2025年高考数学复习之复数（含解析）

2025年高考数学解密之复数

­.多选题（共15小题）

1.（2024•南通模拟）己知复数z/z2,满足|zj|z2快0,下列说法正确的是（）

2

A.若IZ]|=|Z2I,则Z；=Z2B.|Z]+z?|[Z]|+1z?|

C.若z,wR,则五£HD.|斗2|=|Z]|匕I

一Z2

2.（2024•南通模拟）已知％,Z2都是复数,下列正确的是（）

A.若Z]=Z2,贝!）2必2£「B.若ZK£R,则4=z2

C.若匕|=%|,则z；=z；D.若z；+z；=0,则|Z]|=|Z2|

3.（2024•贵港模拟）已知复数4,z2,z3,则下列说法中正确的有（）

A.若Ze?=Z1Z3，则4=。或Z2=Z3

B.若z1」+&则茶2416

-------1

122122

若；；

C.z+z=0,贝！Jzx=z2=0

D•Z]Z]—z[z】,则I4|=|z2|

4.（2024•阳江模拟）设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.若|z|=l,贝!]z=±1或z=土，

B.若|z—（2+i）|=l,贝!J|z|的最小值为百—1

C.若z=J5—21,则|z|=7

D.若掇J|z|母,则点Z的集合所构成图形的面积为万

5.（2024•潍坊二模）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，/（z）=z2就是一个多项式复变函数.给

定多项式复变函数/（Z）之后，对任意一个复数Z。，通过计算公式Zm=/（Z〃），可以得到一列值Z。，

4，z2,...»,....如果存在一个正数使得|zn|vM对任意〃wN都成立，则称z°为/（z）的收敛

点；否则，称为f（z）的发散点.则下列选项中是〃z）=z2的收敛点的是（）

A.V2B.-iC.1-iD.---f

22

6.（2024•辽宁模拟）已知z满足六l—i）=z+①，则（）

A.z=T+i

B.复平面内z对应的点在第一象限

C.zz=17

D.Z的实部与虚部之积为T

7

7.（2024•安徽模拟）已知i为虚数单位，复数z=一下列说法正确的是（）

z（3+i）

A.

B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

3._

C.n

5

为纯虚数

D.z+4

5

8.（2024•重庆模拟）已知复数z,w均不为0,贝！］（）

zZ2

A.Z2=|Z『B.N=JC.z—w=z-wD.

z|z|中唱

9.（2024•延边州模拟）已知4、Z2都是复数,下列正确的是（)

A.若|Z[|=|z21,则Z]=±z2B.\zxz21=|zx\\z21

C.若|4+Z21=|4—Z21,贝!JziZ2=0D.z{-z2=•z2

10.（2024•湖南模拟）已知i为虚数单位,下列说法正确的是（)

A若复数z岩，则,一

B.若|4|>|Z21,则z；>z；

C.若Z2WO,贝力五|二皿

z

z2l2I

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

11.（2024•琼海模拟）设z-Z2为复数，则下列结论中正确的是（）

A.若工为虚数，则.也为虚数

4

B.若|Zi+i|=l,则|z"的最大值为亚

C.I"|=|"|

D.[Z]—z?[|Z1|+1z?|

12.（2024•安徽模拟）若复数4,Z2是方程f-6》+12=0的两根，贝1|（）

2

A.4,Z2实部不同

B.4,Z2虚部不同

C.|4|=2』

D.幺士三在复平面内所对应的点位于第三象限

2-z

13.（2024•遵义二模）关于复数z,下列结论正确的是（）

A.z=-----

z

B.若|z|=2,贝！Jz=l+gi

C.z=（1+z）10=a+bi{a,beR）,则6=C：。xP=1。

D.若z+N=l,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

14.（2024•河池模拟）已知i为虚数单位，复数z「Z2为方程/-2x+5=0的两个根，则下列选项中正确

的有（）

A.|z；|=|z21

B.Z[Z]=|zJ

C.复数.在复平面上对应的点在第二象限

D.五•（五）=1

Z]z2

15.（2024•莆田三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+N=O,则三=iB.若ZN=2|2|,贝!J|Z|=2

Z

C.若4=三，则4=zD.若|z+z/=0,则ZiN+|z『=0

二.填空题（共5小题）

16.（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数.

1-?------

17.（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6=3彳+161,则|z|=.

18.（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,贝卜/=.

19.（2024•金溪县校级模拟）复数z的实部为

n-zi+z—

20.（2024•天津）已知，是虚数单位，复数（后+＞（,-2。=.

三.解答题（共5小题）

3

21.(2024•贵阳模拟)在复数集中有这样一类复数：z=a+6z•与彳=。(a,6eR),我们把它们互称为共

辗复数，6x0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共辅复数的特点.它们还有如下性质：

(1)z+z=2ae7?

(2)z—三=2W(当6中0时，为纯虚数)

(3)z=z<=>ze7?

(4)(I)=z

(5)z-z=a2+b2=\z^=\z^.

(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共轨复数，分别等于两个复数的共轨复数的和、差、积、

商.

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

(1)设z",|z|=l.求证：二■5是实数；

1+Z

7

(2)已知|z/=3,%|=5,匕―Zzl=7,求，的值；

Z2

(3)设z=x+yi,其中x,y是实数，当|z|二l时，求|z?-z+l|的最大值和最小值.

22.(2024•西山区模拟)我们把%+%尤+〃2工2+…+为/=0(其中%w0,〃wN*)称为一元〃次多项式方

程.

代数基本定理：任何复系数一元〃(〃$N*)次多项式方程(即4,q,出，…，4为实数)在复数集内至

少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元双〃£N*)次多项式方程在复数集内有且仅有〃个复数根(重

根按重数计算).

那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元双〃WN*)次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为

〃个一元一次多项式的积.

即。0+%%+。2%2+—+。/"=4〃(％—。1)*1(%—%)”..(％—。机卢，其中2,UieN*,匕+/+…+左加=〃，/，

%,a、为方程4+4%+出炉+•••+〃/"=。的根•

进一步可以推出：在实系数范围内(即旬，4,a2,a〃为实数)，方程“0+…=。的

有实数根，则多项式。0+平+。2/+…必可分解因式.例如：观察可知，X=1是方程三_1=0的一

个根，则(X-1)一^定是多项式1的一'个因式，即1=(%—1)(依2+Zzx+C),由待定系数法可知，

a=b=c=l.

4

(1)解方程：x>-2x+l=0；

23+

(2)/(x)=a0+axx+a2x+a3x,其中旬，%,a2,a3&R,且4+%+02+。3=1.

23

(i)分解因式：x—((70+atx+a2x+a3x)；

(而)记点尸Oo，%)是y=/(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证：当

%+2al+3%,1时，%=1.

23.(2022•上海模拟)设复数z2=cos0+ism0,其中Ce[0,万].

(1)若复数Z=I"2为实数，求。的值；

(2)求|34+句|的取值范围.

24.(2021•株洲模拟)2知复数Z“=%+%/(%、b„eR),满足4=1,Z,.=亥+1+2i(〃eN*),其中(为

虚数单位，益表示Z”的共辗复数

(I)求心|的值；

(II)求Z]。。.

25.(2024•大祥区校级模拟)高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z=a+沅对应复平面内的点Z,

设NXOZ=g,|OZ|=r,则任何一个复数z=a+>z■都可以表示成：z=r(cos6+isin。)的形式，这种形式

叫做复数三角形式，其中厂是复数z的模，。称为复数z的辐角，若0”6<2]，则。称为复数z的辐角主

值，记为argz.复数有以下三角形式的运算法则：若马=4(cosg+isinq),i=l,2,...n,贝！j：

Z]-z2•…-z”…/[cos©+a+…+q,)+isin(q+q+…+q)],特别地，如果

z；=z2=...zn=r(cos6+isinO'),那么[r(cose+isin。)]"=/'(cos〃e+isin"e),这个结论叫做棣莫弗定理.请

运用上述知识和结论解答下面的问题：

(1)求复数z=l+cos9+isin。，(1,2乃)的模|z|和辐角主值argz(用。表示)；

(2)设&2024,neN,若存在满足(sine+icos。)'=sin〃e+icos〃e,那么这样的〃有多少个？

(3)求和：S=cos200+2cos400+3cos60°+...+2034cos2034x20°.

5

2025年菁优高考数学解密之复数

参考答案与试题解析

多选题（共15小题）

1.（2024•南通模拟）已知复数z「z2,满足IZJ-IZZIHO,下列说法正确的是（）

A.若|劣|=匕|,则z；=Zz2B.|Zj+z21„Izj|+|z21

「z

C.ZjZ2eR,则3D.\ztz2\=\zt\\z2\

一z2-一

【答案】BD

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数学运算；计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数

【分析】对选项A,C,利用特殊值法即可判断A,C错误，对选项3,根据复数模长的性质即可判断3

正确，对选项。，根据复数模长公式即可判断。正确.

【解答】解：对选项A,设4=1+，/2=01,

22（）2；

贝力4|=仁21=夜，=<1+0=2z,Z2=^2i=-2,不满足Z=Z22,故A错误；

对选项5,设4，Z2在复平面内表示的向量分别为I，5,且Z1，Z2,O,

当方向相同时，I另+^1=闰1+1日I'

当圣目方向不相同时，IX+KMKI+I^TI，

综上|马+Z2||4|+1Z2|,故5正确；

对选项C,设％=l+i,z2=l-i,2仔2=(1+1)(1—i)=2£R,

Zi_1+z(l+i)2

=i^R故C错误;

Z21-Z(1-Od+O

对选项Z),设Z[=a+6i,z2=c+di,a,b,c,d/O,

ZjZ2=(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

222222

贝！)|Z[Z21=y1(ac-bd)+(ad+be)=^/(ac)+(bd)+(ad)+(be),

I4||z?|=Va2+t>2■y]c2+d~={(tie)。+(bd?+(adj+(be?=|ZjZ1,

2

故。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题.

6

2.（2024•南通模拟）已知z一4都是复数，下列正确的是（）

A.若Z]=z?,则ZjZ2eRB.若z/?eR,则z1=z2

C.若|Z1|=|z?I，则z；=z；D.若z；+z；=0,贝力4|=匕|

【答案】AD

【考点】复数的运算；复数的模；共轨复数

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

（分析】结合复数的基本概念及复数的四则运算及复数的运算性质检验各选项即可判断.

【解答】解：若Z[=Z2，则Z]Z2=z?・Z2eR,A正确；

当Z=2i,Z2=z•满足ZKeR,3显然错误；

2

当Z1=l,Z2=Z•时，满足|21|=匕|,但Z：=l,Z2=-1,C显然错误；

设Z]=o+6i,z2=c+di（a,b,c,d都为实数），

；；22

若z+z=0,则z,=-Z2,

所以|z；R-z??|=匕21,

所以|Z]『=|Z2『，ipIZ11=1z2I,。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查了复数的基本概念，复数的运算性质的综合应用，考查了分析问题的能力，属于中

档题.

3.（2024•贵港模拟）已知复数zrz2,z3,则下列说法中正确的有（）

A.若z/2=Z,z3,贝!IZ]=0或Z2=Z3

C.若z；+z；=0,则％=z?=0

D.ZjZ]=z2z2,贝|匕|=匕|

【答案】ABD

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数系的扩充和复数；转化思想；数学运算；计算题；综合法

【分析】对于A,由题意可得4%-23）=0进而即可得解；

7

对于5,由题意可求Z：以3为周期，进而可得Z；°24=zF74+2=z；=-g—*i,即可得解；

对于C,取Z1=l,z2=/,即可判断得解；

对于。，利用复数的模的定义即可求解.

【解答】解：对于A,Z1Z2=Z/3OZ1（Z2—Z3）=OOZ1=0或Z2=Z3,故A正确；

对于B,去」一2,z：=l,zt=--+^-i,所以z：以3为周期，

所以zf024=z；*674+2=z；=_!一更i,故3正确；

11122

对于C,取Zi=l,z2=i,

则z；+z；=0,止匕时4WZ2，故。错误；

2

对于Z）,44=匕|2,z2z2=|z21,

所以44=Z2z2M4|=|Z21,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了复数的运算，考查了转化思想，属于中档题.

4.（2024•阳江模拟）设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有（）

A.若|z|=1,贝！Jz=±1或z=±，

B.若|z-（2+，）|=1,则|z|的最小值为若-1

C.若z=6-2力,则|z|=7

D.若1别z|V2,则点Z的集合所构成图形的面积为万

【答案】BD

【考点】复数对应复平面中的点

【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数

【分析】对于A，结合特殊值法，即可求解；对于3,结合复数的几何意义，即可求解；对于C,结合复

数模公式，即可求解；对于£>,结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：对于A,令z，+2i,满足|z|=l,但2=±1或z=±，不成立，故A错误；

22

对于5,|z-（2+z）|=1,

则点Z的轨迹为以（2,1）为圆心，1为半径的圆，

|z|表示圆上的点到原点（0,0）的距离，

8

则|z|的最小值为7(2二故3正确;

对于C,z=6-2i,

则|Z|=J(7W+(_2)2=币,故C错误；

对于£>,设2=4+此则|z|=4a1+匕2

因为陶|z|0夜，

所以1轰必片+620,

所以点Z的集合所构成的图形的面积为万(友产-万•『=〃，所以。正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，复数模公式，属于基础题.

5.(2024•潍坊二模)定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，/(z)=z2就是一个多项式复变函数.给

定多项式复变函数/(z)之后，对任意一个复数4,通过计算公式ZM=/(ZW),“cN可以得到一列值z。，

Z1,z2,...,zn,....如果存在一个正数Al,使得|z,|<M对任意“cN都成立，则称Z。为/(z)的收敛

点；否则，称为了⑵的发散点.则下列选项中是f(z)=z2的收敛点的是()

A.0B.-iC.1-zD.—z

22

【答案】BD

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的乘法及乘方运算；复数的模

【专题】综合法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数

【分析】根据计算公式Z向=/(z“)=z；结合收敛点的定义判断即可.

【解答】解：对A,由z“M=z；可得数列2,4,16…不合题意，故A错误；

对3,由z“+]=z；可得数列一i,-1,1,1...

则存在一个正数M=2,使得对任意都成立，满足题意，故3正确；

对C,由Z“M=Z；可得数列l-i,-2i,-4,16…不满足题意，故C错误；

对D,由z,+|=z；可得数列!一走i,一工一走i,一!+走i,一工一走i…

22222222

%1A/31731V3173

因为1:一_，1=|一:_一"=|一二+<，1=|一:一k7|=]，

22222222

存在一个正数M=2,使得|z”|<M对任意”eN都成立，满足题意，故。正确.

9

故选：BD.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

6.（2024•辽宁模拟）已知2满足引1-。=2+卫，贝1」（）

2-1

A.z=T+1

B.复平面内彳对应的点在第一象限

c.zz=n

D.Z的实部与虚部之积为T

【答案】ACD

【考点】共辗复数；复数的运算

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数z,逐一判断各选项是否正确.

【解答】解：设2=%+歹（%,丫€7?）,

则由已知得（>M）（f=x+M+空，即…-（F）--1+（，+2»，

所以厂…一：解得广丁

{-x-y=y+2,（y=l,

所以z=Y+i,则彳=Y-i,其对应点为（-4,-1）,在第三象限，故A项正确，8项错误;

z2=（T+i）（T-i）=17,z的实部为T,虚部为1,

所以z的实部与虚部之积为T,故C,。项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

7.（2024•安徽模拟）己知i为虚数单位，复数z=^^,下列说法正确的是（）

i（3+i）

.回

A.|z|=^-

B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限

3

C.-Z-z<0

5

D.z+工为纯虚数

5

【答案】ABC

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；方程思想；数系的扩充和复数；定义法

【分析】化简复数z,逐一核对选项检验即可.

10

【解答】解：z===203i）=U,

z（3+i3）i（3-i）（1+30（1-3z）5

'毋T否A।—1_j1+3z।Jl+9\/10工诉

选项A,zH------=---------=------，正确；

555

选项3,复数Z在复平面内对应的点为《，一|）,位于第四象限，正确;

选项C,-Z-^3L=--<0,正确；

555

选项。，匕汇+1=2-3,，不是纯虚数，错误.

5555

故选：ABC.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

8.（2024•重庆模拟）已知复数z,卬均不为0,则（）

A.z2=|z|2B.三C.z-w=~z—wD.|-1=

z\z\wIw\

【答案】BCD

【考点】共甄复数；复数的模；复数的运算

【专题】数系的扩充和复数；数学运算；转化思想；综合法

【分析】利用复数的运算性质对四个选项逐一判断可得答案.

【解答】解：•.•复数z,■均不为0,

对于A,不妨令z=3则z2=-l,|z|2=l,z2z|2,A错误;

2

对于5,三=—=J,3正确；

zz-z|z|2

对于C,由复数的运算性质，可得。=彳-刃，C正确；

—I|2

对于D,I三|2=三•（三）====耳，

WWWW-WIw\

故I=|=1£1,。正确.

WIw|

故选：BCD.

【点评】本题考查复数的运算，属于中档题.

9.（2024•延边州模拟）已知4、Z2都是复数，下列正确的是（）

A.若|Z[|=|z21,则4=±z2B.|乎21=14IIZ2I

C.若I4+Z21=14—Z2I,贝UZ[Z2=0D.zx'z2=zx'z2

【答案】BD

【考点】复数的模；共轨复数；复数的运算

11

【专题】转化法；转化思想；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，复数模的性质，复数的概念，即可求解.

【解答】解：令4=1,z?=i,满足|2]|=匕|,但4=±Z2不成立，故A错误；

由复数模的性质可知，Iz©|=|4||Z21,故5正确；

令4=1,z2=i,满足|马+Z2|=|4-Z21,但乎2=0不成立，故。错误；

设4=a+bi(a,beR),z2=c+di(c,dGR),

Z1•Z2=(a+bi)(c+成)=ac—bd+{ad+bc)i，

z2=(a-bi)(c-di)=ac-bd+{ad+bc)i,故D正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

10.(2024•湖南模拟)已知i为虚数单位，下列说法正确的是()

A.若复数z=l±i,则Z3°=T

1-z

B.若|4|>|Z21,则z；>z；

C.若Z,WO,贝力五|=皿

Z2|z21

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

【答案】AC

【考点】复数的运算；复数的模

【专题】数系的扩充和复数；综合法；转化思想；数学运算

【分析】根据复数的运算性质逐项判断即可.

【解答】解：对于A,因为z=虫=-(1+犷="=i,所以z3°=严=胪=-1,故A正确；

1-1(1-0(1+/)2

对于5,取4=21,Z2=1满足|Z]|,但z；=-4,z；=1,所以z；>z；不成立，故B错误；

对于C,若Z2W0,根据模的性质|五|=⑷，故C正确；

Z2lZ2I

对于。，复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z-i|=2,则点Z的轨迹是线段，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查复数的运算性质，属于中档题.

11.(2024•琼海模拟)设z一句为复数，则下列结论中正确的是()

12

A.若L为虚数，则.也为虚数

zi

B.若|z+i|=l,则|z"的最大值为应

C.|不|=|Z]Zz|

D.[Z]—z?[[Z1|+1z?|

【答案】ACD

【考点】复数的模；复数的运算

【专题】数学运算；定义法；数系的扩充和复数；对应思想

【分析】对于A,由'=二=为虚数，得为虚数，从而可判断A,对于3,由z=-2i进行判断，对于

Z[2[.Z]

C,设4=°+方，z2=c+di(a,b,c,deR),然后分别求解|z,|,|zp|进行判断，对于。，根据复

数的向量表示及向量的不等式分析判断.

【解答】解：对于A,因为,=」=为虚数，为实数，所以)为虚数，所以4也为虚数，所以A正

Z[Z]•Z]

确，

对于当Z]=-2i时，满足|Z[+i|=l,此时|Z||=2＞五，所以3错误，

对于。，设Zi=a+Z?i,z2=c+di(a,b,c,deR),贝!J

Zi•z2=(a+bi)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

Z1•Z2=(a+bi)•(c—di)=(ac+bd)+(Jbc—ad)i,

所以IZ]•Z21=J(a人-Id)2+(ad+，c)2=yj(ac)2+(bdf+(ad)2+(be)2,

22

\zx-z21=y/(ac+bd)+(be-ad)={(ac)2+3dy+(ad?+(Jbef,

所以|乎2H4Z21,所以。正确，

对于。，设4，Z2确定的向量分别为西，西，则由向量不等式得I西-鬲I”I西|+|西I，

所以|4-Z2I,,I4I+IZ2I恒成立，所以。正确，

故选：ACD.

【点评】本题考查复数的运算，属于中档题.

12.(2024•安徽模拟)若复数4,Z2是方程6%+12=0的两根，贝1]()

13

A.4,Z2实部不同

B.4,Z2虚部不同

C.|4|二2』

D.幺士三在复平面内所对应的点位于第三象限

2-z

【答案】BC

【考点】复数的除法运算；复数对应复平面中的点；复数的模

【专题】定义法；数系的扩充和复数；方程思想；数学运算

【分析】在复数集内解方程炉-6》+12=0,求出尤=3±也》，再根据复数的模及其几何意义、共物复数、

复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，逐项判定，即可求出结果.

【解答】解：因为方程/-6x+12=0可化为（x-3）2=-3,所以x=3土石，

则z-z?是共轨复数，实部相同，虚部互为相反数，所以A错误，3正确；

因为|z"=|3土也i|=2g,所以C正确；

因为幺上2=工=叫+9九

2-z2-z55

所以若1在复平面内所对应的点为（£3）'

位于第一象限，所以。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查复数的运算，属于基础题.

13.（2024•遵义二模）关于复数z,下列结论正确的是（）

.--

A.z=-----

z

B.若|z|=2,贝！|z=l+y/3i

C.若2=（1+犷°=a+砥a,beR）,则。=C：。xP=10

D.若z+彳=1,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

【答案】AD

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模；复数的运算

【专题】计算题；整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】由复数的运算和几何意义运算可得结果.

【解答】解:对于A,设z=。+加（4,6eR）,则|z,

14

所以2=°-庆，所以|z『=z-2=/+/,故A正确；

对于3，若|z|=2,则/+6?=4,所以z不一定是1+省『，故3错误；

对于C,因为2=（1+犷°=[（1+。2]5=（2犷=32»,所以》=32,故C错误；

对于D,设z=o+6i（a,6eR）,则彳=a-Z>i,所以z+N=2a=l,所以°=工，所以z在复平面内对应的点

2

的轨迹为一条直线，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

14.（2024•河池模拟）已知i为虚数单位，复数z-Z?为方程尤2-2尤+5=0的两个根，则下列选项中正确

的有（）

A.|Z1|=|z2|

B.4%=|为『

C.复数为在复平面上对应的点在第二象限

D.五•（2）=1

Z2Z2

【答案】ABD

【考点】复数的模；复数的运算

【专题】数学运算；综合法；计算题；转化思想；数系的扩充和复数

【分析】由题意可知：z?=I，进而可判断A；结合Z与=|z|2可判断BD；根据复数的几何意义判断C.

【解答】解:对于选项A：由方程f-2x+5=0解得x=l±2i,可知:Z2=Z],所以|4|=|z1|=|z?|,故A

正确；

对于选项B：对于任意复数z=a+沅，则三=。-友，可得=（。+庆）（。-应）=/+Z?2=|z『，所以Z[Z]=|Z]|2,

故3正确；

对于选项C：由方程尤2-2尤+5=0解得左=1土2乙即4=l+2i或Z1=l-2i,可知复数为在复平面上对应

的点在第一象限或第四象限，故C错误；

对于选项。：由选项3可知：=五.（五）=|五|2=（皿）2=（乃』）2=1.故。正确.

z2z2|z21|z）I

故选：ABD.

15

【点评】本题考查复数运算、复数模，考查数学运算能力，属于中档题.

15.（2024•莆田三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

z

A.若z+N=O,则二=iB.若z.彳=2|z|,贝!J|z|=2

z

C.若Z]=i\则z=zD.若|z+z"=0,则z/5+|z『=0

【答案】BCD

【考点】复数的乘法及乘方运算

【专题】数系的扩充和复数；定义法；方程思想；数学运算

【分析】利用共轨复数的定义可判定A、C,利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定3、D.

【解答】解：由z+5=0,得二=一1,则A错误.

Z

因为z-N=|z『，所以|z『=2[z],解得|z|=2或|z|=0（舍去），则3正确.

设z=a+bi（a，bwR,且w0）,

则4=彳=°-尻，所以Z[=a+6i=z,则C正确.

由|z+4|=0,得.=-z.

设z=a+Z?i(o,bwR,且漏片0),贝!J•彳=—zN=-(/+6?),

\z^=a2+b2,从而z「5+|z『=0,则。正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查复数的应用，属于基础题.

二.填空题（共5小题）

16.（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数工1=1+3/

1-z一

【答案】1+3）.

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

【分析】由已知结合复数的四则运算进行化简即可求解.

4+2z(4+2z)(l+02+6z>

【解答】解:口=(j)(1+i)=丁*13,

故答案为：1+31.

【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

17.（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6=35+16"则lz|=5

【考点】复数的模；共辗复数

16

【专题】数学运算；转化思想；转化法；数系的扩充和复数

【分析】设2=0+庆，根据复数的共轨复数、复数相等列方程组解得“，b,再根据模长公式求解即可得

答案.

【解答】解：设z=a+6i(a,6eR),则。+初+6=3a-3加+16力，于是I""3a

b=-3b+16

a=3

解得=5.

b=4

故答案为：5.

【点评】本题考查复数的共轨复数、复数相等，属于基础题.

18.(2024•松江区二模)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),则3z=_-2+i

【答案】-2+z.

【考点】复数的运算

【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据复数的运算性质计算即可.

【解答】解：由题意得：z=l+万，

故反=汨+2。=-2+i,

故答案为：-2+z.

【点评】本题考查了复数的运算，是基础题.

19.(2024•金溪县校级模拟)复数z=±L的实部为史」.

Il-zl+z—3—

【答案】迫二L

3

【考点】复数的运算

【专题】数学运算；转化思想；数系的扩充和复数；转化法

【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合实部的定义，即可求解.

【解答】解：因为1=4£=(lT)(0i)=史匚_叵!,

|1-/|+;近+i333

所以z=4的实部为交二*■.

故答案为：正匚.

3

【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题.

17

20.(2024•天津)己知i是虚数单位，复数(如+力•(君-2i)=_7-石i_.

【答案】7-百.

【考点】复数的运算

【专题】转化法；转化思想；数学运算；数系的扩充和复数

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

【解答】解:(y/5+i)-(y/5-2i)=5-2V5i+s/5i+2=7-y/5i.

故答案为：7-也i.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，是基础题.

三.解答题(共5小题)

21.(2024•贵阳模拟)在复数集中有这样一类复数：z=a+bi与2=a-bi(a,beR),我们把它们互称为共

物复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共辗复数的特点.它们还有如下性质：

(1)z+z=2a&R

(2)z-2=2fo•(当bwO时，为纯虚数)

(3)z=NozwR

(4)(f)=z

(5)z-z=a2+b2=|z|2=|z|2.

(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共软复数，分别等于两个复数的共辗复数的和、差、积、

商.

请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：

(1)设ZH，，|z|=l.求证：二^是实数；

1+Z

z

(2)已知|z"=3,|z2k5,|Z|-Z2l=7,求」的值；

Z2

(3)设2=%+",其中X,y是实数，当|z|=l时，求|z2-Z+1I的最大值和最小值.

【答案】(1)证明见解答；

Z1335

(2)—=---±----1；

z21010

22

(3)|z-z+l|mav=3,|z-z+l|mi.„=0.

【考点】共轲复数；复数的模；复数的运算

【专题】数学运算；综合法；数系的扩充和复数；整体思想

18

【分析】(1)设2=々+初(〃/£&,利用z・N=l,z+z=2a^R,可证得一J■是实数;

1+Z

(2)设幺=p+qi(p,qeR),结合题意，可得关于〃，乡的方程组，解之即可；

z?

(3)设z=cose+isin9,9QR,依题意，可得|z?-z+l|=|2cos6-1],从而可求得|z?-z+l|的最大值

和最小值.

【解答】解：(1)证明：^z=a+bi(a,b&R),zWi|z|=1,

.'.Z'Z=1z+z—2a^Ry

z_Z2=」;是实数;

l+z2z•z+zz+z

z

(2)^—=pqi(p,qGR),

Z]

贝IjZ1={p+qi)z2,

,44|=3，|z21=5,|4—Z21=7，

/.p2+q2=-

25

又7=|Z\—z?K(7?+^)z2-z2HZ2II(p-l)+qi[=5«p-1尸+.，

.,.(p-l)2+/=_^|②；

联立①②，解得p=-』，q=±述，

1010

43工3区

z21010

(3)•」z|=l,设z=cos9+，sin9,0^R,

贝！J|z‘-z+11=|z?—z+z•彳|=|z(z+z—1)|=|z||z+z-11=|2cos0—l\,

•.•一瓒bos。1,

二.一3张电cos。一11,

2

」Z2-Z+1K=3,|z-z+l|ra,„=0.

【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考查转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档题.

22.(2024•西山区模拟)我们把/+平+“2*2+...+。“靖=。(其中。,尸0,"eN*)称为一元〃次多项式方

程.

代数基本定理：任何复系数一元〃("eN*)次多项式方程(即旬，％,电，…，。"为实数)在复数集内至

19

少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元〃SEN*)次多项式方程在复数集内有且仅有〃个复数根(重

根按重数计算).

那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元〃(〃£N*)次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为

n个一元一次多项式的积.

即4…=々〃(%—%)6(%—12)”..(1—/找卢，其中左，meN*,匕+左2+…+鼠=〃，4