专题 平行线的判定与性质-阅读理解填理由题(解答题)（30题提分练）-2024-2025学年七年级数学下册同步练习（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第2章相交线与平行线》专题平行线的判定与性质阅读理解填理由题1．（2024春•章丘区校级期末）阅读并完成下列证明：如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．证明：∵∠B+∠BCD＝180°（）∴AB∥CD（）∴∠B＝（）又∵∠B＝∠D（已知），∴∠D＝（）∴AD∥BE（）∴∠E＝∠DFE（）【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等），又∵∠B＝∠D（已知），∴∠D＝∠DCE（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等），故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；∠DCE；两直线平行，同位角相等；∠DCE；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．2．（2024春•中原区校级月考）请完成下列证明：已知，如图，AD，BC相交于E，∠A＝∠AEB，∠D＝∠CED，EF∥AB．求证：∠C＝∠BEF证明：∵∠A＝∠AEB，∠D＝∠CED，（已知）且∠CED＝∠AEB，（）∴∠A＝∠D，（等量代换）∴AB∥CD，（）又∵EF∥AB，（已知）∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）∴∠C＝∠BEF．（）【分析】根据平行线的判定定理及性质定理求解即可．【解答】证明：∵∠A＝∠AEB，∠D＝∠CED（已知），且∠CED＝∠AEB（对顶角相等），∴∠A＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），又∵EF∥AB（已知），∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠C＝∠BEF（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；CD∥EF；两直线平行，同位角相等．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．3．（2024春•武昌区期中）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．如图，点E在AB上，点F在CD上，已知∠FHD+∠EGH＝180°，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．证明：∵∠FHD＝①（②），且∠FHD+∠EGH＝180°（已知），∴③+∠EGH＝180°，∴④∥BF（⑤），∴∠C＝⑥（⑦），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝⑧，∴AB∥CD．【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．【解答】证明：∵∠FHD＝∠BHA（对顶角相等），且∠FHD+∠EGH＝180°（已知），∴∠BHA+∠EGH＝180°，∴CE∥BF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠C（已知），∴∠B＝∠BFD，∴AB∥CD．故答案为：①∠BHA；②对顶角相等；③∠BHA；④CE；⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥∠BFD；⑦两直线平行，同位角相等；⑧∠BFD．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．4．（2023秋•市中区期末）如图8，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠E＝∠3．求证：AD平分∠BAC．请完成下列证明并填空（理由或数学式）．证明：∵AD⊥BC，EC⊥BC（），∴AD∥．∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（）．∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（）．∴AD平分∠BAC（）．【分析】证AD∥EC，再由平行线的性质得∠1＝∠E，∠2＝∠3，然后由∠E＝∠3得∠1＝∠2，即可得出结论．【解答】解：∵AD⊥BC，EC⊥BC（已知），∴AD∥EC．∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠E＝∠3（已知），∴∠1＝∠2（等量代换）．∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．故答案为：已知，EC；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．5．（2024春•浏阳市期中）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．如图，已知∠CGD＝∠CAB，∠1＝∠2，求证：∠ADF+∠CFE＝180°证明：∵∠CGD＝∠CAB∴DG∥（）∴∠1＝（）∵∠1＝∠2∴∠2＝∠3（）∴EF∥（）∴∠ADF+∠CFE＝180°（）【分析】首先利用平行线的判定定理和性质易得∠1＝∠3，等量代换得∠2＝∠3，再利用平行线的判定定理和性质解答即可．【解答】证明：∵∠CGD＝∠CAB（已知），∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠ADF+∠CFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故答案为：AB；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；AD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题主要考查了平行线的判定定理及性质和垂直的定义，综合运用平行线的判定及性质定理是解答此题的关键．6．（2024春•南岸区期中）完成下列证明：如图1，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．证明：∵∠1＝∠3（）又∵∠1＝∠2（已知）．∴（）．∴AD∥BC（）．∴∠A+∠4＝180°（）．∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．∴（同旁内角互补，两直线平行）．∴（）【分析】结合对顶角相等可求得∠2＝∠3，则可判定AD∥BC，从而得∠A+∠4＝180°，即有∠C+∠4＝180°，可判定AB∥CD，即有∠E＝∠F．【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等），又∵∠1＝∠2（已知）．∴∠2＝∠3（等量代换）．∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝∠C（已知），∴∠C+∠4＝180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．故答案为：对顶角相等；∠2＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AB∥CD；∠E＝∠F；两直线平行，内错角相等．【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键熟记平行线的判定定理及性质并灵活运用．

7．（2024春•岚山区期末）完成下列证明．如图，AD∥EF，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝100°，∠ACF＝20°，求∠CEF的度数．解：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝（）．∵∠DAC＝100°，∴∠ACB＝°．∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝°．∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=∠ECF=12∵AD∥BC，AD∥EF，∴BC∥（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．∴∠CEF＝∠＝°（）．【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝80°，根据∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF，角平分线的定义可得∠BCE＝30°，进而根据平行线的性质，即可求解．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠DAC＝100°，∴∠ACB＝80°．∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝60°．∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=∠ECF=1∵AD∥BC，AD∥EF，∴BC∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．∴∠CEF＝∠BCE＝30°（两直线平行，内错角相等）故答案为：180°；两直线平行，同旁内角互补；80；60；30；EF；BCE；30；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理及推论，角平分线的定义，掌握其性质定理是解决此题的关键．8．（2024春•上犹县期末）【课本再现】如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA，求证：∠FDE＝∠A．（1）请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据；证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝（）．∵DF∥CA，∴∠A＝（）．∴∠FDE＝∠A.如图2，若∠A+∠ABC＝180°，CD∥BE，BE平分∠ABC，∠D＝53°，求∠CBF的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得出答案；（2）证明AD∥BC，得出∠CBE＝∠AEB＝53°，求出∠ABE＝∠CBE＝53°，则可得出答案．【解答】解：（1）证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD（两直线平行，内错角相等），∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），∴∠FDE＝∠A．故答案为：∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等．（2）∵CD∥BE，∴∠D＝∠AEB＝53°，∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠AEB＝53°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝53°，∴∠CBF＝180°﹣∠ABE﹣∠CBE＝180°﹣53°﹣53°＝74°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．9．（2024春•江岸区期末）完成下列证明过程，并在括号内填上依据：如图，点E在AB上，点F在CD上，AF∥ED，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C．证明：∵AF∥ED（已知）∴∠AED+＝180°（）∵∠A＝∠D（已知）∴+＝180°（）∴（）∴∠B＝∠C（）【分析】由平行线的性质推出∠AED+∠A＝180°，而∠A＝∠D，得到∠AED+∠D＝180°（等量代换），判定AB∥CD，推出∠B＝∠C．【解答】解：证明：∵AF∥ED（已知），∴∠AED+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠A＝∠D（已知），∴∠AED+∠D＝180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）．故答案为：∠A；两直线平行，同旁内角互补；∠AED；∠D；AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出∠AED+∠D＝180°，判定AB∥CD．10．（2024春•临颍县期中）完成下列证明：已知：∠B+∠CDE＝180°，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝（），又∵∠1＝∠2（），∴∠BFD＝∠2（）．∴BC∥（）．∴∠C+＝180°（）．又∵∠B+∠CDE＝180°，∴∠B＝∠C．∴AB∥CD（）．【分析】求出∠BFD＝∠2，根据平行线的判定得出BC∥DE，根据平行线的性质得出∠C+∠CDE＝180°，求出∠B＝∠C，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：∵∠1＝∠BFH（对顶角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠BFD＝∠2（等量代换），∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠C+∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠B+∠CDE＝180°．∴∠B＝∠C，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故答案为：∠BFH；对顶角相等；已知；等量代换；DE；同位角相等，两直线平行；∠CDE；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键．11．（2024春•江汉区期中）完成下列证明过程，并在括号内填上依据．已知：如图，EC⊥AD，FG⊥AD，∠DFG＝∠BCE．求证：∠ACB＝∠D．证明：∵EC⊥AD，FG⊥AD，∴∠ECD＝90°，∠FGC＝90°（①）．∴∠ECD+∠FGC＝180°．∴EC∥FG（②）．∴∠E＝∠DFG（③）．又∵∠DFG＝∠BCE，∴∠E＝∠BCE．∴④∥⑤（⑥）．∴∠ACB＝∠D（两直线平行，同位角相等）．【分析】根据平行线的判定与性质求证即可．【解答】证明：∵EC⊥AD，FG⊥AD，∴∠ECD＝90°，∠FGC＝90°（垂直的定义）．∴∠ECD+∠FGC＝180°．∴EC∥FG（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠E＝∠DFG（两直线平行，同位角相等）．又∵∠DFG＝∠BCE，∴∠E＝∠BCE．∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．∴∠ACB＝∠D（两直线平行，同位角相等）．故答案为：①垂直的定义；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④DE；⑤BC；⑥内错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．12．（2024春•陆河县校级月考）请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：已知：如图，BC，AF是直线，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB∥CD．证明：∵AD∥BC（已知），∴∠3＝（）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式性质）．即∠BAF＝．∴∠4＝∠BAF．（等量代换）．∴AB∥CD（）．【分析】由条件可证得∠3＝∠CAD＝∠2+∠CAF＝∠1+∠CAF＝∠BAF＝∠4，可证明AB∥CD，据此填空即可．【解答】解：∵AD∥BC（已知），∴∠3＝∠CAD（两直线平行，内错角相等），∵∠3＝∠4（已知），∴∠4＝∠CAD（等量代换），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），即∠BAF＝∠CAD，∴∠4＝∠BAF（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠CAD；两直线平行，内错角相等；∠CAD；等量代换；∠CAD；同位角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c是解题的关键．13．（2023秋•偃师区期末）阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．如图：已知∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°，（已知）∴∠A+∠ABC＝°．∴AD∥BC．（）∴∠1＝．（）∵BD⊥DC，EF⊥DC，（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°．（）∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF．（）∴∠2＝．（）∴∠1＝∠2．（）【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：180；同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键．14．（2024秋•黔江区期末）如图，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请补全相应的理由或数学式：证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠C，∠4＝①（两直线平行，同位角相等）．∵EF∥AB，∴∠3＝∠B（②）．∠2＝③（④）．∴∠2＝∠A（等量代换）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°（⑤）．【分析】利用平行线的性质以及等量代换，即可解答．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠1＝∠C，∠4＝①∠A（两直线平行，同位角相等）．∵EF∥AB，∴∠3＝∠B（②两直线平行，同位角相等）．∠2＝③∠4（④两直线平行，内错角相等）．∴∠2＝∠A（等量代换）．∵∠1+∠2+∠3＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180°（⑤等量代换）．故答案为：①∠A；②两直线平行，同位角相等；③∠4；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2024春•通州区期末）补全下列证明过程．如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，垂足为点A，点E在边CD上，且EF⊥AD，垂足为点F，∠1＝∠6，求证：∠DAB+∠D＝180°．证明：∵CA⊥AD，EF⊥AD，∴∠2＝∠3＝90°，∴EF∥.（理由：）∴∠4＝.（理由：）∵∠1＝∠6，∴∠1＝.（理由：）∴DC∥.（理由：）∴∠DAB+∠D＝180°．（理由：）【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．【解答】证明：∵CA⊥AD，EF⊥AD，∴∠2＝∠3＝90°，∴EF∥AC．（理由：同位角相等，两直线平行）∴∠4＝∠6．（理由：两直线平行，同位角相等）∵∠1＝∠6，∴∠1＝∠4．（理由：等量代换）∴DC∥AB．（理由：内错角相等，两直线平行）∴∠DAB+∠D＝180°．（理由：两直线平行，同旁内角互补）故答案为：AC，同位角相等，两直线平行，∠6，两直线平行，同位角相等，∠4，等量代换，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定方法是正确解答的关键．16．（2024春•巴彦县校级月考）完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD．求证：∠EGF＝90°证明：∵HG∥AB（已知）∴∠1＝∠3又∵HG∥CD（已知）∴∠2＝∠4∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+＝180°又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD（已知）∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠EFD∴∠1+∠2＝（∠BEF+∠EFD）＝∴∠3+∠4＝90°即∠EGF＝90°【分析】由平行线的性质推出∠1＝∠3∠2＝∠4，∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义得到∠1+∠2=12（∠BEF+∠EFD）＝90°，因此∠3+∠4＝90°，即可证明∠【解答】证明：∵HG∥AB（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行、内错角相等），又∵HG∥CD（已知），∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行、同旁内角互补），又∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∴∠1=12∠BEF，∠2=1∴∠1+∠2=12（∠BEF+∠∴∠3+∠4＝90°（等量代换），即∠EGF＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等，两直线平行，内错角相等，∠EFD，两直线平行，同旁内角互补，12，1【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义求出∠1+∠2＝90°．17．（2024春•金水区校级期中）已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．求证：∠DMB+∠ABC＝180°．小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴（同位角相等，两直线平行）．∴∠CBD＝∠2．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠CBD＝∠1（）．∴（）．∵∠AMD＝∠AGF（已知）．∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．∴BC∥MD（）．∴∠DMB+∠ABC＝180°（）．【分析】根据垂直定义得出∠BDC＝∠EFC，根据平行线的判定推出BD∥EF，根据平行线的性质得出∠CBD＝∠2，求出∠CBD＝∠1，根据平行线的判定得出GF∥BC，GF∥MD即可．【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义），∴∠BDC＝∠EFC（等量代换），∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠CBD＝∠2（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行），∵∠AMD＝∠AGF（已知），∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行），∴BC∥MD（平行公理的推论），∴∠DMB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故答案为：垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，注意培养学生的推理能力．18．如图，点F在AC上，FG⊥AB于点G，FB与CD相交于点H，且∠BHC+∠GFB＝180°．求证：CD⊥AB．在下列解答中，填空：证明：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知），（对顶角相等），∴+∠GFB＝180°（等量代换）．∴CD∥FG（）．∴∠AGF＝（两直线平行，同位角相等）．又∵FG⊥AB（已知），∴∠AGF＝90°（垂直的定义）．∴∠ADC＝（等量代换）．∴CD⊥AB（垂直的定义）．【分析】根据对顶角相等可得∠BHC＝∠DHF，从而可得∠DHF+∠GFB＝180°，然后利用平行线的判定可得CD//FG，从而可得∠AGF＝∠ADC，再根据垂直定义可得∠AGF＝90°，从而可得∠ADC＝90°，即可解答；【解答】解：∵∠BHC+∠GFB＝180°（已知），∠BHC＝∠DHF（对顶角相等），∴∠DHF+∠GFB＝180°（等量代换），∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行），∴∠AGF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等），又∵FG⊥AB（已知），∴∠AGF＝90°（垂直的定义），∴∠ADC＝90°（等量代换），∴CD⊥AB（垂直的定义），故答案为：∠BHC＝∠DHF；∠DHF；同旁内角互补，两直线平行；∠ADC；90°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．19．（2024秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．证明：∵∠3＝∠4（已知），∴∥（），∴∠5+＝180°（）．∵∠5＝∠6（已知），∴∠6+＝180°（等量代换），∴AB∥CD（），∴∠2＝∠EGA（）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠EGA（等量代换），∴∥（）．【分析】根据内错角相等，两直线平行得CF∥BD，进而根据两直线平行，同旁内角互补得∠5+∠BDC＝180°，则∠6+∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，则可根据两直线平行，同位角相等得∠2＝∠EGA，据此可得∠1＝∠EGA，然后根据内错角相等，两直线平行即可得出DE∥BF．【解答】证明：∵∠3＝∠4（已知），∴CF∥BD（内错角相等，两直线平行），∴∠5+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠5＝∠6（已知），∴∠6+∠BAC＝180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠2＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠EGA（等量代换），∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CF；BD；内错角相等，两直线平行；∠BAC；同旁内角互补，两直线平行；∠BAC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；DE；BF；内错角相等，两直线平行．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．20．（2024春•南山区期中）完成下面的推理填空：如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠D＝∠DCE．证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAE（）．∵∠BAE＝∠3+，∴∠2＝∠3+，∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4+∠CAE＝∠CAD，又∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝，∴AD∥（）．∴∠D＝∠DCE．（）．【分析】先证明∠2＝∠BAE，再证明∠CAD＝∠1，可得AD∥BC，从而可得结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAE（两直线平行，同位角相等）．∵∠BAE＝∠3+∠CAE，∴∠2＝∠3+∠CAE，∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4+∠CAE＝∠CAD，又∵∠2＝∠1，∴∠CAD＝∠1，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．∴∠D＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法并灵活运用是解本题的关键．21．（2024秋•巴彦县校级期末）请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并说明理由．解：∠ACB＝∠DEB，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180°，∴＝∠BDC，∴∥EF，∴∠DEF＝．∵∠DEF＝∠A，∴＝∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB＝∠DEB．【分析】先根据平角的定义和等量代换证明∠1＝∠BDC，则AB∥EF，由此推出∠BDE＝∠A即可证明DE∥AC得到∠ACB＝∠DEB．【解答】解：∠ACB＝∠DEB，理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠BDC+∠2＝180°（平角的定义），∴∠1＝∠BDC（等量代换），∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠DEF＝∠BDE，∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A（等量代换），∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等），故答案为：平角的定义；∠1；等量代换；AB；同位角相等，两直线平行；∠BDE；∠BDE；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．22．（2024春•海淀区校级期中）完成下面推理填空：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2+∠C＝90°，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．证明：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°．∵∠1＝∠D（已知），∴∥（）．∴∠4＝∠CGF＝90°（）．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°．∵∠2+∠C＝90°，∴∠C＝∠3（）．∴AB∥CD．（）．【分析】根据垂直的定义得出∠CGF＝90°，由平行线的判定证明AF∥DE，再根据平行线的性质得出∠4＝∠CGF＝90°，再运用等量代换证得∠C＝∠3，最后根据平行线的判定定理即可证明结论．【解答】解：∵AF⊥CE，∴∠CGF＝90°．∵∠1＝∠D（已知），∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行）．∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等）．又∵∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°．∵∠2+∠C＝90°，∴∠C＝∠3（等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质定理、垂直、平角的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题关键．23．（2024春•雨花区校级月考）将下面的解答过程补充完整：如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，AC⊥BC，∠1＝∠2，求证：DG⊥BC．证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知），∴∠EFA＝∠CDA＝90°（），∴EF∥CD（），∴∠1＝∠，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠，∴DG∥AC（），∴∠DGB＝∠ACB（），∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝90°，∴∠DGB＝90°，即DG⊥BC．【分析】根据垂直定义求出∠EFA＝∠CDA＝90°，求出∠1＝∠ACD，推出EF∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠ACD，推出DG∥AC，根据平行线的性质推出∠ACB＝∠DGB即可．【解答】证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知），∴∠EFA＝∠CDA＝90°（垂直定义），∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴DG∥AC（内错角相等，两直线平行），∴∠DGB＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝90°，∴∠DGB＝90°，即DG⊥BC．故答案为：垂直定义，同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义的应用，主要考查学生的推理能力．24．（2024春•黄浦区期中）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G，为什么？解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知），所以AB∥CD（），所以∠BAE＝∠AEC（）．因为∠1＝∠2（），所以∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2（），即∠FAE＝∠GEA，所以AF∥EG（），所以∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．【分析】先根据题意得出AB∥CD，故可得出∠BAE＝∠AEC，再由∠1＝∠2得出∠FAE＝∠GEA，进而可得出AF∥EG，据此可得出结论．【解答】解：因为∠BAE+∠AED＝180°（已知），所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）．因为∠1＝∠2（已知），所以∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2（等式性质），即∠FAE＝∠GEA，所以AF∥EG（内错角相等，两直线平行），所以∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；已知；等式性质；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．25．（2024春•渝北区月考）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（），∴∥BF（），∴∠＝∠3（），又∵∠B＝∠C（），∴∠3＝∠B（），∴AB∥（）．【分析】首先证明EC∥BF，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠C＝∠3，再证明∠3＝∠B，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；等量代换；EC；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查了对顶角相等、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．26．（2024春•袁州区校级月考）把下面的说理过程补充完整．已知：如图，BC∥DE，点E在AB边上，DE与AC交于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AE∥CD．证明：∵BC∥DE（已知），∴∠4＝∠FCB（）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＝（等量代换）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠FCE＝∠2+∠FCE（）．即∠FCB＝．∴∠3＝∠ECD（）．∴AE∥CD（）．【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据BC∥DE，得到∠4＝∠FCB，利用等量代换及等式的性质推出∠3＝∠ECD，依据内错角相等两直线平行即可证明．【解答】证明：∵BC∥DE（已知），∴∠4＝∠FCB（两直线平行，同位角相等）．∵∠3＝∠4（已知），∴∠3＝∠FCB（等量代换）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1+∠FCE＝∠2+∠FCE（等式的性质）．即∠FCB＝∠ECD．∴∠3＝∠ECD（等量代换）．∴AE∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠FCB；等式的性质；∠ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】此题是平行线的性质是判定，还用到等式的性质，解本题关键是熟练运用平行线的性质和判定．一道中考常考题．27．（2024春•崇义县期中）完成下面的证明：如图，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求证：AB∥CD．证明：∵AB∥EF，∴∠APE＝（）．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝（）．即∠2+∠3＝90°．∴∠APE+∠3＝90°．∵∠1+∠APE＝90°，∴∠1＝．∴∥CD（）．又∵AB∥EF，∴AB∥CD（）．【分析】根据平行线的判定和性质填空即可．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定义）．即∠2+∠3＝90°．∴∠APE+∠3＝90°．∵∠1+∠APE＝90°，∴∠1＝∠3．∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．又∵AB∥EF，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故答案为：∠2；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠3；EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线互相平行．【点评】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟悉逻辑推理的形式，本题属基础题目．28．（2024秋•农安县期末）（1）问题发现：如图1，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（）．∴∠C＝∠CEF（）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF．∴∠B+∠C＝（等量代换）．即∠B+∠C＝∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图2所示的位置，其他条件不变，试说明：∠B+∠C+∠BEC＝360°．【拓展变式】如图3，BE平分∠ABF，CE平分∠DCF，∠BEC＝132°，则∠BFC＝．【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行得EF∥DC，再根据两直线平行，内错角相等得∠C＝∠CEF，∠B＝∠BEF，进而得∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF，由此可得出结论；（2）过点E作EP∥AB，平行于同一条直线的两条直线平行得EP∥DC，再根据两直线平行，同旁内角互补得∠C+∠CEP＝180°，∠B+∠BEP＝180°，由此可得出结论；（3根据角平分线定义设∠ABE＝∠FBE＝α，∠DCE＝∠FCE＝β，则∠ABF＝2α，∠BCF＝2β，由（1）的结论得∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝α+β＝132°，由（2）的结论得∠BFC+∠ABF+∠BCF＝360°，则∠BFC+2α+2β＝360°，由此可得出∠BFC的度数．【解答】（1）证明：过点E作EF∥AB，如图1所示：∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC（平行于同一条直线的两条直线平行）．∴∠C＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）．∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF．∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）．即∠B+∠C＝∠BEC．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）证明：过点E作EP∥AB，如图2所示：∵AB∥DC，EP∥AB，∴EP∥DC，∴∠C+∠CEP＝180°，∵EP∥AB，∴∠B+∠BEP＝180°，∴∠B+∠BEP+∠C+∠CEP＝360°，即∠B+∠C+∠BEC＝360°；（3）解：∵BE平分∠ABF，CE平分∠DCF，∴设∠ABE＝∠FBE＝α，∠DCE＝∠FCE＝β，∴∠ABF＝2α，∠BCF＝2β，由（1）的结论得：∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝α+β，∵∠BEC＝132°，∴α+β＝132°，由（2）的结论得：∠BFC+∠ABF+∠BCF＝360°，∴∠BFC+2α+2β＝360°，∴∠BFC＝360°﹣2（α+β）＝360°﹣2×132°＝96°．故答案为：96°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．29．（2024春•鱼台县期末）【阅读理解】（1）把下列证明过程或理由补充完整，如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P为直线AB，CD内一点（点E，F，P不在同一条直线上），连接PE，PF．求证：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．证明：如图2，过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD．∴∠CFP＝∠FPH．∵PH∥AB，∴∠AEP＝∠EPH．∵∠EPF＝∠EPH+∠FPH，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP．【问题解决】请直接利用（1）中的结论解答下列问题．（2）如图3，在图1的基础上分别作∠BEP和∠DFP的角平分线交于点M．若∠EPF＝140°，求∠EMF的度数；（3）如图4，在图1的基础上分别作∠BEP和∠DFP的角平分线交于点M，再分别作∠AEM和∠CFM的角平分线交于点N．若∠EPF＝α，∠EMF＝β，∠ENF＝θ，请直接写出α，β，θ之间满足的数量关系式．【分析】（1）过点P作PH∥AB，则PH∥CD，根据两直线平行，内错角相等得∠CFP＝∠FPH和∠AEP＝∠EPH，利用等量代换即可得到∠EPF＝∠AEP+∠CFP；（2）由（1）知，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EMF＝∠MEB+∠MFD，结合角平分线的性质得∠MEB=12∠PEB，∠MFD=12∠PFD，根据平角定义可得∠EPF+2（∠（3）由（1）知，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EMF＝∠MEB+∠MFD，角平分的性质得∠BEP＝2∠BEM，∠DFP＝2∠DFM，∠AEM＝2∠AEN，∠CFM＝2∠CFN，进一步求得α＝∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝360°﹣2β，θ＝∠ENF＝∠AEN+∠CFN=180°−1【解答】（1）证明：如图2，过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD．∴∠CFP＝∠FPH（两直线平行，内错角相等）．∵PH∥AB，∴∠AEP＝∠EPH．∵∠EPF＝∠EPH+∠FPH，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP（等量代换）；故答案为