2025年高考数学复习之解答题（含解析）

2025年高考数学解密之解答题

一.解答题(共25小题)

1.(2024•泸州模拟)设函数/(无)=|2尤-2|+|尤+2].

(1)解不等式/(X),,6-尤；

(2)令/(尤)的最小值为7；正数a,b,c满足a+Z?+c=T,证明：-+-+.

abc3

2.(2024•长安区一模)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设限sinA=a(2+cosB).

(1)求3；

(2)若AABC的面积等于石，求AABC的周长的最小值.

9Z7?

3.(2024•天津)在AABC中，cos3=—,b=5,-=

16c3

(1)求a；

(2)求sinA；

(3)求cos(B—2A).

4.(2024•天津)设函数=

(1)求/(%)图像上点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若/(%)..〃(工-«)在xw(0,+oo)时恒成立，求a的值；

1

(3)若石,x2e(0,l),证明|/(%)-/(无2)I”一管户,

5.(2024•西城区模拟)如图，在三棱柱ABC-A耳G中，侧面AACG为正方形，AB±AC,AB=AC=2,

。为BC的中点.

(I)求证：4(^//平面&耳。；

(II)若ACL45,求二面角方-曲-A的余弦值.

B

6.(2024•抚州模拟)已知四棱锥尸-ABCD的底面是一个梯形，AB//DC.ZABC=9Q°,AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=y/V7.

(1)证明：平面e4Z5_L平面ABCD；

(2)求二面角C-R4-O的余弦值.

2

7.(2024•盐湖区一模)已知尸|、鸟是双曲线d-0=1的左、右焦点，直线/经过双曲线的左焦点《,

与双曲线左、右两支分别相交于A、3两点.

(1)求直线/斜率的取值范围；

(2)若耳B=3AB,求AAOB的面积.

8.(2024•一模拟)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且AD是边上的

高.(sinA-sinB)(a+b)=(c-0b)sinC.

(1)求角A;

(2)^sin(B-C)=—,a=5,求

10

221o

9.(2024•梅州模拟)己知椭圆C:5+[=im>6>0)的离心率为L且经过点7(1,士).

ab22

(1)求椭圆C的方程；

(2)求椭圆C上的点到直线/:y=2x的距离的最大值.

10.(2024•江西模拟)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它

22

们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆G：土+2=1(0<6<2),双曲线C,是椭圆C1的“姊妹”圆锥曲线,

4b

q,与分别为G，G的离心率，且60=孚，点N分别为椭圆G的左、右顶点.

(1)求双曲线C?的方程；

⑵设过点G(4,0)的动直线/交双曲线C?右支于A,3两点，若直线AM,3N的斜率分别为加，kBN.

⑺试探究心与原N的比值—是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；

^BN

7

(而)求坟=窥+§凝v的取值范围.

11.(2024•贵州模拟)已知函数/■(x)=Hnx.

(1)若函数g(x)=/(x)-a有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)己知A。，％),B(X2,y2),C(x3,%)(其中为<忍且为,x2,三成等比数列)是曲线y=/(x)

2

上三个不同的点，判断直线AC与曲线y=/(x)在点3处的切线能否平行？请说明理由.

12.(2024•德城区校级三模)设函数/(无)=d+acosx,aeR.曲线y=〃尤)在点(0,/(O))处的切线方

程为y=x+2.

(I)求a的值；

(II)求证：方程f(x)=2仅有一个实根；

(III)对任意xe(0,+co),有f(x)＞无sinx+2,求正数k的取值范围.

13.(2024•天津)已知四棱柱中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AA_L平面ABCD,

AD1AB,其中AB=A/\=2,AD=DC=1.N是耳G的中点，M是的中点.

(1)求证：ON//平面C旦M；

(2)求平面CBM与平面BB.C.C的夹角余弦值;

(3)求点3到平面的距离.

14.(2024•毕节市模拟)某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工

会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数(千步为单位)，并将样本数据分为[3,5),

[5,7),[7,9),…，[17,19),[19,21]九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.

(I)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数;

(II)据统计，在样本数据[3,9),[9,15),[15,21]的会员中体检为“健康”的比例分别为』』』，

535

以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.

频率

3

15.(2024•南开区校级模拟)已知AABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,满足已知

ccosB+bcosC=-----•

2cosA

(1)求角A的大小；

(2)若cosB=,求sin(23+A)的值；

(3)若AABC的面积为生叵，a=3,求AABC的周长.

3

16.(2024•开福区校级三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，B4_L底面ABCD,底面ABCD是矩形,

PA=2AD=4,且PC=2后，点E在尸C上.

(1)求证：班＞_L平面上4C；

(2)若E为尸C的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.

17.(2024•保定三模)如图，在三棱柱ABC-A耳G中，CA=CB,四边形AB4A为菱形，乙钻4=：，

AQ±4c.

(1)证明：BC=BBl.

(2)已知平面ABC_L平面AB4A，求二面角8-CG-A的正弦值.

18.(2024•东湖区校级一模)已知各项均不为0的数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=1,5“=q4：+1

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)若对于任意〃eN*,”成立，求实数X的取值范围.

4

19.（2024•如皋市模拟）如图，在三棱柱ABC-ABIG中，AC=BB、=2BC=2,ZCBB,=2NCAB=9,

且平面ABC±平面BgCB.

（1）求证：平面ABC_L平面ACB]；

（2）设点P为直线BC的中点，求直线A尸与平面AC月所成角的正弦值.

20.（2024•回忆版）已知双曲线。:9-/二皿〃0。），点/5,4）在。上，上为常数，0＜左＜1,按照如下

方式依次构造点匕（"=2,3,.）,过6_]斜率为左的直线与C的左支交于点。,1，令匕为关于y轴的

对称点，记匕的坐标为（乙，%）.

（1）若左=；,求尤2，〉2；

（2）证明：数列｛%-%｝是公比为生的等比数列；

1-k

（3）设S,,为^P„P„+lP„+2的面积，证明：对任意的正整数n,S“=Sn+l.

21.（2024•长安区校级一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且4=3,Sn=an+rr-1.

（1）求的通项公式；

（2）若」,Tn=b｝b2+b2b3+...+bnbn+l,求•

a„

22

22.（2024•江西一模）已知椭圆E:三+匕=1的左右顶点分别为A、3,点C在E上，点M（6,%）,N（6,yN）

95

分别为直线AC、3C上的点.

（1）求为》的值；

（2）设直线3M与椭圆E的另一个交点为D,求证：直线8经过定点.

23.（2024•河南模拟）设任意一个无穷数列｛%｝的前〃项之积为7；,若V〃eN*,Tn^[an],则称｛4｝是T

数列.

（1）若｛%｝是首项为-2,公差为1的等差数列，请判断他“｝是否为T数列？并说明理由；

（2）证明：若｛4｝的通项公式为。“=G2",则｛凡｝不是T数列；

5

(3)设｛4｝是无穷等比数列，其首项4=5,公比为q(q>0),若｛.“｝是T数列，求q的值.

24.(2024•江西一模)在AABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且AABC的面积为6,

点。是线段3c上靠近点3的一个三等分点，AD=1.

(1)若ZADC=—,求c；

3

(2)若廿+4°2=11,求sinNBAC的值.

25.(2024•河南模拟)如图所示，在△ABC中，点。在边3c上，且CD=2BD,E为边AB的中点.S是

平面ABC外一点，且(SA+SB)-SC=(AB+2AC)SC=0.

(1)证明：SC_LSD；

(2)已知DE=1,SD=娓,SE=3,直线3c与平面SDE所成角的正弦值为述.

3

(z)求△SDE的面积；

(而)求三棱锥S-ABC的体积.

6

2025年高考数学解密之解答题

参考答案与试题解析

解答题(共25小题)

1.(2024•泸州模拟)设函数/(x)=|2x—2|+|x+2|.

(1)解不等式/(x),,6-x；

(2)令/(尤)的最小值为7；正数a,b,c满足a+Z?+c=T,证明：-+-+.

abc3

【答案】(1){x|-3M1};(2)证明见解析.

【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明

【专题】数学运算；不等式的解法及应用；推理和证明；对应思想；分析法

【分析】(1)分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；

(2)分类讨论x的取值，求出了(无)的最小值为T,将d+0+3m+6+c)展开，利用基本不等式证明

abc

i14

(―+—+—)(a+6+c)..16,即可证明结论.

abc

【解答】解：(/)当％<一2时，/(x)„6-x,即一2x+2—x—2,6—x,解得x...—3,故一3,,x<—2；

当一2漱上1时，/(%),,6—％,即一2x+2+x+2,6—尤，/.4„6,贝！]一2漱上1；

当了>1时，/(%),,6—%,即2x—2+x+2,6—x,解得及，5，故/<不，5，

综上所述，原不等式的解集为{x|-3轰此|)；

(2)证明：若光<一2,贝!J/(%)=—3]>6；

若一2张上1,贝lJ/(x)=—x+4..3；

若x>1,贝!j/(x)=3x>3,

所以函数/(%)的最小值T=3,故a+"c=3.

又a、b,c为正数,

inii114_,.114.、/bac4ac4b..lba.c4a,c4Z?”

(z—I1—)x3—(—I1—)X/(Q+/?+c)—6H111--------11..6+2J——I-2J---F2J——=16.

abcabcabacbc\ab\ac\bc

当且仅当。=6=3,c=3时等号成立，

42

所以L雪上当

abc3

【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式的换一法，属于中档题.

2.(2024•长安区一模)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设J拓sinA=a(2+cosB).

(1)求3；

7

(2)若AABC的面积等于石，求AABC的周长的最小值.

【考点】基本不等式及其应用；解三角形

【专题】综合题；函数思想；转化思想；分析法；转化法；解三角形；不等式

【分析】(1)先利用边角互化将6bsinA=a(2+cosB)转化为关于3的方程，求出Nfi.

(2)因为3已知，所以求面积的最小值即为求ac的最小值，结合余弦定理和基本不等式可以求得.

【解答】解：(1)因为标sinA=a(2+cosB).

由正弦定理得退sin8sinA=sinA(2+cosB).

显然sinA>0,所以6sinB-cosZ?=2.

所以2sin(5——)=2，BG(0,^-).

6

匕匚n兀兀-2冗

623

(2)依题意叵^=退，r.ac=4.

4

所以〃+c..2y[ac=4,当且仅当a=c=2时取等号.

又由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=a2+c2+ac..3ac=12./.b..2y/3.

当且仅当a=c=2时取等号.

所以\ABC的周长最小值为4+2百.

【点评】本题主要考查解三角形、基本不等式等知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核

心素养，属于中档题.

QZ77

3.(2024•天津)在AABC中，cos5=Z,b=5,-=

16c3

(1)求a；

(2)求sinA；

(3)求cos(B—2A).

【答案】⑴4；(2)"；(3)—.

464

【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数；余弦定理

【专题】逻辑推理；数学运算；转化思想；函数的性质及应用；综合法

【分析】(1)设。=2左，则c=3h左>0,利用余弦定理能求出a；

(2)由同角三角函数关系式，先求出sin3.再由正弦定理求出sinA.

(3)利用二倍角公式求出sin2A,再由同角三角函数关系式求出cos2A,利用两角差三角函数能求出

8

cos(B-2A).

【解答】解：(1)在AABC中,COS5=2,b=5,-=

16c3

设a=2k,则c=3左，k>0,

9左2+4左2—259

/.cosB=—，

2x3左x2左16

解得k=2,

.a=2k=4；

(2)由(1)得a=4,c=6,sin5=Jl-

45

由正弦定理得上—,即

sinAsinBsinA5币

16

解得sinA=—

4

(3)-a<b,sinA=—<-=sin—,「.A是锐角，且A〈匹，

4244

3A/7

si.n2A=2sinAcosA=2x-7-7-xJI-

4V8

cos(B—2A)=cosBcos2A+sinBsin2A

915A/73a

=一X——I-----X----

168168

57

64

【点评】本题考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函数关系式、两角差三角函数等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

4.(2024•天津)设函数/(%)=%历x.

(1)求/(%)图像上点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若/(%)..”(X-6)在％w(0,+8)时恒成立，求a的值;

1

(3)若玉，x2G(0,l),证明1/(%)-1%一入21,

【答案】(1)y=x-l；

(2)2；

(3)详见解答过程.

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程

9

【专题】逻辑推理；导数的综合应用；数学运算；整体思想

【分析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义可切线斜率，进而可求切线方程；

(2)设g(t)=a(f-1)-2加,命题等价于对任意te(0,+oo),都有g(t)..O,利用特殊值赋值法，即可求解；

(3)结合重要不等式f-1.可先证明对0<a<6,有Ina+1<""—<Inb+1，然后结合王，羽的

b-a

各种情况进行证明即可.

【解答】解：(1)由于/(x)=x/nx,故/''(X)=人a+1,

所以f(1)=0,f'(1)=1,

所以所求的切线经过(1,0),且斜率为1,

故其方程为y=x-l；

11

(2)设/z⑺=/一1一/加，贝(==—,从而当Ovrvl时“«)<0,当1>1时〃«)>0,

tt

所以力⑺在(0,1］上递减，在口，+8)上递增,这就说明(1),

即/-1..如，且等号成立当且仅当，=1,

设g«)=2lnt，

贝！J/(x)-a{x-=xlnx-a(x-G)=—1)—21n—T=)=x,

五

当xe(0,y)时，《的取值范围是(0,+oo),

所以命题等价于对任意fe(0,+oo),都有g«)..O.

一方面，若对任意1w(0,+oo),都有g«)..O,则对％w(0,+oo),

112

■W—a(t—1)—2加，—a(t—1)+2历—ci(j—1)+2(—1)=at-\----Q—2,

取I=2,得Q,a—l,故a.1>。.

再取/=J—，得0,,a.J—F2,

——a-2—2~xJ2a—a-2——-,

aa

所以a=2.

另一方面，若a=2,则对任意/£(0,+oo)都有g(t)=2(t-1)-2lnt=2h(t)..0，满足条件.

综合以上两个方面知a=2.

证明：(3)先证明一个结论：对0<a<"<Ina+1</(Z?)~/(a)<Inb+1.

b-a

证明：前面已经证明不等式-1../加，

I几一

,,blnb-alnaalnb—alna,,

故---------=----------+ITnb=-r^n-+lTnb<l+lnb，

b-ab-a--1

a

10

口blnb-alnablnb-blnaA

且-------------=---------------FIrna=-------FITna>-------FIna=1+IRna,

b-ab-a1-—\~—

bb

71blnb-alna

所以Ina+1<---------<I1nbz+11,

b-a

日口71于（b）-f（a）771

即Ina+1<------<Inb+

b-a

由/'（%）=加+1，可知当。<%<,时，f\x）<0,当时—

ee

所以在（0,-］上单调递减，在［L+OO）上单调递增.

ee

不妨设与,马，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.

情况一：当!张叱/〈I时，有I/（%1）—/（%2）1=/（工2）一/（再）〈（加式2+1）（/一芯）<%2一%<J/一再'结论成

e

立；

情况二：当0<玉麴/2，时，有|/（玉）一/（%2）1=/（玉）一/（无2）=%"叫一％2加％

e一一一一

对任意的ce（0,-］,设夕⑴=xlnx-clnc-y/c-x，则（p\x）=lnx+\+—.

e2yjc-x

由于“⑴单调递增，且有

cC

+1+

2」应2e“岳

1r12

且当x..c----------x>一时，由一,..In——1可知，

4(勿2_i)222jc-x。

C

“(%)=Inx+1-1------->In—+1H---}-二—」---(In--1)..0.

24c—x22y/c—x21c—xc

所以“（%）在（0,c）上存在零点%,再结合“（%）单调递增，即知0〈Xv/0时d（无）<0,%vxvc时“（%）>0

故0(x)在(0,%］上递减，在区，c］上递增.

①当不领k。时，有0(%),,夕(c)=0；

②当0〈尤〈无。时，由于&/"■!■=—2/(丘),，-2/d)=2<l,故我们可以取qe(G/"Ll).

ceec

从而当。<%<―^—r时,由Nc—X>q4c,

1-4

可得e(x)=xlnx—clnc—yjc—x<—clnc—y/c—x<—clnc—q4c=\［c{4cln——^)<0?

c

再根据9(%)在(0,%］上递减，即知对0<xvx0都有0(x)vO；

11

综合①②可知对任意0＜用，c，都有0（球,0,即（p{x）=xlnx-clnc-y/c-x„0.

根据c£（0」]和0＜玉，c的任意性，取c=%2，%=玉，就得至（jx/nX]-/—%，，0

e

xxxlnx

所以17（%）-/（%2）l=f（i）-/（2）=\\-x2lrvc^-国

情况三：当o〈%麴A9＜i时，根据情况一和情况二的讨论，

e

可得I/（石）一/（一）I轰jX\J*2-％，"（—）一/（%）।烈卜2Q-X],

eveeVe

而根据〃x）的单调性，知|/（不）—/（毛）1,,或"5）T（X,）I,,"当一/（尤,）1・

ee

故一定有1/（尤1）-/（%）|,,-尤1成立.

综上，结论成立.

【点评】本题主要考查了导数几何意义在切削方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围,

及不等式的证明，属于难题.

5.（2024•西城区模拟）如图，在三棱柱ABC-A耳G中，侧面AACG为正方形，ABLAC,AB=AC=2,

。为BC的中点.

（I）求证：4（7//平面4片。；

（II）若ACLAB,求二面角D—AB1-A的余弦值.

【答案】（/）证明过程请见解答；（II）一*.

【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法

【专题】空间位置关系与距离；逻辑推理；向量法；空间角；转化思想；数学运算

【分析】（/）连接42,设A1B「M=E,连接DE,由中位线的性质知DE//AC,再由线面平行的判定

定理，即可得证；

（II）先证的，AC,相两两相互垂直，再以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，

即可得解.

12

【解答】(1)证明：连接AB,设AB「ABJ=E，连接上，则E为A|B的中点,

因为。为3c的中点，

所以。E//AC,

又ACC平面ABQ，£>Eu平面ABQ,

所以AC//平面A2Q.

y

(II)解：因为AB_LAC，AB±AC,且ACf|AC=C,

所以AB_L平面AACC1，

又Mu平面AACG，所以ABL/V"

又A4,_LAC,

所以AB,AC,招两两相互垂直，

故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),男(2,0,2),0(1,1,0),C(0,2,0),

所以福=(2,0,2)屈=(1,1,0),

设平面ABtD的法向量为〃z=(x,y,z),

则I"相=0,即(2x+2z=0,

[m-AD=0,[x+y=0.

令x=-l,所以m=(-1,1,1),

因为AC_L平面4至4，

所以AC=(0,2,0)是平面AABa的一个法向量,

13

所以*"品IrS

由题意知，二面角D-A4-A的平面角为钝角，

所以二面角£>-阴-A的余弦值为-手.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定、性质定理，以

及利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

6.（2024•抚州模拟）已知四棱锥尸-ABCD的底面是一个梯形，AB//DC.ZABC=90°,AB=BC=4,

CD=2,PA=PD=3,PB=PC=^V7.

（1）证明：平面A4£>_L平面ABCD；

（2）求二面角C-上的余弦值.

D

【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法

【专题】空间角；向量法；转化思想；数学运算

【分析】（1）分别取4），BC的中点O,E,连接OP,OE,PE,结合等腰三角形的性质与勾股定理,

可证OP_LAZ）,OP±OE,从而知OP_L平面ABCD,再由面面垂直的判定定理，即可得证；

（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解.

【解答】（1）证明：分别取AD,3c的中点O,E,连接OP,OE,PE,

在直角梯形ABCD中，OE=1（AB+C£>）=3,AD=«AB-CD?+BC?=26,

因为PA=PD=3,

所以OP_LA£）,MOP=^PA2-（|AD）2=2,

又PB=PC=历,E是3c的中点，

2

所以PE=Jpg?_（lfiC）=-J13,

所以O产+o“2=尸左，即OPrOE,

=O,AD,OEu平面ABCD,

所以OP_L平面ABCD,

14

因为OPu平面B4D,所以平面上4D_L平面ABCD.

(2)解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(4,4,0),C(0,0,0),。(2,0,0),尸(3,2,2),

所以AP=(-1,-2,2),CA=(4,4,0),04=(2,4,0),

、门fa乙小,心目、।.m-AP=-x-2y+2z=0

设平面P4C的法向重为机=(%,y,z),则<

m-CA=4x+4y=0

取％=—2,则y=2,z=l,所以沆=(一2,2,1),

_,n-AP=-a-2b+2c=Q

设平面24。的法向量为〃=(a,b,c),则〈

n•DA=2Q+4Z?=0

取匕=1,则〃二一2,c=Q,所以〃=(—2,1,0),

m-n4+22小

所以cos<m,n>=

\m\-\n\J4+4+1Xq5’

由图可知，二面角。-口4-。为锐角，

故二面角C-上4-。的余弦值为竽.

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解

题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

2

7.(2024•盐湖区一模)已知月、月是双曲线d-q=l的左、右焦点，直线/经过双曲线的左焦点《，

与双曲线左、右两支分别相交于A、3两点.

(1)求直线/斜率的取值范围；

(2)^EB=~AB,求AAOB的面积.

14

【答案】(1)(-忘我；

⑵处.

5

15

【考点】双曲线与平面向量

【专题】数形结合；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算；方程思想；综合法

【分析】(1)设直线/的方程为y=©x+2),将该直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线的位

置关系可得出关于实数%的不等式组，即可解得上的取值范围；

(2)设直线/的方程为彳=〃沙-2,设点4%,%)、B(X2,y2),由平面向量的坐标运算可得出%=5%,

将直线/的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理求出机的值，可得出|%|的值，然后利用三角形的面

积公式可求得AAO3的面积.

2_____

【解答】解：(1)在双曲线f---=1中，a=l9b=«,则c=[a1+b?=Jl+3=2,

3

该双曲线的左焦点为耳(-2,0),若直线/的斜率不存在，则直线/与双曲线交于左支上的两点，不合乎题意，

设直线/的方程为y=左(兀+2),设点4再，%)、B(X2,y2),

联立(y:2)可得(严-3)x2+4k2x+(4左2+3)=0,

[3x-y=3

因为直线/与双曲线左、右两支分别相交于A、5两点，

--3*0

所以，1=16/-4伏2-3)(442+3)=36(42+1)>0,解得-6<k〈布,

4左2+3八

=---<0

I1-甘-3

因此，直线/的斜率的取值范围是(-君,6).

(2)因为耳2=(尤2+2,%)，AB=(X2-xl,y2-y1'),

由月8=；48可得%=；(%-%)，则%=5%，

当直线/与x轴重合时，则点4-1,0)、8(1,0),片8=(3,0),AB=(2,0),

16

%=阳一2一/0o八

292

设直线/的方程为X=冲-2（机。0）,联立22KTl#(3m-l)y-12my+9=0,

3x-y=3

由（1）可得,=左€（-6,0）巳,（。,6），则山〈一日或机>[,

由韦达定理可得%+%=，贝，

6%=1u%=3jr_1

95x4m2解得机=±第，贝|]匹|=|白^|=*，

%%=5y；，即

3m2-I-(3m2-I)273m-110

i6/7

所以，SAAOB=SBOf；-S,Aoq=;|O用l=4|%|=^--

【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于

中档题.

8.（2024♦一模拟）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且AD是3c边上的

高.(sinA—sinB)(a+b)=(c-A/2Z?)sinC.

（1）求角A;

（2）若sin（B-C）=受，a=5,求A£）.

10

【答案】（1）-；

4

（2）6.

【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形

【专题】解三角形；综合法；数学运算；计算题；转化思想

【分析】（1）利用正弦定理化简己知等式可得6+c2-/=J%c,利用余弦定理可得cosA=交，结合

2

AG（0,7i）,即可求解A的值；

（2）由题意利用三角函数恒等变换可求tan5=3tanC,设A£>=x,BD=y,DC=z=—^~,

2'BDy

tanC=-,由题意可得3y=2z,又y+z=5,解得：z=3,y=2,利用三角函数恒等变换的应用即可求

Z

解.

【解答】解:(1)因为(sinA-sin))(a+6)=(c-6>)sinC,

利用正弦定理可得(a-b)(a+6)=(c-近b)c,可得。？+<?-/=近be,

利用余弦定理cosA="ci-=」羽也

2

由于A£（0,乃），

所以

17

(2)因为sin(5-C)=Y^,可得sin5cosc-cosBsinC；，^①，

1010

又sin(B+C)=sinA=sin—=,可得sinBcosC+cosBsinC=②,

422

由①②得：sin3cosc=cosBsinC=』近,

1010

所以sm'cosC=3,可得2tan5=3tanC,即tanB=』tanC③,

cosBsinC22

在AABC中，ADLBC,设AD=无，BD=y,DC=z,

贝!JtanB=-----=—

BDy

tanC*x

CDz

所以由③可得土=3x2,整理得：3y=2z,

y2z

由于：y+z=5,

解得：z=3,y=2,

--r门,3兀「、-1-tanC

由于：tan5=tan(------C)=-------------

41-tanC

所以：土=—z,可得色=—3.整理可得/一5尤一6=0,

yi_£

z3

【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，考查了学生的运

算能力和数学思维能力，属于中档题.

22]o

9.(2024•梅州模拟)己知椭圆C:二+±=1(°>5>0)的离心率为士，且经过点7(1,士).

ab22

(1)求椭圆C的方程；

(2)求椭圆C上的点到直线/:y=2x的距离的最大值.

T2、际

【答案】(1)—；(2)咛■.

45

【考点】椭圆的几何特征；直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题；设而不求法；数学运算；转化思想

18

【分析】(1)由椭圆的离心率，可得。，6的关系，设椭圆的方程，将点T的坐标代入椭圆的方程，可得

参数的值，即可得“，6的值，求出椭圆的方程；

(2)设与y=2x平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0,可得参数的值，进而求出两条直

线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离.

【解答】解：⑴由椭圆的离心率为;，可得八一

22

可得3片=4廿，设椭圆的方程为：—+与=1,/>0,

又因为椭圆经过点7(13,/,所以1++忘3=1，

解得r=1,

22

所以椭圆的方程为：、+乙=1;

43

(2)设与直线y=2x平行的直线的方程为y=2x+〃?,

y=2x+m

联立尤22整理可得：19f+16/71¥+4瓶2—12=0,

——+—=1

143

△=162m2-4xl9x(4m2-12)=0,可得m2=19,则加=±^/I^,

所以直线y=2x+m至lj直线y=2x的星巨离d=—j=-=—^―.

所以椭圆C上的点到直线l-.y=2x的距离的最大值为迤.

5

【点评】本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题.

10.(2024•江西模拟)我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它

22

们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆6：：+2=1(0<6<2),双曲线C2是椭圆G的“姊妹”圆锥曲线，

%,e2分别为G，C2的离心率，且6©=乎，点N分别为椭圆G的左、右顶点.

(1)求双曲线C2的方程;

(2)设过点G(4,0)的动直线/交双曲线C?右支于A,3两点，若直线AM,3N的斜率分别为勤，kBN.

k

⑺试探究L与蜃7的比值皿是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由;

2

5)求取=心+耳左配的取值范围.

【答案】(1)--/=1;

4

19

1311135

(2)⑺；(«)(---一一)0(—,-).

3436364

【考点】直线与圆锥曲线的综合

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；转化思想；数学运算；综合法

【分析】(1)由题意可设双曲线C,:三-}=1,利用e©=姮，可求6；

4b4

(2)⑴设A(%,y),B(X,%)，直线m的方程为％=3+4，与双曲线联立方程组可得%+%=--，

2t—4

乂方二百二，进而计算可得&