2025年湘教版高一数学必修一期末预测卷2（解析版）

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期末预测卷02（解析版）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将

准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位

置上.

1.已知集合M={x|6x-3<3},JV={-2,0,l,3},则（）

A.{0,1,3}B.{-2}C.{-2,0}D.{-2,0,1,3}

【答案】C

【详解】因为M={x|x<l},所以MIN={-2,0}.

故选：C.

2.卡-1|<2"是，0<x<3”成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】由卜-1|<2得-!<x<3.

若0<x<3,则-l<x<3成立，故"|无-1<2”是“0<x<3"的必要条件；

若-l<x<3,则0<x<3不一定成立，故“卜-1|<2"不是“0<x<3”的充分条件.

故选：B.

3.某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大

排序如下：

162162163165165165165167167167

168168170170171173175175178178

则这20名队员身高的第75百分位数为()

A.171B.172C.173D.174

【答案】B

【详解】由20x75%=15,得这20名队员身高的第75百分位数为1曾71+产173=172.

2

故选：B.

4.将函数/(x)=sin(2x-1|的图象先向左平移6个单位，纵坐标不变，再将横坐标伸长为

原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()

C.g(x)=sinxD.g(x)=sin4x

【答案】C

jr

【详解】/(x)=sinf的图象先向左平移2可得y=sin—=sin2x

63

纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍可得g(x)=sinx.

故选：C.

ax,(x>1)

5.若函数/(x)=^，、是R上的单调函数，则实数。取值范围为()

[4Jx+2,(x41)

A.(L+s)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)

【答案】D

【详解】①函数f(x)单调性递增，

a>\

a>l

即卜<8

则满足<4-|>0解得4V”8.

a>4

a>4--+2

I2

②若函数/(X)单调性递减,

0<〃<1

0<<2<1

则满足44<0，即。>8,此时无解.

a<4

a<4--+2

[2

综上实数。取值范围为：4<«<8,

故选：D.

6.已知4=logs],6=（事]2,c=llog279,贝|J（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】D

i

【详解】因为指数幕函数/(司=『5在(0,+8)上单调递减,

L则6=/261

>针

33

c=^log279=log273=logs3]_则c=g,

273

因为（Z]=—<3,所以°=1083：=（1083（：）3<?10833=；,则

y5y125535333

所以“<c<6.

故选：D

7.已知函数y=/+(l+/)x+2在区间(-8,4]上单调递减，则实数机的取值范围是()

A.B.[3,+8)C.(-oo,-5]D.[7,+<»)

【答案】A

【详解】由于二次函数了=/+(1+川口+2的二次项系数为正数，对称轴为直线x=—1,

其对称轴左侧的图象是下降的，

1+m，,.八

..----->4,故加V-9,

2

因此，实数。的取值范围是(-巴-9].

故选：A.

8.2024年5月26日，安徽省滁河污染事件引发社会广泛关注.为了贯彻落实《中共中央国

务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良

工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污

染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为ZZIg/m）第〃次

改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量5满足函数模型

=4+亿-％）-3必"+（eR,〃eN*）,其中4为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数

量，4为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，〃为改良工艺的次数，假设废

水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放

标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：1g2a0.30,1g3=0.48）

A.14次B.15次C.16次D.17次

【答案】C

25

【详解】依题意，%=225,12.21,当”=1时，…+&f）x3°皿,即3°-«=1,可得t=-0.25，

于是％=2.25-0.04x3但”,由乙（0.25,得3°咐1吆50,即025（”-1）W黑,

Ig3

4（2-lg2）

则〃N\"+1名15.17,又〃eN*,因此“216,

lg3

所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，

故选：C.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分,

有选错的得0分.

9.已知函数/。）=$亩（28+。3>0）的一个零点到一条对称轴的最小距离为:，则下列

说法中正确的是（）

71

A.a）=—

6

B.x=l是函数>的一条对称轴

C.y=/（X）的对称中心为（3左一1,0）,左EZ

D.y=/（》）在》«1,3］的值域为-乎,g

【答案】ACD

【详解】对于A,由题意得，则7=h=6,

422。

所以0=9J（X）=sin但x+孚,故A正确；

ov35）

对于B,x=l时,〃l)=sin

qrTT

对于C,由+g■二左兀,左cZ,解得x=3左一1,左eZ?

所以函数/（X）的对称中心为（3后-1,0）,左eZ,故C正确；

,—I.7T7C27r4兀

对于D,x«L3］时,+,

所以当：x+，=W，即％=1时，f（x）=sin—

333八/max32

当:无+:=?，即x=3时，/（x）=sin—=-^,

333八及m32

所以/（x）=sin（；x+mje，故D正确.

故选:ACD.

10.下列说法正确的是（）

A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽

到的概率是0.2

B.已知一组数据12私6,7的平均数为4,则%的值为5

C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的中位数是17

D.若样本数据西,如…，西。的标准差为8,则数据2%-…,2占。-1的标准差为

16

【答案】AD

【详解】对于A,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，

则指定的某个个体被抽到的概率为；=0.2,故A正确；

对于B,数据1,2,m,6,7的平均数是4,m=4x5-l-2-6-7=4,故B错误；

对于C,将8个数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30,则中位数为上詈=18,故C

错误；

对于D,依题意，方差为。依）=82,则。（21）=22xD（x）=162,

所以数据2x.-l,2x.-l,...,2x10-l的标准差为16,D正确；

故选：AD.

11.已知函数/(切=1+=：3€1<)为奇函数，则下列叙述正确的是()

A.m=2B.函数/(无)在定义域上是单调减函数

C./(x)e(^»,-l)U(1,+℃)D.函数厂(无)=/卜)_消所有零点之和大于零

【答案】AC

【详解】对A,由3:1.0得/(尤)的定义域为(-8,O)U(O,+8),

因为/'(x)为奇函数，所以1+/彳=一1一詈7,解得切=2,A正确；

3—13—1

2

对B,由上知，/(x)=l+—

3-1

22

因为/(-1)=1+E=-2,〃1)=1+H=2,

所以/'(-Ov/。)，显然不满足减函数定义，B错误；

对C,因为尤C(一8,0)u(0,+8),所以3*,

所以3，-le(-l,0)5(),+e),所以—e(_e,_2)“0,+e),

所以c正确；

对D,因为函数/(X)和了=)均为奇函数，

所以尸0)是定义在(-8,0)。(0,+8)上的奇函数，

由对称性可知，若加是尸(久)的一个零点，则-加也是F(x)的一个零点，

所以，FQ)的所有零点之和等于0,D错误.

故选：AC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={-1,3,2机-1},集合8={3,"7?}.若,则实数"?=.

【答案】1

【详解】因为

所以加2=2加一1,即（“7-1）2=0,

所以加=1,

此时力={—1,3,1},5={3,1},满足题意.

故答案为：1

13.已知。>0,6>0,且9。+6=。6,则Q+4b的最小值为.

【答案】49

1Q

【详解】因为。>01〉0且9a+b=ab,所以一+—=1,

ab

所以0+46=(a+46)[1+2]=1+363伫>37+J—=37+12=4',

\ab)ab\ab

当且仅当4丝b=号9a即”=7,b=2W1时取等号，

ab2

所以a+46最小值为49.

故答案为：49.

14.已知若函数ga)=〃x)+x-m有三个不同的零点，则加取值

[-2+lnx,x>0,

范围是•

【答案】(-21/4,-3)

【详解】由题意得/'00+》一〃2=0=/(工)+》=%,

令=尤)+x,则〃(力与了=机有3个不同的交点,

x2+3x-3,x<0

其中〃㈤=

-2+]nx+x,x>0'

当xVO时，〃(x)=x2+3x-3为二次函数，开口向上，对称轴为》=-万,

当x>0时，〃(x)=x+lnx-2单调递增，

画出两函数图象如下：

要想〃卜)与>=机有3个不同的交点,

则〈加£-3,

故答案为：(・21/4广3)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.(13分)已知集合A=\x\^-6x+5<(^,B=[x\\-2k<x<'i+k,keR]

(1)当k=1时，求4cB；

(2)若NUB=8,求实数上的取值范围.

【答案】(1)4n8=*|1工*44}；(2))22.

【详解】(1)解不等式X2-6X+5W0,得14X45,则N={x114x45},

当左=1时，B={x\-\<x<^\,

所以4口8={汨14尤V4}.

(2)由NUB=B,得4=B,由(1)知，={x11<x<5},

因此,,、<,解得人"，

[3+左25

所以实数上的取值范围是422.

16.(15分)已知函数/口)=285丁卜(《%+/^向-1,苫€氏

(1)求函数/(无)的最小正周期和对称轴；

(2)求函数/(x)的对称中心和单调递增区间；

(3)求函数/(x)在xe0,^的最值及相应的x的值.

【答案】(1)最小正周期为兀，对称轴方程为x="+£,左eZ

26

(2)对称中心为1-寿+彳,。],左£Z,单调递增区间为一彳++E,keZ

[122J136」

(3)/(%)有最大值2,此时％=m；/(x)有最小值・1，此时x=g.

62

【详解】(1)

/(x)=2cosx(cosx+V3sinjj-l=2co^x-1+2/3sinxcosx=3sin2.=2sin2x+—,

?告兀'由2代=＞析，S得》=＞彳,口,

故函数/（尤）的最小正周期为兀,

函数;'（X）的对称轴方程为x="+F是eZ；

26

_xI兀7/日兀^717r-7

（z2）由2%~\——kit,x—-------1----，左£Z

6122

ITTTTTJTJT

由---F2kliW2xH—G—1~2版彳导,------FkjiWxV—F左兀,keZ,

26236

故函数小）的对称中心为Z,

JT7T

单调递增区间为一二十左兀,：+左兀，左£Z;

36

（3）由（1）知/（x）=2sin12x+—,

jr

设，=2%+—，

6

八兀17171771

当XG0,一日寸，t—2%H---£一,---,

2j6|_66_

ITITTT77T

＞=2sim在上单调递增，在上单调递减，

O2J|_2o_

因此，当/=£,即x=9时，f（x）有最大值2；

26

当/=?,即x］时，/（无）有最小值T.

62

17.（15分绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，平昌县政府

积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准

x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了

了解居民用水情况，通过抽样，获得某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数

据按照［0,1）,［1,2）,…,［8,9］分成9组，制成如图所示的频率分布直方图.

频率

U

al............------------------_

O8

O6

O4

O2

O

123456789月均用水量（吨）

（1）直万图中a的值；

（2）由频率分布直方图估计平昌县居民月用水量的平均数是多少;

（3）若平昌县政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），求x的估计值.

【答案】（1）1=0.15（2）4.07（吨）（3）5.8（吨）

【分析】（1）由频率分布直方图中长方形的面积和为1列式计算即可；

（2）由频率分布直方图中平均数的求法计算即可；

（3）先由频率之和判断x在［5,6）中，由此即可求出x的值.

【详解】（1）由题意可得0.04+0.08+。+0.20+0.26+。+0.06+0.04+0.02=1,

解得a=0.15.

（2）

x=（0.5+7.5）x0.04+1.5x0.08+（2.5+5,^）x0.15+3.5x0.20+4,5x0.0毛.5幻.06-8.5划.02=4.07

（吨）.

（3）因为［0,5）的频率为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,

［0,6）的频率为0.73+0.15=0,88>0.85,

故X的估计值为5+；-5）=5.8（吨），

所以85%的居民每月的用水量不超过标准5.8（吨）.

18.（17分）在经济学中，函数的边际函数好（x）=〃x+l）-〃x）,某公司每月最多生

产10台光刻机的某种设备，生产x台（x21,xeN*）这种设备的收入函数为

7?（x）=x2+1f+40（单位千万元），其成本函数为C（x）=10x+?（单位千万元）.（以下问

题请注意定义域）

⑴求收入函数尺（x）的最小值；

（2）求成本函数C（x）的边际函数MC（x）的最大值；

（3）求生产x台光刻机的这种设备的的利润z（x）的最小值.

【答案】⑴48（千万元）（2）y（3）7（千万元）

【详解】（1）VA（X）=X2+^1+40,1W尤V10,xeN*.

.,.7?（X）>2JX2-^+40=48,当且仅当犬=［即x=2时等号成立.

.•.当x=2时，R(x)111ta=48(千万元);

(2)AfC(x)=C(x+l)-C(x),1<X<9,XGN*

,\404040

MC(X)—10(X1+1)H------11OAx----=10—T----r—

v7v7x+1x(x+l)x1<X<9,XGN*,

由函数单调性知，MC(x)在1<x<9,x£N*时单调递增，

故当x=9时，MC(x)=10---=—；

,7max10x99

(3)由z(x)=K(x)-C(x)=/+与+40-110x+竺］=+-iofx+—^j+32,

则z(x)=[x+3—5j+7,1<x<9,xeN*.

AOCOC

记t(x)=x+—,则该函数在[1,2]上递减，在[2,9]上递增，且3)=5J(9)=I，故

x99

于是当"x+=5时，z(x)取得最小值.由/一5工+4=0,解得X=4或X=1,

故当X=4或X=1时，Z(»min=7(千万元).

19.(17分)已知函数/'(x)=log2(尤+。)(。>0).若当点尸(元))在函数y=g(x)图象上运动

时，对应的点《(4x,2y)在函数y=〃x)图象上运动，则称函数y=g(x)是函数y=/(x)的

“伴随”函数.

⑴解关于x的不等式/(x)<l；

⑵若对任意的xe(0,2),/卜)的图象总在其“伴随”函数图象的下方，求。的取值范围；

(3)设函数尸(x)=〃x)-g(x),尤e(O,2).当°=1时，求尸⑸的最大值.

【答案】(D{x|-a<x<2-a}