2025年高考数学专项复习：圆锥曲线二级结论

圆锥曲线专题二级结论+例题讲解

目录

1.距离和差，轨迹椭双.......................1

2.斜率乘积，仍为椭双......................2

3.距离定比，三线统一.......................3

4.切线焦径，准线作法.......................4

5.焦点切线，射影是圆.......................5

6.焦半径圆，切于大圆.......................5

7.焦点弦圆，准线定位.......................6

8.焦三角形，内心轨迹.......................6

9.定值定点，倒和定值......................7

10.正交焦弦，倒和定值......................8

11.焦弦中垂，焦交定长.......................9

12.焦弦投影，连线截中....................10

13.焦弦长轴，三点共线...................11

14.对焦连线，互相垂直......................12

15.相交焦弦，轨迹准线.....................12

1.距离和差，轨迹椭双

(1)定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆

(2)定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双

曲线

(3)定直线(无穷大定圆)上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线

的交点的轨迹是抛物线

例1.已知点穴石,0),平面上的动点S到尸的距离是S到直线屈+4=0的距离的孝倍，记点S的轨迹

为曲线C曲线/勺方程为____________________________

例2.已知双曲线C的方程为2/一丁=2.

(1)直线y=截双曲线c所得的弦长为472,求实数m的值；

⑵过点(2,-1)作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

2.斜率乘积，仍为椭双

(4)平面内动点到两定点AM-a,0),A2(a,0)(或Ai(0,-a),八2(0,a))的斜率乘积

等于常数e2-1的点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0<

e2V1时为椭圆，当e2>1时为双曲线

例1.设a>0为常数，动点M（x,y）（y丰0）分别与两定点F1（一a,0）,F2（a,0）的连线的斜率之积为定值人，

若点M的轨迹是离心率为旧的双曲线，则人的值为（）

A.2B.-2C.3D.V3

3.距离定比，三线统一

（5）动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆

（6）动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线

（7）动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线

例1.已知点P为双曲线C：号―4=1心>01>0）右支上一点，Fl,F2分别为C的左、右焦点，直线PF1

azbz

与C的一条渐近线垂直，垂足为H,若|PFi|=4|HFi|,则该双曲线的离心率为（）

近

A.晅3B.3c-3D-3

例2.已知双曲线||—仁=1过点（3,习和点（4,、语）.

（1）求双曲线的离心率；

⑵过M（0,l）的直线与双曲线交于P,Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A,B

两点，试问"*是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由

4.切线焦径，准线作法

(8)椭圆上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆

相应之准线

(9)双曲线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双

曲线相应之准线

(10)抛物线上的一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为

抛物线之准线

例1.已知点F(0,2),过点P(0,—2)且与y轴垂直的直线为k，%轴,交口于点N,直线I垂直平分FN,

交％于点火

(1)求点M的轨迹方程；

2

⑵记点M的轨迹为曲线E,直线AB与曲线E交于不同两点A(Xi，yJB(X2,丫2),-ELx2-1=X1+m(m为

常数)，直线1'与AB平行，且与曲线E相切，切点为C,试问AABC的面积是否为定值.若为定值，求出

△ABC的面积；若不是定值，说明理由.

5.焦点切线，射影是圆

（11）焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆

（12）焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆

（13）焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆）

例1.已知椭圆c的离心率为日，其焦点是双曲线/=1的顶点.

（1）写出椭圆c的方程；

⑵直线I:产乙+，，，与椭圆C有唯一的公共点M,过点M作直线I的垂线分别交x轴、y轴于A（羽0）,S（0,y）

两点，当点M运动时，求点P（%y）的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

6.焦半径圆，切于大圆

（14）以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆（（简称"大圆"）与椭圆内切）相

切

（15）以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆（此圆（此圆（简称"小圆"）与双

曲线外切）相切

（16）以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线（此圆无穷大（实为顶点处

的切线）与曲线外切）相切

v2

例L已知椭圆E:/+y2=1的左、右焦点分别为Fi，F2,过T（2,0）的直线1交E于A,B两点，且A在线段

TB上.

⑴求直线AF2，BF2的斜率之和;

（2）设AFi与BF2交于点P,证明：|PF/—IPF2I为定值.

7.焦点弦圆，准线定位

(17)椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离

(18)双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交抛物线中以焦点弦为直径的圆

必与准线相切

例1.已知双曲线口马―弓=l(a>0,b>0)的渐近线方程为岛±2y=0,且过点(2鱼,百).

aa

(1)求双曲线C的方程；

⑵过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线1交双曲线于A,B两点，求弦长|AB|.

8.焦三角形，内心轨迹

(19)椭圆焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆

(20)双曲线焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过双曲线实顶点的两条平行且垂直于

实轴的开线段(长为2b)

(21)抛物线焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原抛物线焦点

为顶点的抛物线

例1.已知双曲线C:1—l(a〉0,b>0)的左右焦点分别为Fi，F2,左顶点的坐标为(一2,0),离心

azbz

率为"

2

(1)求双曲线C的方程；

⑵A1，A2分别是双曲线的左右顶点，T是双曲线C上异于Ai，A2的一个动点，直线TA1，TA2分别于直线

x=1交于QI，Q2两点，问以QI，Q2为直径的圆是否过定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.

9.定值定点，倒和定值

(22)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数5+4=工

BF、AF,ep

112

-----+-----=----

(23)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数A、B在同支力耳BRep

112

(24)A>r--r=—

\AFXBFXep

11_2

(25)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数筋+7F=lp

例1.已知椭圆C:£+《=l(a>b>0)的焦距为2,且经过点P(15).

(1)求椭圆C的方程；

⑵经过椭圆右焦点F且斜率为k(kA0)的动直线I与椭圆交于A、B两点，试问X轴上是否存在异于点F

的定点T,使|AF|・|BT|=|BF|•|A/恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.

10.正交焦弦，倒和定值

椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

112-e2

-------1--------=--------

\AB\\CD\2ep

双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

11_|2-e2|

\AB\\CD\~lep

抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

11_2-e2

\AB\\CD\~lep

例L已知点A(LO),动点/到直线x=4的距离与到点A的距离的比为2,设动点/的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

⑵若点3(-1,0),点P,。为曲线C上位于x轴上方的两点，且丛〃Q8,求四边形私仅2的面积的最

大值.

11.焦弦中垂，焦交定长

设椭圆焦点弦AB的中垂线与长轴的交点为D,贝MFDl与lABl之比是离心率的一半。

设双曲线焦点弦AB的中垂线与焦点所在轴的交点为D,贝IFDl与IAB之比是离心率的一

半

设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴的交点为D,贝|FD与AB之比是离心率的一半

x2yp

例L已知椭圆丁+彳='।为椭圆之左焦点，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，AB中垂线交x轴于

点D

是否存在实常数入，使AB=入F1D恒成立。

12.焦弦投影，连线截中

(1)椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的交

点平分焦点与准线和对称轴的交点线段

(2)双曲线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的

交点平分焦点与准线和对称轴的交点线段

(3)抛物线的焦点弦的端点在相应准线上的投影与焦点弦端点的交叉连线与对称轴的

交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段

例1.已知椭圆E:]+m=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fl',且焦距长为2,过F1且斜率为叱的

a2bz4

直线与椭圆E的一个交点在x轴上的射影恰好为F2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，下顶点为A,过点B(0,2)作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C,D两点，直线AD,AC

分别交x轴于H,G两点，0为坐标原点.求证：△ABG与△AOH的面积之积为定值，并求出该定值.

13.焦弦长轴，三点共线

椭圆焦点弦端点A、B与长轴顶点D连线与相应准线的交点N、M,则N、C、B三点共

线，M、C、A三点共线

双曲线焦点弦端点A、B与实轴顶点D连线与相应准线的交点N、M,则N、C、B三点

共线，M、C、A三点共线

抛物线焦点弦端点A、B与顶点D(D在无穷远处)连线与准线的交点N、M,则N、C、

B三点共线，M、C、A三点共线

例1.椭圆噂+箕=l(a>b>0)的上顶点为A,F是C的一个焦点，点B在C上，若疝+5尿=6,则C的

离心率为()

A.-B.-C.返D.在

2522

14.对焦连线，互相垂直

椭圆左焦点弦端点A、B与右顶点D连线AD,BD交相应准线于点N、M,则NF_LMF

双曲线左焦点弦端点A