2025年高考数学复习：函数模型及其应用【六大题型】

专题2.8函数模型及其应用【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】...................................................2

【题型2已知函数模型解决实际问题】..............................................................4

【题型3构造二次函数模型】......................................................................5

【题型4构造指数、对数函数模型】...............................................................7

【题型5构造分段函数模型】......................................................................8

【题型6函数模型的选择问题】....................................................................9

►考情分析

1、函数模型及其应用

考点要求真题统计考情分析

（1）了解指数函数、对数函

数与一次函数增长速度的

差异函数模型是高考数学的重要内容之

⑵理解“指数爆炸”“对数2020年新高考全国I卷：第6一，从近几年的高考形势来看，高考对

增长”“直线上升”等术语题，5分函数模型的考查相对稳定，一般以选择

的含义2020年全国in卷:第4题，题与填空题的形式出现，难度不大；学

⑶会选择合适的函数模5分生在复习中要加强对建模能力和应用能

型刻画现实问题的变化规力的培养.

律，了解函数模型在社会

生活中的广泛应用

►知识梳理

【知识点1几种常见的函数模型】

1.一次函数模型

一次函数模型：兀0=依+6（左力为常数，际0）.

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

2.二次函数模型

二次函数模型：7（x）=ax2+fcv+c（a,6,c为常数，存0）.

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

3.塞函数模型

幕函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.

4.指数函数模型

指数函数模型:/(x)=6a*+c(a,6,c为常数，a>0,且*1,厚0).

4.对数函数模型

对数函数模型：/'(x)=61og“x+c(a,仇c为常数,a>0,且存1，—0).

6.分段函数模型

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有

广泛的应用.

7.“对勾”函数模型

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：产ar+g(a>0,b>0),当x>0时,

在1d上递减'在(1，+8)上递增•另外'还要注意换元法的运用.

【知识点2判断函数图象与实际问题变化过程的解题策略】

1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排

除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

【知识点3实际问题中函数建模的基本步骤】

1.构造函数模型解决实际问题的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果

要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

►举一反三

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】

【例1】(2024•海南•模拟预测)下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为()

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学;

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）某公司在30天内4商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足

下方图象所示的函数，4商品的销售量Q（万件）与时间t的关系是Q=40-a则下列说法正确的是（）

③最大日销售额为120万元④最大日销售额为125万元

A.①③B.①④C.②③D.②④

【变式1-2]（2023•北京门头沟•一模）在声学中，音量被定义为：Lp=201g*,其中J是音量（单位为流?），

P。是基准声压为2x10-5Pa,P是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，

人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB,

1000Hz对应的听觉下限阈值为OdB,则下列结论正确的是（）

A.音量同为20dB的声音，30~100Hz的低频比1000~10000Hz的高频更容易被人们听到.

B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.

C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa.

D.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍.

【变式1-3]（2024•全国•模拟预测）如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假

设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（）

A.野生水葫芦的面积每月增长量相等

B.野生水葫芦从9m2蔓延到36m2历时超过1个月

C.设野生水葫芦蔓延到9m2,20m2,40m2所需的时间分别为匕，打，则有G+匕＜2^

D.野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均

速度

【题型2已知函数模型解决实际问题】

【例2】（2024•广东茂名•一模）Go〃驴e〃z曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，

肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f（x）=kabT（其中人＞

0,6＞0,a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.若久=

1表示该新产品今年的年产量，估计明年0=2）的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对数的底

数）（）

A.—B.—C.V5-1D.V5+1

22

【变式2-1］（23-24高三上.北京通州•阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C=

仞og2（l+§，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；洒信噪比.香农公

式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当J=99,W=2000Hz时，最大数据传输速率记为6；当］=9999,

加=3000Hz时，最大数据传输速率记为。2，则合为（）

C1

A.-B.-C.—D.3

324

【变式2-2］（2024•陕西安康•模拟预测）若一段河流的蓄水量为。立方米，每天水流量为k立方米，每天往

这段河流排水r立方米的污水，贝狂天后河水的污染指数机⑴=（+（如-。e与（如为初始值,领＞0）.现

有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排

污水，要使河水的污染指数下降到初始值的点需要的天数大约是（参考数据：ln7=1.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【变式2-3］（2024.四川.模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实

现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.如果用声强/（单位：W/m2）表示

声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级L（单位：dB）与声强/的函数关系式为L=L0lg（a/）,

其中为基准声强级，。为常数，当声强/=日时，声强级L=20dB.下表为不同列车声源在距离20m处的

声强级：

声源与声源的距离（单位：m）声强级范围

内燃列车20[50,80]

电力列车20[20,50]

高速列车20{10}

设在离内燃列车、电力列车、高速列车20m处测得的实际声强分别为/I//，则下列结论正确的是（）

A.Lo=30B.>I2C.I2>10/3D.<100/2

【题型3构造二次函数模型】

【例3】（2023•江西九江•模拟预测）随着新冠病毒的暴发，感染人数越来越多，医疗资料受到极大的挑战,

某地政府开始建立方舱医院，建筑公司为某方舱医院一病区预备的建筑材料总长为158米，计划建立24间

病房，分为两排，过道的宽为1米，病房的长为x米，如图所示，如何设计病房的长、宽才能使单间病房面

积最大？

【变式3-1］（2024•上海青浦•一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速u（公里/小时）

控制在[60,120]范围内.已知汽车以0公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗(所需要的汽

油量)为2("—左+等)升，其中卜为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60WkW120.

(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油

耗不超过9升，求车速"的取值范围；

(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

【变式3-2](2022•上海虹口・一模)某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元(包括4万元和8万元)

的小微企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.

设企业纳税额为x(单位：万元)，补助款为f(x)=；/一族(单位：万元)，其中人为常数.

42

(1)分别判断6=0,6=1时，f(x)是否符合发放方案规定，并说明理由；

(2)若函数/(%)符合发放方案规定，求b的取值范围.

【变式3-3](2023・上海嘉定•二模)某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万

元.为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计，若能动员x(x€N*)户农民从

事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x%,而从事蔬菜加工的

农民平均每户的年收入为2(a—。％)(a>0)万元.

(1)在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总

年收入，求久的取值范围；

(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的

农民的总年收入，求a的最大值.

【题型4构造指数、对数函数模型】

[例4]（2024•陕西西安・模拟预测）2023年10月31日，国务院新闻办举行“权威部门话开局”系列主题新

闻发布会的第28场发布会.会上提出蒙古国、中国，包括东北亚的日本、韩国，都是沙漠化的受害者，所以防

沙治沙、植树造林符合本地区各国和人民当前及长远利益.根据对中国国家整理的中国沙尘暴资料的分析，发

现持续时间大于t的沙尘暴次数N满足N=a-10-tb,目前经测验4地情况气象局发现，t=300时，次数N=

5j=600时，次数N=3,据此计算N=4时对应的持续时间t约为（）

（参考数据：lg2x0.301,lg3-0.477）

A.389B.358C.423D.431

【变式4-1]（2024.宁夏银川•一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变

化规律为、=卜严，其中。（单位mAh）为电池容量损失量，p是时间f的指数项，反映了时间趋势由反应

级数决定，上是方程剩余项未知参数的组合，与温度T和电池初始荷电状态M等自放电影响因素有关.以某

种品牌锂电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得p=0.5,相关统计学参数R2>0.995,且预

测值与实际值误差很小.在研究M对。的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量

随时间的变化规律为Q=ktp=e（»BM）tP,经实验采集数据进行拟合后获得4=2.228,8=1.3,相关统计

学参数#=0.999,且预测值与实际值误差很小.若该品牌电池初始荷电状态为80%,存放16天后，电容

量损失量约为（）

（参考数据为：e322~25.08,e3232«25.33,e3265~26.26,e3628®37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【变式4-2]（2024•湖南长沙•三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是

由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M=lg2-IgA。，其中M表示某地地震的里

氏震级，4表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，4。表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一

次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000,且这次地震的标准地震振幅为0.002,则该

地这次地震的里氏震级约为（）（参考数据：0.3）

A.6.3级B.6.4级C.7.4级D.7.6级

【变式4-3]（2023•陕西咸阳・模拟预测）陕西榆林神木石期遗址发现于1976,经过数十年的发掘研究，已

证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人

体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：t=

57301n(—)+0.693(其中t为样本距今年代，出为现代活体中碳14放射性丰度，4为测定样本中碳14放射

性丰度)，已知现代活体中碳14放射性丰度40=1.2XICT%该人类骨骼碳14放射性丰度2=7.4xIO-%

则该骨骼化石距今的年份大约为()(附：lnl.6216=0.4834,lnl.7=0.5306,Ini.5=0.4055)

A.3353B.3997C.4125D.4387

【题型5构造分段函数模型】

【例5】(2023•上海普陀•模拟预测)某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，

超额中的第一个5万元(含5万元以下)，按超额部分的2%提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额

部分的4%提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个2%.如销售员某月销售额为27万元,

则按照合约，他可得奖金为50000x2%+(70000-50000)x4%=1800元.试求：

(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？

(2)若某销售员7、8月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、

最小值分别是多少？

【变式5-1](2023•上海浦东新•三模)某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途

中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这

样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出

行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租

价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米(不含15千米)部分按超起租里

程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.

你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？

(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？

(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.

【变式5-2]（2024.江苏南通.二模）某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围

内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y（单位：毫米/立方米）随着时间x（单位：小时）变化

的关系如下：当0WXW4时，y=芸一1；当4〈久W10时，y=5-^x.若多次喷洒，则某一时刻空气中

的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低

于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.

（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？

（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（l<a<4）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中

能够持续有效消毒，试求a的最小值（精确到01，参考数据：/取1.4）

【变式5-3]（2024.上海宝山•模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相

依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这

种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间x（单位：小时）变化的函数为u=

/256,.„.

------%+64，0V%v4

，+4—，已知当x=4时，a的值为28,且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作

、a（12—x）/4<%<12

用.

（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）

（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量。关于时间x的函数为u=

0<%<12,记aw为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出U2的最大值.（结果精确到0.1）

【题型6函数模型的选择问题】

【例6】（2024.上海崇明.二模）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电

动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度

v（单位：km/h）的数据如下表所示:

V0104060

M0132544007200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量〃与速度口的关系，现有以下三种函数模型供选择：

32

①Mi（u）=—v+bv+cv；②M2（U）=1000•+a；③M3（u）=3001ogav+b.

（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数

解析式；

（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到8地，其中高速上行驶200km,国道上行驶30km,若高速路上该

汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足N3）=2v2-10v+200（80<v<

120）,则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【变式6-1］（2024•全国•模拟预测）某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加.我们

收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下:

月份（m）12345678910

产量（W）1.02072.00002.57822.99743.31393.57893.80414.00004.17364.3294

产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①W=b♦aq②W=6•机气③皿=b+logam；

@W=a+-.（各式中均有a>0,b>0）.

m

（I）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；

（II）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模,

求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好.

【变式6-2］（23-24高一上•浙江湖州•期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越

高.某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速80km/h（不含80km/h）.经多次测试得到，该汽车每小

时耗电量M（单位：Wh）与速度u（单位：km/h）的数据如下表所示.

V0103070

M0132533759275

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：

32

M（v）=v+bv+cv,M（u）=1000•修）+a,M（u）=3001ogav+b.

（1）当0<u<80时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为400km.若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时

的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：Wh）最小？并计算出该最小值.

【变式6-3］（23-24高一上.上海.期末）浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某

校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数PQ）与第x天近似地

满足函数POO=8+：（万人），k为正常数,且第8天的打卡人数为9万人.

工+从请你根据上表中

的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费CQ）（元）与第x天的关

系，并求出该函数的解析式;

（2）确定k的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入f（x）（1W久W30,x为正整数）的最

小值（单位：万元）.

（注：日营业收入=日打卡人数P（x）x人均消费CO））.

►过关测试

一、单选题

1.（2024.青海海西•模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五

号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力

的情况下，火箭的最大速度。（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量?n（kg）的函数关系是u=

20001n（l+\）.按照这个规律，当1000M=8m时，火箭的最大速度为女；当1000M=4m时，火箭的最

大速度为攻.则丹-%（参考数据：ln|||=0.004）（）

A.8.0km/sB.8.4km/sC.8.8km/sD.9.0km/s

2.（2024.宁夏吴忠.模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q

（单位：L）与速度u（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.Q=0.5"+aB.Q=avb

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

3.（2024.内蒙古赤峰.一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动

一周，0、尸两点连线的距离y与点尸走过的路程x的函数关系如图，那么点尸所走的图形是（）

必

OIX

T

4.（2024•全国•模拟预测）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便.某共享单车公司

计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：

甲城市收益P（单位：万元）与投入a（单位：万元）满足P=3后-6,乙城市收益Q（单位：万元）与投入4（单

位：万元）满足Q=；A+2,则投资这两座城市收益的最大值为（）

4

A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元

5.（2024.北京通州.二模）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位:

月）的关系式为S=M+i（a>0,且aRl）,图象如图所示.则下列结论正确的个数为（）

①浮萍每个月增长的面积都相等；

②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；

③浮萍面积每个月的增长率均为50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t2,t3-则ti+t2=t3.

6.（2024•北京怀柔・模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环

境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为左立方米，已知污染

源以每天厂个单位污染河水，某一时段M单位：天）河水污染质量指数爪（t）（每立方米河水所含的污染物）

满足机（t）=*+（爪0-。0-宗（爪0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现

在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的；，需要的时间大约是（参考数据：ln5=1.61,

6

ln6«1.79）（）

A.1个月B.3个月C.半年D.1年

7.（2023・北京•模拟预测）血药浓度（PlasmaConcentration^）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在

人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1

单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

J

U

I不

一最低中毒浓度（MTC）

安

ohU峰浓度

I

)全

幽

范

理

围

名&

目-----最低有效浓度（MEC）

,

疝、时）

O12345^6―7—7rli

——持续期------J残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中:

①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；

③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.

其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2023•江西南昌•二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒.出于对学

生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室.已

知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间f（分钟）之间的函数关系为y=

0.1t,0<t<10

，函数的图像如图所示.如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最

迟是（）

A.7：00B.6：40C.6：30D.6：00

二、多选题

9.（2024.河南•模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：k=Ae-^（R和4均为大于0

的常数），k为反应速率常数（与反应速率成正比），T为热力学温度（T>0）,在同一个化学反应过程中

以为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为A和72时，反应速率常数分别为七和B（此

过程中力，R与％的值保持不变），贝U（）

A.右则七>七

B.若丁>12，则七<々2

C.若T2=3T「一黑=加，则ln?=|"

D.若72=371，——M,则In答=|M

10.（2023・全国•模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线.为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间x（单位：天）之间的函数关

（7

-----X+1,0<%<1

系霁x.则下列说法中正确的是（）

”（劫EK3。

A.随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低

B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多

C.9天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%

D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%

11.（2024.全国.模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状

态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测

得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分钟）之间满

足函数关系y=aeRt（a,R为常数,e是自然对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可

以安全进入车库了，则下列说法正确的是（）

A.a=128

B.R=-\n2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

三、填空题

12.（2024.广东广州.模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒，等于10T8秒，原子核内部作用

过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子•天下》中提到，“一尺之例，日取其半，万世不竭”，如果把“一

尺之梗”的长度看成1米，按照此法，至少需要经过天才能使剩下“梗”的长度小于光在2“阿托秒”内

走过的距离.（参考数据：光速为3x108米/秒，［g2yo.3,lg3=0.48）

13.（2024・上海长宁•二模）甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：

甲乙丙

接单量f（单）783182258338

油费S（元）107150110264110376

平均每单里程左（公里）151515

平均每公里油费a（元）0.70.70.7

出租车空驶率=鳖给需鬻警；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型a=

出租车仃驶的总里程

f（s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、x%,贝卜=.（精确到0.01）

14.（2024.北京.模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等

的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

种植密度（株数/n?）

5

45

4

3

Z4

2

1

区域代号

O

根据上表所提供信息，第号区域的总产量最大.

四、解答题

15.（2024・贵州六盘水•模拟预测）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶

因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用85K的水泡制，再

等到茶水温度降至60久时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化

的冷却模型：若物体的初始温度是%。c,室温是品久，则经过时间单位：分钟)后物体的温度e(单位:

℃)满足。=。0+(的-/)•e-kt,其中々为正常数.该研究小组在19K的室温下，通过多次测量取平均值的

方法，测得200mL初始温度为98汽的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示：

从98冤降至85久所需时间3.4分钟

从98久降至80久所需时间5.0分钟

(1)从上表中选取一组数据求出发的值(精确到0.01),并根据上述冷却模型写出冷却时间f关于冷却后水温

。的函数解析式；

(2)在(1)的条件下，现用200mL水在19久的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多

少分钟？(精确到0.1分钟)

(参考数据：ln79«4.369,ln66«4.190,ln61«4.111,ln41«3.714)

16.(2023•上海杨浦・一模)企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成.生产

成本固定为每台130元.根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为/(x)万元.两

者满足关系：/(%)=220-x(0<%<220)

(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元.求甲企业能获得利润的最大值；

(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元.问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大;

(假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变)

(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调

整，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大)求动态平衡时，两企业

各自的产量和利润分别是多少.

17.(2024•浙江金华•模拟预测)太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件,

太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下，入射光功率密

度p=9(E为入射光能量且E>0,S为入射光入射有效面积)，电池板转换效率〃(0<r]<100%)与入射光

功率密度p成反比，且比例系数为4.

⑴若k=2,S=1.5平方米，求蓄电池电能储存量。与E的关系式；

(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量/=Q+E-i,锂离子蓄电

池的放电量/=及+".设SNl,k>1,给定不同的Q,请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好,

应该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量Q=/E；

②当S,k,。一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

18.(2023・上海嘉定•一模)李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每

天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里.考虑从48两款车型中选择其一，A款车是燃油

车，B款车是电动车，售价均为30万元.现提供关于两种车型的相关信息：

4款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元.车险费用4000元/年.购置税为售价的10%.购车后，车价每年

折旧率为12%.保养费用平均2000元/万公里；

B款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元.车险费用6000元/年.国务院2022年出台文件，宣布保持

免除购置税政策.电池使用寿命为5年，更换费用为10万元.购车后，车价每年折旧率为15%.保养费用平均

1000元/万公里.

(1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素(至少3个，不超过5个)；

(2)为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.

19.（2024・北京・二模）为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核

心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生

产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台（xeN+）需要另投入成本以久）（万元），当年产量久不足

45台时，a（x）=工久2+30%―300万元，当年产量%不少于45台时，a（久）=61久+至U-900万元.若每台设

2x+1

备的售价与销售量的关系式为（60+詈）万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.

（1）求年利润y（万元）关于年产量%（台）的函数关系式；

（2）年产量x为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

专题2.8函数模型及其应用【六大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】...................................................2

【题型2已知函数模型解决实际问题】..............................................................4

【题型3构造二次函数模型】......................................................................5

【题型4构造指数、对数函数模型】...............................................................7

【题型5构造分段函数模型】......................................................................8

【题型6函数模型的选择问题】....................................................................9

►考情分析

1、函数模型及其应用

考点要求真题统计考情分析

(1)了解指数函数、对数函

数与一次函数增长速度的

差异函数模型是高考数学的重要内容之

⑵理解“指数爆炸”“对数2020年新高考全国I卷：第6一，从近几年的高考形势来看，高考对

增长”“直线上升”等术语题，5分函数模型的考查相对稳定，一般以选择

的含义2020年全国in卷:第4题,题与填空题的形式出现，难度不大；学

⑶会选择合适的函数模5分生在复习中要加强对建模能力和应用能

型刻画现实问题的变化规力的培养.

律，了解函数模型在社会

生活中的广泛应用

►知识梳理

【知识点1几种常见的函数模型】

1.一次函数模型

一次函数模型：式x)=fcc+b/力为常数，片0).

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

2.二次函数模型

二次函数模型：为常数，

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值

问题常用到二次函数模型.

3.塞函数模型

幕函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.

4.指数函数模型

指数函数模型：/'(x)=ba，+c(a,6,c为常数，a>0,且存1,厚0).

4.对数函数模型

对数函数模型：/■(工)=6108/十，3力,亡为常数,a>0,且分1,厚0).

6.分段函数模型

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有

广泛的应用.

7.“对勾”函数模型

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+^(a>Q,b>0),当x>0时,

在©J1d上递减'在(\W，+8)上递增.另外'还要注意换元法的运用.

【知识点2判断函数图象与实际问题变化过程的解题策略】

1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排

除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

【知识点3实际问题中函数建模的基本步骤】

1.构造函数模型解决实际问题的基本步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

(3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果

要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

►举一反三

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】

【例1】(2024•海南•模拟预测)下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为()

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学;

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间;

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①

【解题思路】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.

【解答过程】对于事件①，中途返回家，离家距离为0,故图像④符合；

对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合;

对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；

故选：A.

【变式1-1]（2024•全国•模拟预测）某公