七年级数学下学期期中测试卷（北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册同步练习（北师大版）【测试范围：整式的乘除~三角形】

2025学年七年级数学下学期期中测试卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。2．测试范围：整式的乘除~三角形（北师大版2024）。第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2 B．a3÷a3＝0 C．（3x）2＝6x2 D．（﹣a2）3＝﹣a6【分析】根据完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故A不符合题意；B、a3÷a3＝1，故B不符合题意；C、（3x）2＝9x2，故C不符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D符合题意；故选：D．2．（3分）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到14nm．已知1nm＝10﹣9m，则14nm用科学记数法表示是（）A．14×10﹣9m B．1.4×10﹣8m C．1.4×10﹣9m D．1.4×10﹣10m【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：14nm＝14×10﹣9m＝1.4×10﹣8m，故选：B．3．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．任意购买一张电影票，座位号是偶数 B．梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨 C．解锁手机，提示微信收到了新消息 D．随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6【分析】根据事情发生的可能性大小进行解题即可．【解答】解：A、任意购买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，不符合题意；B、梦到醒来会下雨，醒来后发现窗外在下雨是随机事件，不符合题意；C、解锁手机，提示微信收到了新消息是随机事件，不符合题意；D、随意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6是必然事件，符合题意；故选：D．4．（3分）如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的距离不可能是（）A．4m B．15m C．20m D．22m【分析】由PA＝14m，PB＝10m，直接利用三角形的三边关系求解即可求得AB的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵PA＝14m，PB＝10m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜24m，∴AB间的距离不可能是：4m．故选：A．5．（3分）下列乘法中，不能运用平方差进行运算的是（）A．（3x+7y）（3x﹣7y） B．（5m﹣n）（n﹣5m） C．（﹣0.2x﹣0.3）（﹣0.2x+0.3） D．（﹣3n﹣mn）（3n﹣mn）【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．【解答】解：A、C、D选项符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；B选项两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．故选：B．6．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D．7．（3分）下列说法中正确的有（）①相等的角是对顶角；②一个三角形中至少有两个角为锐角；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④如果直线a∥b，a∥c，那么b∥c；⑤在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据对顶角的性质判断；②根据三角形内角和定理判断；③根据平行线的性质判断；④根据平行线的性质判断；⑤根据三角形内角和定理判断．【解答】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误；②符合三角形内角和定理，故②正确；③两直线平行，同旁内角互补，故③错误；④平行于同一条直线的两条直线平行，故④正确；⑤∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故⑤正确；∴正确的有3个，故选：C．8．（3分）如图，已知∠AOB＝48°，点C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，以OD长为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接CG并延长交OA于点H．则∠AHC的度数为（）A．24° B．42° C．48° D．96°【分析】根据作图，由全等三角形的判定定理SSS可以推知△DOE≌△GCF，得到∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，再利用三角形外角性质求解即可．【解答】解：由作图可知，OE＝OD，OD＝CF，FG＝DE，OD＝CG，∴OE＝CF，在△DOE与△GCF中，OD=CGDE=GF则△DOE≌△GCF（SSS）．∴∠GCF＝∠DOE，即∠ACO＝∠AOB＝48°，∴∠AHC＝∠AOB+∠ACO＝48°+48°＝96°．故选：D．9．（3分）已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF＝（）A．10° B．12° C．15° D．18°【分析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠CFG＝120°，进而得出∠GFD＝30°，∠EFG＝15°，根据FG∥AG，即可求解．【解答】解：如图所示，过点F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥AB∥CD，∵∠FCD＝60°，∴∠CFG＝180°﹣∠FCD＝120°，∵∠CFD＝90°，∴∠GFD＝∠CFG﹣∠DFC＝120°﹣90°＝30°，∵∠EFD＝45°，∴∠EFG＝∠EFD﹣∠GFD＝45°﹣30°＝15°，∵FG∥AB，∴∠AEF＝∠EFG＝15°．故选：C．10．（3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）A．2017 B．2016 C．191 D．190【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+19＝190，故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）若x﹣2y＝2，则10x÷100y＝100．【分析】将100写成以10为底的幂，再根据同底数幂的除法运算法则化简，将已知条件代入计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝2，∴10x÷100y＝10x÷102y＝10x﹣2y＝102＝100．故答案为：100．12．（3分）一个角是它的补角的五分之一，则这个角的余角是60度．【分析】设这个角为x°，则余角为（90°﹣x°），补角为（180°﹣x°），再由一个角是它的补角的五分之一，可得出方程，解出即可．【解答】解：设这个角为x°，则余角为（90°﹣x°），补角为（180°﹣x°），则x=15（180﹣解得：x＝30，则这个角为30°，所以这个角的余角是90°﹣30°＝60°．故答案为：60．13．（3分）如图，A是某公园的进口，B，C，D，E，F是不同的出口，若小贤从A处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为25【分析】根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案．【解答】解：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口，∴恰好从北面的出口出来的概率为25故答案为：2514．（3分）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝20°．【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，又∠BAC＝130°，∠D＝70°，∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．故答案为：20°．15．（3分）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为100°．【分析】由折叠的性质可得∠ADE=12∠ADF，再根据平行线的性质可得∠ADF＝∠C，根据三角形的内角和定理用含有∠A的代数式表示出∠C的度数，再根据三角形的外角性质可得∠DEF【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE=1∵A′D∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠B﹣∠A＝20°，∴∠B＝∠A+20°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，∴∠ADE=12∠ADF=12∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为4．【分析】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．【解答】解：设∠BCD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，∴∠ABC＝90°﹣2α，∵EF⊥CD，∴∠CKF＝90°，∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠CEF＝90°﹣α，如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，∵AD＝AC，∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，∴∠GBC＝∠BCD＝α，∴∠G＝90°﹣α，∴∠G＝∠CEF，延长EF和CA交于点H，∴∠H＝α＝∠GBC，∵∠CAB＝2α，∴∠AFH＝α，∴∠H＝∠AFH，∴AH＝AF＝2，在△CEH和△CGB中，∠CEH=∠GCE=CG∴△CEH≌△CGB（ASA），∴CH＝CB＝8，∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．故答案为：4．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算：（1）a2•a4+（﹣2a2）3﹣a8÷a2；（2）(−2)【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂法则、负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：（1）原式＝a6﹣8a6﹣a6＝a6﹣8a6﹣a6＝﹣8a6；（2）原式=−=1＝﹣1．18．（8分）若（2x﹣y）2+|y﹣2|＝0，求代数式[（x+2y）（2y﹣x）﹣4y（﹣x+y）]÷（﹣2x）的值．【分析】原式中括号里利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝（4y2﹣x2+4xy﹣4y2）÷（﹣2x）＝（﹣x2+4xy）÷（﹣2x）=12x﹣2∵（2x﹣y）2+|y﹣2|＝0，∴2x﹣y＝0，y﹣2＝0，解得：x＝1，y＝2，当x＝1，y＝2时，原式=1=−719．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝30°，且AE＝CE，求∠DAE的度数；（2）若CD＝3DE，△ADE的面积为2，AC＝4，求点E到边AB的距离．【分析】（1）设∠C＝x，先利用AE＝CE得到∠EAC＝∠C＝x，则∠BAE＝∠CAE＝x，所以∠BAC＝2x，根据三角形内角和得到30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，接着计算出∠DAC＝40°，然后计算∠EAC﹣∠DAC；（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，根据三角形面积公式得到S△AEC＝4S△ADE＝8，则12EH•AC＝8，解得EH＝4，然后根据角平分线的性质得到EG＝4，从而得到E到AB【解答】解：（1）设∠C＝x，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝x，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝x，∴∠BAC＝2x，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∴30°+x+2x＝180°，解得x＝50°，即∠EAC＝50°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠DAC＝40°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝10°；（2）过E作EG⊥AB于D，EH⊥AC于H，如图，∵CD＝3DE，S△ADE＝2，AD⊥BC，∴S△AEC＝4S△ADE＝8，∴12EH•AC∴EH=8×2∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AC，∴EG＝EH＝4，即E到AB的距离为4．20．（8分）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；（2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】（1）证明：∵E为AC中点，∴AE＝CE，在△AED和△CEF中，AE=CE∠AED=∠CEF∴△AED≌△CEF（SAS），∴∠A＝∠ACF，∴CF∥AB；（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠BED＝90°﹣75°＝15°．21．（8分）小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题：（1）小深抽到“纸巾”的概率是13（2）小深中奖的概率是23（3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是49【分析】（1）用“纸巾”的数量除以总数量即可；（2小深中奖的数量除以总数量即可；（3）根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）由图可得，抽到“纸巾”奖品的可能性是3÷9=1故答案为：13（2）由题意可得，6÷9=2故答案为：23（3）设计九张翻奖牌中有四张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷、太阳伞各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）．22．（10分）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：【类比应用】（1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为20；②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝13；【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积．【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；②令a＝x，b＝5﹣x，从而得到a、b的和与积，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵xy＝8，x+y＝6，∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，故答案为：20．②令a＝x，b＝5﹣x，∴a+b＝5，ab＝6，∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13，故答案为：13．（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为12mn∴m+n＝14，12（m2+n2）＝54，即m2+n2∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，∴mn＝44，∴12mn=∴一块三角板的面积是22．23．（10分）问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．【解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．∵DE∥FG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵AB∥CG，∴∠G＝∠ABF，∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．（3）如图④中，∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．24．（12分）【特例感知】（1）如图1，点C为直线l上一点，将一块等腰直角三角板的直角顶点与C重合，两条直角边AC、BC在直线l的两侧，过A作AD⊥l于点D，过B作BE⊥l于点E，求证：AD＝CE．【应用拓展】（2）当等腰直角△ACB的边AC落在直线l上，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线l上的一个动点（点D不与A、C重合），连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转90°的得到线段BE，连接AE，AE与射线BC交于点F．①如图2，