2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（10）教学教学设计 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（10）教学教学设计新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析同学们，我们今天要一起探索的是高中数学第一章中的“三角函数”这一部分，具体是1.4.3节——正切函数的性质与图象。这部分内容是三角函数学习中的重要一环，我们将从正切函数的基本性质出发，逐步深入到它的图象特征。这一章节的内容与课本紧密相连，也是我们理解三角函数应用的基础。让我们一起走进这个有趣的数学世界吧！🌟📚💡核心素养目标分析在本节课中，我们旨在培养学生以下几个方面的核心素养：首先，提升学生的数学抽象能力，让他们能够从具体情境中抽象出正切函数的一般性质；其次，加强逻辑推理能力，通过探究正切函数的性质，让学生学会运用逻辑推理进行数学论证；再者，强化数学建模意识，让学生能够将正切函数应用于实际问题中，解决生活中的数学问题。通过这些活动，学生将更好地理解数学与生活的联系。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生们在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念，包括正弦、余弦和正切函数的定义。此外，他们应该已经掌握了函数的一般性质，如周期性、奇偶性和单调性。这些基础知识是理解正切函数性质与图象的前提。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，但普遍对三角函数这类具有实际应用背景的数学内容感兴趣。他们的学习能力也各有特点，有的学生擅长逻辑推理，有的则更擅长图形直观理解。学习风格上，有的学生偏好通过公式推导来学习，而有的则更喜欢通过实例和图形来理解概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习正切函数的性质与图象时，学生可能会遇到以下困难和挑战：首先，理解正切函数的周期性和奇偶性可能比较抽象，需要通过具体的例子来帮助理解；其次，将正切函数的性质与实际应用场景相结合，可能会让学生感到困难，因为他们需要从理论走向实践；最后，对于一些学生来说，数学符号和公式的记忆可能会成为障碍，需要通过反复练习来克服。教学方法与策略为了达到教学目标并适应学生的学习特点，我将采用以下教学方法与策略：

1.结合讲授法与讨论法，通过讲解正切函数的基本性质，引导学生思考，并在小组讨论中分享不同观点，促进深度理解。

2.设计“正切函数周期性挑战”游戏，让学生通过实际操作来探索正切函数的周期性，增强学生的动手能力和参与感。

3.利用多媒体教学，展示正切函数的图象，通过动态变化帮助学生直观理解函数的性质，同时配合动画和图表，提升学生的视觉学习效果。教学流程**用时：45分钟**

1.**导入新课**

-详细内容：

“同学们，我们之前学习了正弦和余弦函数，它们在描述周期性变化中起着重要作用。今天，我们将一起探索正切函数，这是三角函数家族的另一位成员。我们先来回顾一下正弦和余弦函数的一些基本性质，然后我们将揭开正切函数的神秘面纱。准备好了吗？让我们一起走进正切函数的世界！”

2.**新课讲授**

-详细内容：

1.**正切函数的定义**（用时5分钟）

“首先，我们来明确正切函数的定义。正切函数是正弦函数除以余弦函数的结果，对于任意角度θ，正切θ等于正弦θ除以余弦θ。记住，当余弦θ为0时，正切函数没有定义，这是我们需要特别注意的。接下来，让我们通过几个具体的例子来计算正切值。”

-示例：计算角度30°和45°的正切值。

2.**正切函数的性质**（用时10分钟）

“接下来，我们来探讨正切函数的性质。正切函数是周期函数，周期为π。这意味着每隔π弧度，函数的值会重复。此外，正切函数在第一和第三象限是正的，在第二和第四象限是负的。我们还会讨论正切函数的奇偶性和单调性。让我们通过图象来直观地看到这些性质。”

-示例：展示正切函数的图象，并标注周期、奇偶性和单调性。

3.**正切函数的图象**（用时10分钟）

“现在，让我们更深入地研究正切函数的图象。我们将会看到，正切函数的图象在y轴附近会有垂直渐近线，这是因为余弦函数在这一点上为0。图象在x轴上的交点对应于正切值为0的角度。让我们一起来绘制这个图象，并分析它的特征。”

-示例：绘制正切函数的图象，并标记关键点。

3.**实践活动**

-详细内容：

1.**绘制正切函数图象**（用时10分钟）

“同学们，现在请拿出你们的直尺和圆规，或者使用计算器，尝试自己绘制正切函数的图象。注意观察周期性、渐近线和零点。完成后，与旁边同学分享你的发现。”

2.**周期性挑战**（用时10分钟）

“我们来玩一个‘周期性挑战’游戏。我会给出一个角度，你们需要计算它的正切值，并找出下一个周期内具有相同正切值的下一个角度。比如，如果给定的角度是30°，你们需要找到下一个角度，它的正切值也是√3/3。”

3.**应用正切函数**（用时15分钟）

“现在，让我们将正切函数应用到实际问题中。假设一个轮子的半径是10厘米，它的边缘有一个指针，指针的长度是5厘米。当轮子旋转时，指针尖端的位置如何变化？请用正切函数来描述这个变化。”

4.**学生小组讨论**

-详细内容举例回答：

1.**周期性问题**：“为什么正切函数的周期是π？”

-学生回答：“因为当θ增加π时，正弦函数和余弦函数的值都会重复，所以正切函数的值也会重复。”

2.**图象特征**：“为什么正切函数的图象在y轴附近有垂直渐近线？”

-学生回答：“因为当余弦函数接近0时，正切函数的值会变得非常大或非常小，趋向于无穷大。”

3.**实际应用**：“如何用正切函数来描述轮子旋转时指针尖端的位置变化？”

-学生回答：“我们可以用正切函数来表示指针尖端与轮子中心之间的角度θ，随着轮子的旋转，这个角度会以正切函数的周期性变化。”

5.**总结回顾**

-内容：

“今天，我们学习了正切函数的定义、性质和图象。我们了解到正切函数是周期函数，周期为π，具有奇偶性和单调性。我们还通过绘制图象和解决实际问题来加深了对正切函数的理解。在接下来的学习中，希望大家能够将所学知识应用到更多的数学问题和实际问题中。今天的重点在于理解正切函数的周期性和图象特征，难点在于将正切函数应用于实际问题。希望大家通过今天的课程，对正切函数有了更加清晰的认识。”拓展与延伸1.**拓展阅读材料**

-《三角函数在工程中的应用》

这份阅读材料可以让学生了解三角函数在工程领域的实际应用，例如在建筑设计、机械工程和土木工程中的测量和计算。通过阅读，学生可以认识到三角函数不仅仅是数学理论，而是有着广泛实际应用的工具。

-《正切函数在物理现象中的角色》

学生可以通过这份材料了解正切函数在物理现象中的应用，如简谐运动中的位移与时间的关系，以及如何利用正切函数来分析物理实验数据。

2.**鼓励学生进行课后自主学习和探究**

-**探索正切函数的极限**

学生可以尝试探索当θ接近π/2时，正切函数的值如何接近无穷大。他们可以通过计算和绘制图象来观察这一现象，并思考为什么会出现这种情况。

-**正切函数在不同坐标系中的应用**

学生可以研究正切函数在极坐标系中的应用，探讨在极坐标系中如何表示正切函数，并尝试解决相关的几何问题。

-**正切函数在解三角形中的应用**

学生可以尝试使用正切函数来解决实际问题，如已知一个三角形的两边和一个非直角的角度，求出第三个角度和第三边的长度。

-**项目导向学习：**

学生可以选择一个与正切函数相关的项目，例如设计一个游戏，其中玩家需要通过解决与正切函数有关的问题来前进。这个项目可以包括编程、图形设计和数学建模等多个方面。

-**数学竞赛题目研究：**

学生可以收集一些涉及正切函数的数学竞赛题目，尝试独立解决这些问题，并讨论解题过程和策略。

-**小组合作研究：**

学生可以分成小组，每个小组选择一个与正切函数相关的研究主题，如正切函数在历史中的应用，或者正切函数在艺术和音乐中的象征意义。小组可以共同收集资料、撰写研究报告，并在班级中进行展示。教学反思与总结今天这节课，我们共同探讨了正切函数的性质与图象。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。

首先，在教学方法的运用上，我尝试了讲授、讨论和实践活动相结合的方式。我发现，通过讲授法引入新知识，再通过讨论和实践活动加深理解，这样的教学流程比较有效。学生们在讨论环节表现得非常积极，他们能够主动提出问题，并与同伴分享自己的见解。这让我感到欣慰，因为这说明学生们对正切函数这一主题有了浓厚的兴趣。

然而，我也注意到，在讲授过程中，有些概念对于部分学生来说可能还是有些抽象。例如，正切函数的周期性和渐近线，这些内容需要学生具备一定的抽象思维能力。因此，我意识到在今后的教学中，我应该更加注重帮助学生建立数学模型，通过具体的例子和图象来帮助他们理解抽象的概念。

在教学策略上，我设计了一些实践活动，如绘制正切函数图象、周期性挑战游戏和实际应用问题解决等。这些活动旨在让学生在实践中学习，通过动手操作和解决问题来加深对知识的理解。我发现，这些活动确实提高了学生的参与度和学习兴趣，但也暴露出一些问题。比如，在周期性挑战游戏中，部分学生对于如何找到下一个周期内的角度感到困惑。这说明我在活动设计上可能还需要更加细致，以便更好地满足不同学生的学习需求。

在教学管理方面，我注意到课堂气氛整体较为活跃，但也有一些学生在课堂上显得比较被动。这可能是因为他们对某些概念理解不够，或者缺乏足够的自信。为了改善这一点，我计划在今后的教学中更多地关注每一个学生的个体差异，提供个性化的辅导，帮助他们克服学习上的困难。

至于教学效果，我认为整体上是积极的。学生们对正切函数的性质有了更深入的理解，他们能够运用所学知识解决一些实际问题。在情感态度方面，学生们对数学学习的兴趣有所提高，他们开始认识到数学与生活的紧密联系。

当然，也存在一些不足之处。例如，课堂时间有限，有些内容可能没有讲解得足够深入。此外，学生在实践活动中的表现也参差不齐，这说明我在教学资源的分配和活动设计上还需要进一步优化。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在今后的教学中，我将更加注重学生的个体差异，提供分层教学，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.在活动设计上，我会更加细致，确保活动既有挑战性，又能够帮助学生巩固知识点。

3.我会利用课余时间进行备课，确保教学内容更加丰富和深入，同时也会利用网络资源和其他教学辅助工具来增强课堂互动。

4.我会鼓励学生进行课后自主学习和探究，通过布置一些拓展性作业来提高他们的学习兴趣和解决问题的能力。教学评价与反馈1.**课堂表现：**

在今天的课堂上，学生们整体表现积极，对于正切函数的性质与图象表现出浓厚的兴趣。在讲授新知识时，学生们能够认真听讲，并积极参与到课堂讨论中。特别是在讨论环节，学生们能够主动提出问题，并分享自己的见解，这表明他们对这一主题有了自己的理解和思考。

2.**小组讨论成果展示：**

在小组讨论活动中，学生们展现出了良好的团队合作精神。每个小组都能够围绕正切函数的周期性、奇偶性和单调性等性质进行深入讨论，并能够将讨论结果清晰地向全班展示。例如，一个小组通过绘制正切函数的图象，展示了函数的周期性和渐近线，他们的展示不仅准确，而且富有创意。

3.**随堂测试：**

为了评估学生对本节课内容的掌握程度，我进行了一次随堂测试。测试包括选择题和解答题，涵盖了正切函数的定义、性质和图象特征。从测试结果来看，大部分学生能够正确回答选择题，但在解答题部分，部分学生对于如何将正切函数的性质应用到实际问题中还存在困难。这表明在今后的教学中，我需要加强对学生应用能力的培养。

4.**实践活动反馈：**

在实践活动环节，学生们通过绘制正切函数图象、参与周期性挑战游戏和解决实际问题，对正切函数有了更加直观和深入的理解。许多学生表示，通过实践活动，他们不仅巩固了知识，还提高了动手操作和解决问题的能力。

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