2025年高考数学一轮复习讲义：函数的图象（九大题型）原卷版

第06讲函数的图象

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：掌握基本初等函数的图像..............................................................4

知识点2:函数图像作法.........................................................................4

解题方法总结...................................................................................6

题型一：由解析式选图（识图）..................................................................6

题型二：由图象选表达式........................................................................8

题型三：表达式含参数的图象问题...............................................................10

题型四：函数图象应用题.......................................................................12

题型五：函数图象的变换.......................................................................15

题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值...................................................16

题型七：利用函数的图像解不等式...............................................................17

题型八：利用函数的图像求恒成立问题...........................................................18

题型九：利用函数的图像判断零点的个数.........................................................19

04真题练习•命题洞见...........................................................20

05课本典例•高考素材...........................................................21

06易错分析•答题模板...........................................................23

易错点：图像的变换问题.......................................................................23

答题模板：图像的变换问题.....................................................................23

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

基本初等函数的图像是高考中的重要考点之

一，是研究函数性质的重要工具.高考中总以一

2023年天津卷第4题，5分次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对

(1)函数图像的识别

2022年天津卷第3题，5分数函数、幕函数、三角函数等的图像为基础来考

(2)函数图像的应用

2022年全国乙卷第8题，5分查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查

(3)函数图像的变换

2022年全国甲卷第5题，5分的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以

及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年

必考内容之一.

复习目标：

(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

(2)会画简单的函数图象.

(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

老占突硒・力理悭宙

知识固本

知识点1:掌握基本初等函数的图像

（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.

【诊断自测】函数，（尤）=7上〒的图象是下列的（）

知识点2：函数图像作法

1、直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性;

④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.

2、图像的变换

（1）平移变换

①函数y=/（x+a）（a>0）的图像是把函数y=/（x）的图像沿x轴向左平移。个单位得到的；

②函数y=/（x-a）（a>0）的图像是把函数y=f（x）的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；

③函数y=f(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿y轴向上平移。个单位得到的；

④函数y=f(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(无)的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；

(2)对称变换

①函数y=f(x)与函数y=/(-x)的图像关于y轴对称；

函数y=/(x)与函数的图像关于x轴对称；

函数y=/(x)与函数y=-/(-工)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数/(无)的图像关于直线x=a对称，则对定义域内的任意尤都有

/'(a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=a对称的两点连线的中点横坐标

为0,即(”—x)+(a+x)=a为常数);

2

若函数f(X)的图像关于点(4,6)对称，则对定义域内的任意尤都有

f{x)=2b—f(2a—x)^f{a—x)=2b—f(a+x)

③y=|/(x)|的图像是将函数/(x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻

折上来得到的(如图(a)和图(b))所示

@y=了(国)的图像是将函数/(无)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得

到函数y=/(W)左边的图像即函数y=/(|x|)是一个偶函数(如图⑻所示).

注：|/(刈的图像先保留了(X)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图形，然后擦

去x轴下方的图像得到；而了(忖)的图像是先保留〃功在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后做

出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.

⑤函数丁=7―(犬)与、=/(x)的图像关于y=x对称.

(3)伸缩变换

①y=4f(x)(A>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到

原来的A倍得到.

②y=f(ox)3>0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的横坐标伸长(0<o<1)或缩短(o>1)到

原来的工倍得到.

【诊断自测】若函数y=的定义域为R,则函数y=1)与y=〃ir)的图象关于()

A.直线x=0对称B.直线y=o对称

C.直线尤=1对称D.直线y=l对称

解题方法总结

(1)若/'("Z+尤-尤)恒成立，则y=/(x)的图像关于直线芯=机对称.

(2)设函数y=f(无)定义在实数集上，则函数y=f(尤-加)与y=f(机-x)(机＞0)的图象关于直线

x=m对称.

(3)若ym+x)=f(6-x),对任意xeR恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=3产对称.

(4)函数y=/(a+x)与函数y=/(6-x)的图象关于直线x=对称.

(5)函数y=f(x)与函数y=/(2a-x)的图象关于直线x=”对称.

(6)函数y=/(x)与函数＞=2匕-/(24-x)的图象关于点(°,6)中心对称.

(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

题型洞察

题型一：由解析式选图(识图)

sinx

【典例1-1](2024•安徽淮北•二模)函数的大致图像为()

cosxl

【典例1-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）函数y=xcosx-sinx的部分图象大致为（）

【方法技巧】

利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选

出正确答案.

【变式1-1］（2024•天津•二模）研究函数图象的特征，函数〃到=坐的图象大致为（）

v7x2+l

【变式1-2］（2024•湖北•模拟预测）函数〃0=/_新_11«2的图象大致为（）

题型二：由图象选表达式

【典例2-1】（2024•安徽马鞍山•三模）已知函数y=/（x）的大致图象如图所示，则y=/（x）的解析

式可能为（）

.y

B./(%)=土x'

八9"+1

厂ln(W+l)-X

D./(%)=

(J+l)ln(W+2)

【典例2-2】（2024•宁夏固原•一模）已知函数“X）的部分图像如图所示，则/⑴的解析式可能为

（）

B.〃％)=

D."小

【方法技巧】

1、从定义域值域判断图像位置；

2、从奇偶性判断图像的对称性；

3、从周期性判断图像循环往复；

4、从单调性判断大致变化趋势；

5、从特殊点排除错误选项.

【变式2-1］（2024•天津•二模）函数“X）的图象如图所示，则“X）的解析式可能为（）

cX——x

B."亍

Dc./\=TInx

【变式2-2]（2024•湖南•二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数“X）的解析式可能为

2x2

B.〃尤）=一

W+1

2国

D.小）

尤2-1

【变式2-3]（2024•陕西安康•模拟预测）函数Ax）的部分图象如图所示，则/⑺的解析式可能为

xsinxxsinx+x

B./(x)=C./«=

|x|+l|x|+l

题型三：表达式含参数的图象问题

【典例3-1】（2024•重庆•模拟预测）已知函数“无）=『（尤>0）,a为实数，/（一的导函数为7'（x）,

在同一直角坐标系中，“力与/'（x）的大致图象不可能是（）

【典例3-2］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知函数"x）=a（x+l）'"（x-l）"（其中

m+n>0,a^0）的部分图象如图所示，则（）

A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系,

以得出正确选项.

【变式3-1］（多选题）（2024•安徽合肥•一模）函数/（同=/一?（加€阳的图象可能是（）

【变式3-2］（多选题）函数/（尤）=子^的大致图象可能是（）

【变式3-3］（多选题）（2024•福建泉州•模拟预测）函数/（*）=m（l+x）-后皿1-2的大致图像可能为

【变式3-4］（多选题）函数〃尤）=)

题型四：函数图象应用题

【典例4-1】如图，长方形ABC。的边=2,BC=1,。是AB的中点.点尸沿着边BC,CD与D4

运动，记/BQP=x.将动点尸到AB两点距离之和表示为无的函数/（x）,则y=/（x）的图像大致为（）

【典例4-2】(2024•广东佛山•模拟预测)如图，点尸在边长为1的正方形边上运动，M是8的中

点，当点尸沿A-3-C-M运动时，点尸经过的路程x与△丽的面积，的函数y=/(x)的图象的形状大

致是()

AB

【方法技巧】

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

【变式4-1](2024•安徽•模拟预测)如图，直线/在初始位置与等边AABC的底边重合，之后/开始

在平面上按逆时针方向绕点A匀速转动(转动角度不超过60。)，它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时

间f的函数.这个函数的图象大致是()

c

【变式4-2](2024•山东•二模)如图所示，动点尸在边长为1的正方形ABCD的边上沿

Af5f。运动，X表示动点尸由A点出发所经过的路程，y表示的面积，则函数y=/(x)的

C.

~O123x

题型五：函数图象的变换

【典例5-1】(2024•北京西城•二模)将函数〃x)=tanx的图象向右平移1个单位长度，所得图象再

关于，轴对称，得到函数g(M的图象，则gQ)=()

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

【典例5-2】(2024•辽宁•三模)已知对数函数/(x)=log,x,函数,⑺的图象上所有点的纵坐标不

变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象

恰好与函数/⑴的图象重合，则。的值是()

A.-B.|C.昱D.6

233

【方法技巧】

熟悉函数三种变换：(1)平移变换；(2)对称变换；(3)伸缩变换.

【变式5-1](2024•江西赣州•二模)已知函数/(尤)的图象的一部分如《左图，则如下右图的函数

图象所对应的函数解析式()

C.y=/(1-2%)D.y=f

【变式5-2](2024•四川南充•二模)已知函数/(x)=e'-eT,则函数y=/(x-l)+1的图象()

A.关于点(1,1)对称B.关于点(-M)对称C.关于点(-1,0)对称D.关于点

(1，。)对称

【变式5-3】已知函数/(x)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是()

D.l-f(-x)

题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值

【典例6-1】(2024•全国•模拟预测)已知函数=若机<“，*m)=f⑻,贝一机

x+3,x<0

的最小值为()

53

A.1B.-C.-D.2

42

【典例6-2］用min{a,6,c}表示a,b,c三个数中的最小值，贝1J函数/(x)=mi“x+l,-；x+4,-x+6：

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取

得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想.

【变式6-1］已知6eR,设函数〃x)=|log2X+2x+6|在区间上的最大值为陷⑻.若

{&|M,(Z7)>2}=R,则正实数r的最大值为.

a,(a>b)贝!J函数/■(x)=max1|x+l],x2-2x+：1的最小值

【变式6-2】对a,Z?GR,记max{a,Z?}二

b,(a<b)

为

题型七：利用函数的图像解不等式

|log2x|,xe（0,4）

【典例7-1】已知函数〃尤）=31、，则满足lW〃x）V3的x的取值范围为（）

--,xe[4,+oo）

~11

A.[0,2]3[4,6]B.u[4.6]

_8?2_

:J。[2,4]

C.D.u[2,6]

_oZ__852_

【典例7-2]（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）已知函数f（x）=，则

3

—,+co

2

/（左）>|厩2乂的解集是（）

B.(1,2)

D.[；]U(1,2)

【方法技巧】

利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据

题意结合图像写出答案.

[yr>o

【变式7-1】已知函数〃尤）=」「Z则不等式/（/（尤））<4/（尤）+1的解集是（）

3x+l,x<0

D.f-plog2

C.(0,2)3

【变式7-2](2024•高三•江西•期中)已知函数〃司=用/+1,g(x)=〃x-2)+l,则不等式

/(x)<g(x)的解集为()

A.(-a>,l)B.(1,2)

C.(1,+co)D.(2,+oo)

题型八：利用函数的图像求恒成立问题

"二:若对任意的x都有〃(小办

【典例8-1](2024•北京昌平•二模)已知函数〃力=

恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-oo,0]B.[TO]C.[-3,0]D.

|x|+2,x<1X

【典例8・2】已知函数/(%)=2，设aeR,若关于x的不等式/(x)2§+。在R上恒成立，则

XH,XN1

、X

”的取值范围是()

一2,|0

A.B.[-2,2]

一|在2

C.D.

【方法技巧】

先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得

出参数的范围.

【变式8-1]已知函数/(x)的定义域为R,满足f(x)=2/(x-1),且尤e(0,1]时,“X)=Y_x.若

3

(-00,0,都有则。的取值范围是()

4

(9'

A.B—00,—

IT-、4」

'7'

C-00,—D.

-\3_一

【变式8・2】(2024•河南新乡•三模)设函数,⑺的定义域为R,满足/(x-2)=2/(x),且当

3

%£(0,2]时，/(x)=x(2-%).若对任意工£[a,+oo),都有/(%)4三成立，则〃的取值范围是()

o

75

A.—,+00B.-.4-00

22

35

C.—00,-------D.—co,-----

22

题型九：利用函数的图像判断零点的个数

【典例9-1】(2024•高三•重庆渝中♦期中)已知函数无2°,若方程/(》)=属有两个

-x2,x<0

不相等的实数根，则实数上的取值范围是()

A-DB.管C.ITD.1山)

f12x4-3l—1—m%<0

【典例9-2】设函数〃X)=一，若函数“X)恰有3个零点，则实数加的取值范围为

()

A.(―co,-1)B.(—1,2]C.[2,+00)D.[—1,2)

【方法技巧】

利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解

的个数.

【变式9-1]设函数“x)=।,，若/(力-％=0有三个不同的实数根，则实数%的取值范围是

inX],X〉U

()

A.(0,1)B.(0,+巧C.(0,1]D.[0,+e)

|x2+5x+4|,x<0

【变式9-2](多选题)已知〃x)=<若y=/(x)-a国恰有3个零点，则。的可能值

2|x—2|,x>0

为()

A.0B.1-ID.2

、.rA\a,a<b/、(、

【变式9-3】已知a/eR,定义：mm[a,b\=\,设/(x)=min{2"-a,-x+6-a},xeR.若函数

\b,a>bi)

y=/(x)+依有两个零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1.0)D.(-2,0)

(尤)"(x)Vg(x)

【变式9-4](2024•高三•广东江门•开学考试)定义函数min{/(x),g(x)}=[g⑺，〃x"g(x)

/z(x)=min{国--2依+〃+2},若〃(x)=0至少有3个不同的解厕实数。的取值范围是()

A.MB.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.(2023年天津高考数学真题)已知函数的部分图象如下图所示，则/