x)=3x2+6ax+b,又/(%)在犬=-1处取得极值0,

/(-l)=3-6^+Z?=0Q=1a=2

解得6=3或

y(-l)=-l+3tz-Z?+^2=0b=9

(4=1

当、时，f'(x)=3%2+6x+3=3(x+1)2>0,

[b=3

函数/(X)在R上单调递增，无极值，不符合题意；

fa=2

当<时，f'(x)=3x2+12%+9=3(x+3)(x+1),

[b=9

令/'a)>0n%v—3或%>—1,/'(%)<On

所以了。)在(7,-3)、(-1,转)上单调递增，在(-3,7)上单调递减,

故了(%)在犬=—1处取得极小值，符合题意，

\a=2

所以t八，r«=3x2+12x+9,

\b=9

贝厅⑴=24.

故选：C.

2.D

【分析】依题意可得c=再根据对数函数的性质得到0<；<(<ln2<l,结合函数的单调性判断即

可.

【解析】因为在R上的函数小)满足〃x+2)=〃x),所以,=巾=小+；„

因为0<!<工，又ln2<lne=l,ln2=InV?>IHA/C=-,所以0<!<!<ln2<1.

e22e2

因为/(x)在(0,1)上单调递增，所以qj<d3<"ln2),BP/QV/f|h/(ln2),即b<c<a.

答案第6页，共18页

故选：D.

3.B

【分析】构造函数g(x)=/(x)-x,根据条件判断g(x)的单调性，奇偶性进而解不等式即可.

【解析】设g(x)=f(x)-x,则g'(尤)=/'(x)-l,

又无€[0,+oo)上，/(x)<l,贝[|g'(x)<。，

即函数g(x)在无e[0,+8)上单调递减，

又/(x)是定义在R上的奇函数，则函数g(x)为R上的奇函数，

故g(x)在R上单调递减，又/(2024-m)_f(jn)>2024-2m,:./(2024-tn)-(2024-m)>m,

即g(2024-〃?)2g(力?)，可得2024-机工〃z,解得21012.

故选：B.

4.D

【分析】由/(x+3)=〃l—x)+9/(2),令x=-l,可得"2)=0,〃x)的图象关于直线x=2对称,又由

〃尤+9)的图象关于点(-9,0)对称可得8是函数〃x)的一个周期，据此可得答案.

【解析】因为对任意xeR,都有/(x+3)=〃l—x)+9/(2),

令x=T,得/(2)"(2)+9〃2),解得了(2)=0,则〃尤+3)=/(1-力,

即/(X+4)=〃T),所以函数〃x)的图象关于直线x=2对称.

又函数〃尤+9)的图象关于点(-9,0)对称，则函数〃x)的图象关于点(0,0)对称，

即函数〃x)为奇函数，所以/(x+4)=/(-x)=-/(x),

所以〃x+8)=-〃x+4)=y(x),所以8是函数〃x)的一个周期，

所以〃53)=〃7x8-3)=/(-3)=-〃3)=-/(1)=-2025.

故选：D

5.C

【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性，结合x>l对应函数值符号及排除法，即可得答案.

【解析】由题意，函数定义域为R,且f(T)=4+C°S(T)=X?+COSX二

''+ee+e-

所以/(x)为偶函数，排除A、B；

答案第7页，共18页

当x>l,则/3=学浮>0恒成立，排除D.

故选：C

6.B

【分析】先应用奇函数定义及单调性判断了(X),再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最

小值，计算一元二次不等式即可.

【解析】因为函数〃尤)=「，"%)为减函数；

［一八,％20

又因为x<0J(-x)=-U7=-/'(x),x>OJ(-x)=6=-〃x),所以“X)为奇函数，

若Vxe(L+"),不等式++疗)<0恒成立，

贝U不等式/"+2m)<一/1占一加2),因为/(X)为奇函数，所以/(x+2m)</1-3+

因为/(x)为减函数，所以x+2m>恒成立，

x-1

所以x+—1―>机？一2根恒成立，所以(尤+—>rn2-2m,

X-lI尤-1/nin

Vxe(l,+8),x+——=1+——+1N2\J(尤-l)x」—+1=3

X1x1VX1

当且仅当x=2时取最小值3,所以"/-2"Z<3,

所以疗—2〃L3=(〃L3)(〃Z+1)<0,所以实数机的取值范围是(-1,3).

故选：B.

7.B

【分析】方法一：把两曲线〉=产与y=alnx+a(a>0)有一个公共点，转化为方程-="(向+1)只有一个

实数解，通过分离常数。=士;求出。值；

1I1X+1

方法二：把两曲线>=61与'=“11次+4(。>0)有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何

意义求解；

方法三：利用原函数和反函数图像关于y=x对称，且两函数图像都与y=x相切于点(1,1),巧妙求出a值.

【解析】方法一：由已知曲线y=ei与曲线y="hM+a(a>0)只有一个公共点，

方程ei=a(lnx+l)只有一个实数解，而a>0,则只考虑

答案第8页，共18页

[1+Inx-—

X-1xf,则e*T

即"目’令HX)=Ex>|

(lux+1)2

而"(X)=l+lnr-［在单调递增，且"1)=0,

所以xeg,l］时，/'(x)<0,〃x)单调递减，

尤«1,也)时,/'(x)>0,〃x)单调递增,

而X-—时，/(%)->+00;Xf+C0时，/(%)->+00,

e

所以。="1)=1.

方法二：由己知曲线y=ex-1与曲线y=alnx+a(a>0)只有一个公共点,

则曲线y=e、i与曲线y=alnx+a(a>0)只有一个公切点，设其坐标为(x。,%),

根据函数y=e*T的图像与函数y=Inx+1的图像之间的关系，

y0=e与t=OIWCQ+a

所以有1与一1a,

e"=——

^

a1

即一二〃1叫)+〃，所以--1叫)+1,

%o%

设场优)='-1叫)+1,则旗尤0)在(。,+8)单调递减，而网1)=。，

所以%=1,所以a=l.

方法三：由于函数、=ei的反函数为y=liw+l,两函数关于y=x对称，

由于y=ei,令ei=l,则x=l,即函数y=ei与函数y=x相切于点(1,1),

11

同理，y=-,令一=l,x=l,即函数y=hw+l.与函数y=x也相切于点(1,1),

XX

于是函数y=exT与函数y=lnx+l相切于点(1,1),由选项可知，a=l.

故选：B.

8.C

【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数y=/(x)的图象与直线交点，再利用数形结合求

出范围.

【解析】由g(x)=。，得/Cx)=-2x+机，因此析I有一个零点,

答案第9页，共18页

当且仅当函数y=/(x)的图象与直线y=-2x+机有且仅有一个公共点,

函数，(彳)在(-叫0)上单调递增，函数值集合为(0,1),在(。,+s)上单调递增，函数值集合为R,

在同一坐标系内作出函数y=/(X)的图象与直线>=-2x+根的图象，

观察图象知，当相<1时，函数y=/(x)的图象与直线y=-2x+根有两个交点,

当〃让1时，函数y=/(无)的图象与直线y=-2x+机有1个交点，

所以m的取值范围是口,+oo).

故选：C

9.B

【分析】根据碳14含量的计算公式列出方程，然后结合已知条件求解出生物死亡的时间，进而判断该生物

死亡的朝代.

1-L-

【解析】已知碳14含量公式C(f)=C°g)573。，某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0,92,

即C(r)=O.92Co，代入公式可得0.92Q=Co(1)^,

1-L-

因为C°w0,两边同时除以c。，得到0.92=(上产30,

2

对0.92=(工)嬴两边取以|为底的对数，可得log।0-92=,

22-5730

贝y=5730xlog10.92

因为(1)212~0.23,0.92=4x0.23,即0.92=4x(1)212=(1)-2x(1)212=(1)012,

所以log।0.92=陶(；严=0/2,

252

将logL0.92=0.12代入'=5730Xlog工0.92,可得/=5730x0.12=687.6^688(年)，

22

已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为2025-688=1337(年)，

因为1271<1337<1368,所以该生物死亡的朝代为元(公元1271~1368年).

故选：B

10.B

答案第10页，共18页

TTTC

【分析】证明得到「是以三为周期的函数，排除C、D.再研究0,-的函数性质，借助导数即可.

24」

【解析】r(，)=|2sin2，|+|sin4，|,厂,+]]=2sin2^6,+^+8104^+^=|2sin2^|+|sin46,|=

可以得到「是以?TT为周期的函数，所以尸的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.

2

7T

由于A、B项均关于y=x对称，所以仅研究夕£0,-,此时，令

r=2sin2e+sin48,/=4(cos2，+cos4，)，令cose=/w[0,l],则/=/(，)=2»+”1=0,

解得r=g(负数根-1舍去)，则/⑺在0,1单调递减，1』]单调递增，即厂⑻在(0,小单调递增，在

[今:]有且仅有一个极值点，所以。尸不会一直增大，B正确.

(注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，选B)

故选：B

11.ACD

【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A,B；应用对称性定

义计算判断C,先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.

【解析】对AB,/(^)=X3-3X2+5,，'(X)=3/一6X,

当x>2或无<0时，当0<x<2时，r(x)<0,所以函数〃x)在(f,0),(2,y)上单调递增,

在(0,2)上单调递减，

所以“X)极大值="0)=5,〃力极小值="2)=1,又2)=—15,

所以函数〃x)仅有1个零点，且该零点在区间(-2,0)上，故A正确，B错误；

对C,由/'(x)=x，-3x?+5=X?(x—3)+5,得

/(l+x)+/(l-x)=(l+x)2(l+x-3)+5+(l-x)2(l-x-3)+5=6,

所以函数的图象关于(1,3)对称，故C正确；

对D,设切点为(玉,片-3需+5),则:(%)=3焉—6%,故切线方程为-3x；+5)=(3%-6%)(了-%)，

又过点(3,1),所以1-(片一3需+5)=(3片-6%)(3-毛)，整理得尤：一6¥+9%一2=0,

即(其-4%+1乂/-2)=0,解得%=2或%=2+石或%=2-石，所以过(3,1)可以作三条直线与y=/(x)

答案第11页，共18页

的图象相切，故D正确.

故选：ACD.

12.BC

【分析】求出函数（（无），再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零

点个数判断D.

【解析】依题意，/'（x）=e*+cos尤，

对于A,/'（0）=2,/（0）=1,所求切线方程为y=2尤+1,A错误；

对于B,当尤>0时，f'（x）=ex+cosx>l+cos%>0,/（x）在区间（0,+oo）上单调递增，B正确；

对于C,'=*'=8$了在（-兀,0）上都单调递增，则函数/'（x）在（-兀,0）上单调递增,

「(-兀)=尸-1<0,/'(0)=2,则存在唯一尤0G(-兀,0),使得/'(%)=0,

当时，（。）<0；当x°<x<0时，/（无）>0,因此/Q）在七处取得极小值，C正确;

对于D,由选项C知，尸⑴在（一无,0）上有唯一零点，又于（0）=2,

当x>0时，/'（x）=e"+cos尤>1+cosxN0,即（无）>0,

因此广。）在区间（-兀,+s）上有1零点，D错误.

故选：BC

13.ABD

【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可.

【解析】对于选项A：因为的定义域为R,

且/'（x）=2（x-l）（x-4）+（x-1）?=3（x-l）（x-3）,

当xe（l,3）时，y/（x）<0,当或xe（3,+e）时，f（x）>0,

可知在（-双1）,（3,+8）上单调递增，在（L3）上单调递减，

所以尤=1是函数/（X）的极大值点，故A正确；

对于选项B：/(2+x)+/(2—x)=(x+1)2(x—2)+(1—x)2(―x—2)=-4,故B正确;

对于选项C：对于不等式-4</（2x-l）<0,因为了

QQ

即关=:为不等式7</（z2.L1）<0的解，但x=/（l,2）,

答案第12页，共18页

所以不等式-4</(2x-1)<0的解集不为{X|l〈x<2},故C错误;

对于选项D：因为0<x<],贝!JOvsinxvl,sinx-sin2x=sinx(l-sinx)>0,

可得0vsin2x<sinx<1,

因为函数/'(X)在(0,1)上单调递增，所以“siiuAlsin、)，故D正确;

故选：ABD

14.AC

【分析】利用指数运算即可判断A选项；利用函数的奇偶性即可判断B选项；利用指数函数的值域即可判

断C选项；利用导数求出双曲余弦函数cosh(x)=《著的单调区间，结合函数的单调性即可判断D选项.

【解析】A选项，cosh?(另一sinh?(x)=[4:]<二二]=£!宁二一老宁二=葭故A正确；

B选项，由于双曲余弦函数cosh(x)=WJ为偶函数，

双曲正弦函数sinh(x)=1^为奇函数，

则y=cosh(x)sinh(x)为奇函数，故B错误;

sinh(x)ex-e-xe2-l_12

C选项,

cosh(x)ex+e-xe2x+l~~e2x+l

2

Xe2x+l>l,所以0<寸c2,

e+71

2

则T<1—kT<l，故C正确；

e+1

D选项,(cosh(x))=sinh(x)，令(cosh(%))=0得了=。,

当%>0时，(cosh(%))>0，cosh(x)单调递增;

当％v。时，(cosh(x))<0»cosh(x)单调递减;

所以cosh(%)在％=0处取得最小值1.

y=sinh(x)在R上单调递增，且当%f-8,sinh(x)—>-oo；

当％f+8,sinh(x)f+oo.

所以，当直线，=〃呜y=cosh(x*Dy=sinh(尤)共有3个交点时，加目1,+力)，故D错误.

答案第13页，共18页

故选：AC

15.ABC

【分析】求出函数/(x)的零点为〃?=1,根据题中定义可得出函数g(x)的零点为〃e［0,2］,令

/?(x)=-(0<x<2),可知k一。，直线与函数〃(x)在(0,2］上的图象有公共点，利用导数分析函数"(X)的

X

单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.

【解析】易证是(0,+8)上的增函数，且/(1)=0,则m=1.

因为与g(x)互为“零点相邻函数”，所以|〃?-〃区1，即|1-"区1，解得OOV2.

因为g⑼=1片0,所以〃片0,所以e'+ar=0在(0,2］上有解，

即-a=《在(0,21上有解.设人⑴=-(0<x<2),则h'⑺=(1)"<%v2).

XXX

由〃(x)>0,得1<%W2,由〃(x)<0,得0<x<l,则/z(x)在(0,1)上单调递减，

在(1,2］上单调递增.因为当x30时，且Ml)=e,如下图，

所以/z(x)Ne,即一a2e,解得°W-e.

故选：ABC

16.BCD

【分析】对于A,设Mx)=〃x)-g(x),利用导数判断无(力的零点是否存在;对于B,求函数g(x)=lnx的

反函数即可判断；对于C,设曲线y=〃尤)关于直线>=一工对称的曲线是y=0(x),设P(x,y)是曲线

y=o(x)上任意一点，则尸关于直线y=-X的对称点在曲线、=〃尤)上，代入可求y=0(x)解析式；利用A

选项的结论可得D选项的结果.

【解析】已矢口/(x)=g_?,g(x)=lnx,

答案第14页，共18页

11Y2_1

对于A,设无(尤)="%)-8(%)=彳/一m无，函数定义域为(0,+8),h'(x)=x——=-——，

2xx

〃⑺<0解得0<x<l,"(x)>0解得尤>1,

则〃(x)在(o』)上单调递减，在。,也)上单调递增，〃红)的最小值为MD=g>o,

恒成立，；x2-lnx=0无解，

所以曲线y=〃x)与y=g(x)没有公共点，A选项错误；

对于B,函数g(x)=lnx的反函数为y=e，，

所以y=g(x)关于直线>=彳对称的曲线是y=e"B选项正确；

对于C,设曲线y=〃x)关于直线y=r对称的曲线是y=e(尤)，

设尸(工,y)是曲线y=姒尤)上任意一点,则P关于直线y=-X的对称点为尸'(-y,T),

1

代入y=〃x)中，得一尤=5(-y)9,即V=-2x,

所以曲线y=〃x)关于直线k-X对称的曲线是y2=_2x,C选项正确；

对于D,由A选项可知，当f=l时，的最小值为〃(l)=g,D选项正确.

故选：BCD.

17.AC

【分析】利用奇函数和中心对称性可得A正确；由“8)片〃0)可得B错误；由〃x+4)=〃x)+4可得C

正确；设g(x)=/(x)-x,由周期性可得D错误.

【解析】对于A,因为/(x+4)=/(x)+4,所以〃x+4)—4=〃尤)，

又是定义在R上的奇函数，所以〃x+4)—4=-〃-彳)，即〃x+4)+〃r)=4,所以〃x)图象关于

点(2,2)中心对称，故A正确；

对于B,/(x+4)=/(x)+4,所以〃x+8)=/(x+4)+4=〃x)+8,

所以〃x+8)—〃x)=8,

又〃尤)是定义在R上的奇函数，所以〃。)=。，所以〃8)=〃0)+8=8,

所以〃8)w〃0),所以8不为的周期，故B错误；

答案第15页，共18页

对于C,因为y（x+4）=/（x）+4,所以/（2025）=/（2021）+4=/（2017）+8==/（!）+2024,

又当xe(O,2)时,f(x)=ex,所以"1)=」，所以“2025)='+2024,故C正确；

ee

对于D,因为〃x+4)=〃x)+4,

设g(x)=/(x)-x，贝！lg(x+4)=〃x+4)_(x+4)=/(x)+4_x-4=〃x)_x=g(x)

所以4为g(x)的周期，

又“X)是定义在R上的奇函数，所以g(O)=〃O)-O=。，

所以方程f(尤)=尤等价于g(%)=0在［0,2025］上共有507个不同的实数解.

故选：AC.

18.AC

【解析】结合全称命题真假求参数、充分必要条件，函数单调性问题等逐项判断即可.

【分析】对于A,由。+6>0,得a>-b,b>-a,由在R上是增函数，

得/(a)>/(—6),/(b)>/(—a),因此+,A正确；

对于B,W>,不能推出x>y,例如卜但—2<1；

也不能推出W>N，例如2>—3,而|2|〈卜3|；

因此“|x|>3”是“x>y”的既不充分也不必要条件，B错误；

对于C,Vxe(2,3),3x-a〈0oo)3x,因此aN9,即。的取值范围为aN9,C正确；

对于D,解不等式5+4彳-炉20,得WW5,函数的定义域为［T5］,

y=5+4x-V开口向下，对称轴为x=2,则函数y=j5+4x-d的减区间是［2,5］,D错误.

故选：AC

19.ACD

【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求了。)，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假;

根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假.

【解析】对A：因为〃x+l)为奇函数,所以〃x+l)=-〃r+l),

令尤=0,则/(O+l)=_/(-O+l)n2/(l)=On/(l)=O,A正确.

答案第16页，共18页

对B：由+=得〃X+1)+〃T+1)=0,贝I]〃X)+〃T+2)=。，即/(x)的图象关于点

(LO)对称，B错误.

对C：当时，/(x+l)&/(x)+l,则*2)2/⑴+1=1,/(3)>/(2)+1>2,/(4)>/(3)+1>3,故

C正确；

对D：根据C选项，递推可得：“100)2/(99)+1299,因为4100)+〃-100+2)=0,所以/(100)=-/(-98),

则一了(一98)299,得98)4—99,故D正确.

故选：ACD

20.ABD

【分析】A选项，根据对称性得到〃T)=〃X-4),再结合/(冷+"—)=-2得至!]/(》+8)=/("，即可

得到了(元)的周期，然后利用周期求函数值即可；B选项，利用对称性求解析式，然后判断单调性；C选项，

根据+/(-%)=-2得到对称中心；D选项，将函数y=-1gx的零点个数转化为y=〃力与y=1gx

图象的交点个数，然后结合图象求零点个数.

【解析】因为〃力的图象关于x=-2对称,所以〃—x)="(x—4),

X/(%)+/(-%)=-2,所以〃力+〃*-4)=一2,

则〃x-4)+〃x-8)=-2,所以/(x)=〃x-8),所以，

所以〃x)的周期为8,

所以〃2025)=〃8x253+l)=〃l)=；,故A正确；

当彳五一2,0)时，一无«0,2),所以〃_尤)=一白=_2-〃切，

所以〃x)=-2+；x,

当xe(2,4)时，x—4e(—2,0),所以〃x-4)=一2+；(犬一4)=-2-〃x),

所以〃到=-1+2,所以〃尤)在(2,4)上单调递减，故B正确；

由/⑺+”—x)=-2得〃x)的图象关于点(0,-1)对称，故C错；

函数y=〃尤)-igx的零点个数可以转化为y=〃尤)与y=igx图象的交点个数，

答案第17页，共18页

由题意得y=〃x)与y=igx的图象如下:

由此可得y=〃x)与y=igx的图象有2个交点,

所以y=/(x)Tgx有2个零点，故D正确.

故选：ABD.

21.(4,6)

【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围.

【解析】根据题意画出图象，得至1]0＜。＜1,1＜6＜4,4＜。＜6,

1

f(a)=-log2a=log2a=/(&)=log2b,贝!|一log?a=log2b,

gp0=log2&+log2d!,贝！j0=log2。6，贝=贝!|o6c=ce(4,6).

故答案为：(4,6).

【分析】由单调递增得出。所满足的不等式组，求解即可.

【解析】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数,

且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.

3a■—1>0

所以色2，解得:＜a七.

2

（3a-1）x2+46/W2?-2a+5

所以〃的取值范围为.

答案第18页，共18页

故答案为：.

23.0

【分析】根据奇偶性得至Uf(4-尤)=一/(2-尤)，进而推导出了(X)是周期为4的函数，利用周期性求函数值

即可.

【解析】由〃x+2)为偶函数，/(x+2)=/(-x+2),BP/(x)=/(4-x),

由/(x+1)为奇函数，/(x+l)=-/(-x+l),即/(力=一/(2-劝，

所以/(4-x)=-f(2-x),gp/(4+%)=-f(2+.r),即/(x+2)=-/(x),

所以/(x+4)=-/(x+2)=f(x),即〃尤)是周期为4的函数，

所以〃2025)=/(4x506+1)=/⑴，又/⑴=_/(2—1)=/⑴=0,

所以“2025)=0.

故答案为：0

24.{尤|尤<2023或无>2025}

【分析】由题意构造爪x)=x"(x),进而尸(无)在(-吗0)上是增函数，根据奇偶函数的定义判断尸(%)的奇偶

性，原不等式等价于歹(尤-2024)〈歹(-1),结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.

【解析】令/(x)=x"(x),

则F,(x)=2V(x)+x2/，(-^)=M2f(x)+Vf(-^)]，

由当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0,所以•F'(x)=x[2/(x)+#'(x)]>0,

即歹(X)在(-8,0)上是增函数，

由题意/(x)是定义在R上的偶函数，所以『(-尤)=〃尤),

所以厂(-X)=(-x)2/(-x)=x2f(x)=F(x),

所以尸(x)是偶函数，在(。,+◎递减，

所以尸(尤-2024)=(尤-2024)2/0-2024),F(-l)=(-l)2/(-D=/(-I)，

即不等式等价为F(x-2024)<F(-l),

所以|x-2024|>l,解得x<2023或x>2025.

故答案为：{,尤<2023或无>2025}

答案第19页，共18页

25.(>/e,+ao)

【分析】构造g(x)=/(d)-41nx-3,求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可.

【解析】解：令g(x)=f(x2)-41nx-3

「当x>0时，矿(x)<2,

所以当f>0时,

・•・g'(x)<0,故g(x)在(0,+8)上为减函数,

4-g(x)=/(x2)-41nx-3<0,

所以x>加■,

故不等式/(/)-41!«<3的解集为(加,+“)

故答案为：(血，+”)

26.(。，2)

【分析】要使函数》=8。)恰有3个零点，即>=加与>=/(3-x)的图象有3个交点，画出图像，用数形结

合即可求得结果.

【解析】令g(x)=m-f6-x)=G,得f(3-尤)=相，

若3—%43,则/(3-x)=2-13-%|；

若3—%>3,则％<0"(3—x)=(3—]—3尸=*.

「..2-(3-x),0Vx<3x-l,0<x<3

所以y="3_x)=『，4;20=,2+(3-x),x>3

v-x+5,x>3,

12

X'"x,x<0x2,x<0

画出其图象如图所示，当光=3时，y=2.

答案第20页，共18页

/\7=加

y=f(3-x\

由图可知，要使函数>=g