第14讲 抛物线（七大题型）（解析版）

第14讲抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，，抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：（1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；（2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义【例1】（2023·高二课时练习）若P为抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为（）A．相交 B．相离C．相切 D．不确定【答案】C【解析】如图所示，设的中点，作轴、轴分别交轴于点，由抛物线的定义，可得，又由梯形的中位线的性质，可得，所以以为直径的圆与轴相切.故选：C.

【对点训练1】（2023·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，抛物线的准线为.所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦点的距离为.故选：C【对点训练2】（2023·浙江台州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意知，焦点，由定义知：，所以，所以．故选：C.【对点训练3】（2023·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则，所以点P到抛物线焦点的距离为.故选：B【对点训练4】（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，，则（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】依题意，抛物线：的焦点，准线方程为，显然有，所以.故选：D题型二：求抛物线的标准方程【例2】（2023·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程是；(2)过点；(3)焦点到准线的距离为.【解析】（1）由准线方程为知抛物线的焦点在轴负半轴上，且，则，故所求抛物线的标准方程为．（2）点在第二象限，设所求抛物线的标准方程为或，将点代入，得，解得，所以抛物线方程为；将点代入，得，解得，所以抛物线方程为．综上所求抛物线的标准方程为或．（3）由焦点到准线的距离为，所以，故所求抛物线的标准方程为或或或．【对点训练5】（2023·陕西西安·高二西北大学附中校考阶段练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程，并求焦点坐标和准线方程．(1)经过点．(2)焦点为直线与坐标轴的交点．【解析】（1）①设抛物线方程为，将点代入方程得：，解得：，所以抛物线方程为，即，所以，则焦点坐标为，准线方程为.②设抛物线方程为，将点代入方程得：，解得：，所以抛物线方程为，即，所以，则焦点坐标为，准线方程为.综述：①抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.②抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.（2）因为，令得，即，令得，即，①当焦点为时，，则，所以抛物线方程为，准线方程为.②当焦点为时，，则，所以抛物线方程为，准线方程为.综述：①抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.②抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.【对点训练6】（2023·高二课时练习）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)；(2)．【解析】（1）由抛物线方程为，可得，且焦点在轴正半轴上，所以可得其焦点为，准线方程为；（2）将化成标准方程为，可得，且焦点在轴负半轴上，所以焦点为，准线方程为.【对点训练7】（2023·高二课时练习）求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程．【解析】由题意，抛物线的开口向右，设方程为，将代入抛物线方程可得，，抛物线的标准方程为，抛物线的标准方程．【对点训练8】（2023·高二单元测试）根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1）经过点；（2）焦点在轴的负半轴上，且焦点到准线的距离是6.【解析】（1）当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为；当抛物线的标准方程为时，将点代入，得，即所求抛物线的标准方程为.综上，抛物线的标准方程为或.（2）由焦点到准线的距离为6，知.又焦点在轴的负半轴上，∴抛物线的标准方程为.题型三：抛物线的综合问题【例3】（2023·山西晋中·高二统考期末）抛物线的焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.【解析】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，分别是，，，.（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，与抛物线联立，得关于的一元二次方程，则，设、，则，，，，则，线段的中点坐标为，中垂线方程为，令，解得，即中垂线与轴交于，所以，则.

【对点训练9】（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形（O为坐标原点），求直线l的方程．【解析】（1）圆S：，即，由题意得，，，是的中垂线，所以，所以，所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，则，得，所以曲线C的方程为.

（2）由题意知，直线l的斜率不为0，设，，，设与交于点.联立，得，当时，，则，所以，因为是中点，所以，因为在曲线C：上，所以，化简得，，得或（舍），所以，所以直线l的方程为，即或.

【对点训练10】（2023·贵州贵阳·高二统考期末）设直线与抛物线相交于两点，且.(1)求抛物线方程；(2)求面积的最小值.【解析】（1）设直线与抛物线交于点，联立得，显然，所以，因为，所以，即，化简得，代入得解得，所以抛物线方程为（2）因为直线过定点，所以，当且仅当时，的面积取得最小值为【对点训练11】（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线C：过点．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．【解析】（1）∵过点，∴，解得，∴抛物线C：，准线方程为；（2）由（1）知，抛物线焦点为，设直线AB：，，，由，得：，则，则．【对点训练12】（2023·广东梅州·高二统考期末）已知动点与点的距离与其到直线的距离相等.(1)求动点的轨迹方程；(2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.【解析】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，因此动点的轨迹方程为.（2）设，由两点间的距离公式得：，当，即时，，即当或时，点与点的距离最小，最小值为.题型四：轨迹方程【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为_______________.【答案】【解析】设，由题设有，整理得到，故.故答案为：.【对点训练13】（2023·高三课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是______.【答案】【解析】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，所以，，抛物线方程为.故答案为：.【对点训练14】（2023·上海·高二专题练习）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是__________.【答案】【解析】设，点P和定点连线的中点坐标为，则,又，∴，代入得，，∴，即点和定点连线的中点的轨迹方程是，故答案为∶．【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________．【答案】【解析】由题意，由得，化简得．故答案为：．【对点训练16】（2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为______．【答案】【解析】如图，由垂直平分线的性质可得，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标为，故，点P的轨迹方程为.故答案为：【对点训练17】（2023·四川·高二双流中学校考开学考试）已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.【答案】【解析】方法一：由题意知，设，则，，解得.方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，则动点M到的距离与到的距离相等，根据抛物线的定义，为准线，为焦点，设抛物线为，，，故.故答案为：.【对点训练18】（2023·江苏·高二专题练习）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______．【答案】【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．故答案为：.【对点训练19】（2023·江苏·高二专题练习）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．【答案】【解析】由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，设抛物线的方程为，可知，解得，所以该抛物线方程是，故答案为：题型五：抛物线的几何性质【例5】（2023·高二课时练习）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________．【答案】1或9【解析】抛物线的准线方程为，对称轴为轴，设该点的坐标为，由题意可得，，则，即，解得或，因为，所以或.故答案为：1或9.【对点训练20】（2023·高二课时练习）一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为__________．【答案】【解析】设等边三角形，点为原点，点和点在抛物线上，与轴的交点为，如图所示，

由图可知，点与点关于轴对称，则，则，即，因为，所以，解得或（不合题意舍去），则，所以，故答案为：．【对点训练21】（2023·福建·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则__________.【答案】【解析】由抛物线，可得其焦点坐标为，过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，联立方程组，整理得，可得，则的中点的纵坐标为，因为线段中点的纵坐标为，可得，解得，又由抛物线的定义可得.故答案为：.【对点训练22】（2023·贵州·高二校联考阶段练习）抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为______.【答案】【解析】由题意作图如下：过引抛物线准线的垂线，垂足为，则，所以，在中，，所以，所以.故答案为：.【对点训练23】（2023·山东德州·高二统考期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5/【解析】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，所以．设，代入，得．所以拱桥到水面的距离为．故答案为：4.5.【对点训练24】（2023·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率___________.【答案】【解析】设，直线与抛物线联立得，即；，因为，所以，所以，代入可得即，，所以故答案为：【对点训练25】（2023·陕西汉中·高二校考期中）已知抛物线：经过点，若点到抛物线的焦点的距离为4，则______【答案】4【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，因为点到抛物线的焦点的距离为4，由抛物线定义可得到的距离为4，所以，所以.故答案为：4.题型六：抛物线中的范围与最值问题【例6】（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，则，所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.所以的最小值为.

故答案为：.【对点训练26】（2023·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，点，则的最小值为______.【答案】7【解析】依题意，如图所示：其中，准线，由抛物线的定义知：，要使取得最小值，只需点移动到点时，三点共线时取得最小值，此时准线，所以的最小值为：.故答案为：7.【对点训练27】（2023·江苏常州·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，点到直线与到点的距离相等，点在圆上，则的最小值为__________.【答案】3【解析】设，因为点到直线与到点的距离相等，所以点轨迹是以为焦点的抛物线，即；设圆的圆心为，则，，仅当x=6时等号成立，所以，即.故答案为：3.【对点训练28】（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则______.【答案】3【解析】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，，由于为上的一动点，则当三点共线时即，则，解得.故答案为：3.【对点训练29】（2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知点分别是抛物线和圆上的动点，到的准线的距离为，则的最小值为__________.【答案】【解析】抛物线的焦点为，则，圆的圆心为，半径为所以.故答案为：.【对点训练30】（2023·高二课时练习）已知抛物线：的准线为，若M为上的一个动点，设点N的坐标为，则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意知，，∴抛物线：.设，由题意知，则，当时，取得最小值8，∴的最小值为.故答案为：.【对点训练31】（2023·浙江宁波·高二效实中学校考期中）抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点且不在直线上，则△周长的最小值为______．【答案】/【解析】由题设，抛物线准线为，由抛物线定义：等于到准线的距离，而，∴要使△周长的最小，只需到准线的距离等于，即在过点且垂直于准线的直线上，此时，.故答案为：题型七：焦半径问题【例7】（2023·广西·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则________．【答案】9【解析】由题可知，，解得．故答案为：9【对点训练32】（2023·北京·高二北京师大附中校考期中）若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.【答案】【解析】设，由题意可知，则，故答案为：6【对点训练33】（多选题）（2023·山西大同·高二统考期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（

）A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．【答案】ABD【解析】

如图，设直线为，联立，得，即，所以，，故D正确，，将代入得，故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，，代入，，得，故B正确，设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,由抛物线的定义知，，则,故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，故选：ABD【对点训练34】（多选题）（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（

）A．点的坐标为 B．C． D．【答案】BD【解析】由题可知，因为点在抛物线上，且，所以，解得，所以，故选：BD.【对点训练35】（多选题）（2023·安徽·高二校联考期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点到其准线的距离为4，过点作直线交于，两点，则（

）A．的准线为 B．的大小可能为C．的最小值为8 D．【答案】ACD【解析】由题意得，，则的准线为，故A正确；,设，整理得，，所以，，，所以，故B错误；，当时，的最小值为8，故C正确；∵，∴，故D正确.故选：ACD.【对点训练36】（多选题）（2023·高二课时练习）设抛物线的焦点为，点为上一点，若，则直线的倾斜角可能是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】如图，作于，则，作于，则，在中，，又，所以，即直线的倾斜角为，同理，当点在轴下方时，直线的倾斜角为．

故选：AC.【对点训练37】（多选题）（2023·湖北·高二校联考期中）已知抛物线：的焦点为，为上一点，且，直线交于另一点，记坐标原点为，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】依题意，抛物线C的准线为，因为为C上一点，且，则，解得，故A正确；可得抛物线C:，焦点为，因为A为C上一点，则4，所以，故B错误；若，则线的方程为，代入，得，整理得，解得或，因为B与A分别在x轴的两侧，可得；同理：若，可得；综上所述：或，故C错误；若，则，则；同理：若，可得；故D正确；故选：AD.【对点训练38】（多选题）（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】BD【解析】抛物线的焦点，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.故选：BD【对点训练39】（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是______.【答案】【解析】因为抛物线：的焦点，准线：，所以圆心即为抛物线的焦点F，设，∴，∴.∵，∴，，∴，∴.故答案为：【对点训练40】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多，记点的轨迹为．直线与轨迹恰好有两个公共点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设点，则，即，整理可得：，；记，，当时，与有且仅有一个交点，与无交点，与有且仅有一个交点，不合题意；当时：，由得：；由得：，即，则；①当，即或时，与有一个交点，与有且仅有一个交点，，解得：或；②当，即时，与无交点，与有两个不同交点，，解得：，；综上所述：的取值范围为.故答案为：.【对点训练41】（2023·山东济南·高二济南市历城第二中学校考期中）抛物线与圆交于A、B两点，圆心，点为劣弧上不同于A、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是______．【答案】【解析】∵圆交，抛物线，∴圆心也是抛物线的焦点，抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，故的周长，由可得，又圆与轴正半轴交于，所以，又因为，所以的取值范围为，所以的周长的取值范围为.故答案为：.【对点训练42】（2023·江苏·高二专题练习）若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．【答案】【解析】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，于是得，而函数在上单调递减，即，因此，即有，所以的取值范围是.故答案为：【过关测试】一、单选题1．（2023·广东东莞·高二校联考阶段练习）一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是.故选：B2．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）抛物线C：过点，则C的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线C：过点，则，解之得，则抛物线C方程为，则C的准线方程为故选：B3．（2023·高二课时练习）已知是抛物线上的三点，点F是抛物线的焦点，且，则（

）A．B．C．D．与的大小关系不确定【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线的定义及，得，所以.故选：B4．（2023·高二课时练习）抛物线上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，在抛物线中，准线方程，∵到准线的距离等于它到焦点的距离，∴，解得：，∴抛物线方程为：，故选：A.5．（2023·云南昆明·高二统考期中）圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为圆心在抛物线上，所以设圆心为，又因为圆与抛物线的准线及轴都相切，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：，即，故选：A．6．（2023·江苏盐城·高二统考期末）若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设点，，，或（舍去），，到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，点到该抛物线焦点的距离为．故选：C.7．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】易知抛物线的焦点为，准线为，设点、在直线上的射影点分别为、，如图所示：

设，因为为线段的中点，，，则，所以，，由抛物线的定义可得，，所以，，所以，，因为轴，则，设直线交轴于点，则，，所以，，又因为，可得，故.故选：A.8．（2023·广西河池·高二统考期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，所以，又，所以4），即，又，所以，解得或，所以，又因为，点到直线的距离，所以的面积.

故选：.二、多选题9．（2023·广西河池·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（

）A．点的坐标为 B．C． D．【答案】BD【解析】由题可知，因为点在抛物线上，且，所以，解得，所以，故选：BD.10．（2023·高二单元测试）抛物线的准线方程是（

）A．其焦点坐标是B．其焦点坐标是C．其准线方程是D．其准线方程是【答案】AC【解析】由，得，故准线方程为，其焦点坐标是，故A，C正确，B，D错误，故选：AC11．（2023·湖北·高二宜昌市三峡高级中学校联考期中）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】BD【解析】抛物线的焦点，A选项错误；抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为4，B选项正确；由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，C选项错误；如图所示，的中点为M，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.故选：BD12．（2023·安徽阜阳·高二统考期末）若直线与抛物线只有一个交点，则的可能取值为（

）A．2 B． C． D．0【答案】BD【解析】联立，消去可得，∵直线与抛物线只有一个交点，或.故选：BD.三、填空题13．（2023·陕西西安·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为________．【答案】4【解析】由题意可得，，P纵坐标为，由其解析式可得P横坐标为，由抛物线定义知.故答案为：414．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为______．【答案】【解析】抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，则，所以.当且仅当与准线垂直时，取等号.所以的最小值为.

故答案为：.15．（2023·河南·高二校联考阶段练习）设是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，线段的中点的坐标为，若，则实数的值为_________．【答案】2【解析】是抛物线的焦点，，准线方程，设，，，线段AB的中点横坐标为，即.故答案为：2.

16．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点,若为的重心，则_________【答案】12【解析】设三角形的三个顶点，由条件可知，,根据三角形的重心坐标公式，可得，所以，根据抛物线的定义，可得所以，故答案为：12.四、解答题17．（2023·高二课时练习）分别求符合下列条件的抛物线方程:(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点;(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.【解析】（1）由题意,方程可设为或,将点的坐标代入,得或,∴或,∴所求的抛物线方程为或