2025年中考数学一轮复习难点与新考法：圆中相关计算、切线、内切圆、阴影面积等问题（7大热考题型）（原卷版）

难点与新考法15圆中相关计算、切线'内切圆'阴影面积等问题

（7大热考题型）

题型一：与圆周角有关计算

「藉T,QT龌T承

圆周角定理及其推论

【中考母题学方法】

【典例1-1］（2024•江苏苏州•中考真题）如图，V/3C是。。的内接三角形，若/OBC=28。，则44=

O

B'C

［典例1-2］（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，VABC内接于。。,AD是直径，若N8=25°,贝！|ZCAD

【典例1-3】（2024・四川眉山・中考真题）如图，V48c内接于OO,点。在上，平分/R4C交。。于

D,连接20.若48=10,BD=2非,则8c的长为.

【典例1-4】（2024•陕西•中考真题）如图，8c是O。的弦，连接OB,OC,//是数所对的圆周角，则//

【典例1-5］（2024•山东泰安・中考真题）如图，是OO的直径，4〃是OO的切线，点。为。。上任意一

点，点。为就的中点，连接8。交/C于点£,延长8D与相交于点尸，若。尸=1,tanB=g,则/E的

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024.西藏•中考真题）如图,/C为。。的直径，点2,。在。。上，ZABD=60°,0）=2,

C.273D.4

【变式1-2］（2024・北京・中考真题）如图,的直径平分弦C。（不是直径）.若ND=35。，则NC=

【变式1-3］（2024•江苏常州•中考真题）如图，43是OO的直径，C。是OO的弦，连接40、BC、BD.若

ZBCD=20°,贝=

A

【变式1-4X2024・江苏镇江・中考真题）如图，是O。的内接正n边形的一边,点C在。。上，NACB=18°,

则

AR

【变式1-5］（2025•广东•模拟预测）如图，点4,B,。在。。上，若乙430=55。，则/C的度数为（）

B.35°C.45°D.60°

【变式1-6］（2025・湖北黄石•一模）如图，四边形45CD内接于，AC,5。为对角线，经过圆心。.若

ZBAC=44°,则的度数为（）

C.48°D.56°

【变式1-7］（2025•广西•模拟预测）如图，是。。的直径，点A、3在。。上.若旅=前，//OC=36。,

则ND的度数是.

题型二：与垂径定理有关计算

「藉区率!

7*1Ti

垂径定理及其推论

1.定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

i

2.解题思路:如图①，有直角三角形，直接利用勾股定理解题:如图②.③，无直角三角形作半径和弦心距,构造直i

角三角形.

r

BB

图①图②

知识拓展如果一条直线满足下列5个结论中的2个,便可推出其他3个结论（记为“知二推三”）:①过圆心；I

■②垂直于弦:③平分弦（不是直径）:④平分弦所对的优弧:⑤平分弦所对的劣弧.

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024•四川凉山•中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,

小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点48,连接N8,作A8的垂直平分线CO交N8于点。，交力

于点C,测出NB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【典例2-2]（2023・广西・中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.

如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为7m,则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A.20mB.28mC.35mD.40m

【典例2-3】（2023・陕西・中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从

正面看到的一个"老碗"（图①）的形状示意图.就是G。的一部分，。是々的中点，连接0。，与弦48

交于点C,连接04,OB.已知N2=24cm,碗深CD=8cm,则O。的半径。4为（）

图①图②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【典例2-4】（2023•湖北荆州•中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（公），点O是这段弧所在

圆的圆心，B为左上一点，于。.若ZC=3006m,8O=150m,则薪1的长为（）

A.300%mB.200%mC.150^-mD.100V3OTn

【典例2-5】（2023•浙江温州•中考真题）图1是4x4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为近，现

将它剪拼成一个"房子"造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDE尸作为题字

区域（点A,E,D,B在圆上，点C,尸在N3上），形成一幅装饰画，则圆的半径为.若点A,

N,M在同一直线上，AB//PN,DE=&EF，则题字区域的面积为

图1图2

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2025•广西柳州•一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底

的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、

B、C、。四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,^5=3cm,CD=4cm.请你帮忙计算纸杯杯

底的直径为（）

A.4.8cmB.5cmC.5.2cmD.6cm

【变式2-2］（2024•内蒙古包头•模拟预测）如图，O。是V4BC的外接圆，4B是。。的直径，点。是弧8c

的中点，与相交于点E,连接0。交于点F.若E为40的中点，AC=2,则BC的长为（）

C.6D.8后

【变式2-3］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为的中点，C为拱

门最高点，线段CO经过拱门所在圆的圆心，若/3=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【变式2-4］（2023•湖南永州•中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，OO的半径为10cm.水

的最深处到水面的距离为4cm,则水面4B的宽度为cm.

【变式2-5］（2023•山东东营•中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》

中记载了一个“圆材埋壁"的问题："今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问

径几何？"用几何语言表达为：如图，N2是。。的直径，弦CDL/3于点E,即=1寸，8=10寸，则直

题型三：与圆内接四边形有关计算

■BIMI■■MM■ai^M■.■■■■■■■■■■.■■i^B■■■■IMS■.M■.・■

!指I点I迷I津

।

圆内接四边形的性质

性质i：圆内接四边形的对角互补

性质2:任意一个外角等于它的内对角.

【中考母题学方法】

【典例3-1］（2024・甘肃定西•模拟预测）如图，/B是半圆。的直径,C,。是半圆上两点，且满足/ADC=120。,

BC=2,则弧3c的长为（）

【典例3-2】（2024•四川泸州•中考真题）如图，EA,EZ）是。。的切线，切点为4,D,点、B,。在。。上,

L

A.56°B.60°C.68°D.70°

【典例3-3】（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，4B是。。的直径,

若NBEC=20°,则/ADC的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【典例3-4】（2024•山东济宁・中考真题）如图，分别延长圆内接四边形N2C。的两组对边，延长线相交于点

E,F.若/£=54。41',/b=43。19',则NN的度数为（）

A.42°B.41°20,C.41°D.40°20,

【典例3-5】（2024•内蒙古包头•中考真题）如图，四边形/BCO是OO的内接四边形，点。在四边形/BCD

内部，过点C作。。的切线交42的延长线于点尸，连接若NNO8=140。，NBC尸=35。，则//OC

的度数为

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（2024•吉林•中考真题）如图，四边形内接于。O,过点5作成〃交于点E.若

NBEC=50。,则的度数是（）

D

A.50°B.100°C.130°D.150°

【变式3-2］（2024・湖北宜昌・模拟预测）如图，在OO内，若圆周角ND=130。，则圆心角N/OC的度数是

()

C

B.100°C.65°D.50°

【变式3-3］（2024•湖北宜昌•二模）如图，点。是V48c的外心，若NBOC=110°,求弦3c所对的圆周

【变式3-4］（2024•北京•模拟预测）平面中有四个点43,C,D48交。于点〃使得

AMxBM=CMxDM.三角形/3C的外接圆为O。.表示NDOC和/D/C的关系

题型四：切线的判定问题

「藉TMT荻T承

1.连半径,证垂直

;连接圆心与交点，证明直线垂直半径，即“连半径,证垂直”.常见的情形如下

条件图形提示

已知NC=90°C证明半径OE〃AC

己知/ABC=90°证明△ODCZ/XOBC

已知AB是。0的直径,D是。0上D证明/ADO=/BDC,结合等腰三角

的点，即NADB=90°形,利用等角的余角相等“倒角”

2.作垂直,证相等

；过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径，即“作垂直，证相等”证明圆心到直线的距离等于半径的常见

■■

:证明方法:①利用角平分线上的点到角两边的距离相等:②证明三角形全等.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2023•广东深圳•中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,3均在格点上，。4=3,

32,以。为圆心，0/为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点/作切线/c,且/C=4(点C在/的上方);

②连接。C,交OO于点。；

③连接5。，与/C交于点E.

⑴求证：AD为OO的切线；

(2)求/E的长度.

【典例4-2](2024•山东东营•中考真题)如图，V48c内接于0O,是的直径，点E在。。上，点C

是靛的中点，AELCD,垂足为点。，DC的延长线交的延长线于点尸.

D

(1)求证：CD是OO的切线;

(2)若CD=百，ZABC=60°,求线段/尸的长.

【典例4-3](2024・湖北•中考真题)如图，在Rg48C中，乙4c8=90。，点E在/C上，以CE为直径的。。

经过力B上的点。，与交于点尸，且8。=3c.

B

(1)求证：4B是。。的切线；

(2)若AE=\,求浮的长.

【典例4-4】（2024•江苏镇江•中考真题）如图，将V/2C沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点。落在

边上，折痕为点。在边上，经过点A、D.若NNCS=90。，判断8c与OO的位置关系，

并说明理由.

【典例4-5】（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图1,。是正方形/BCD对角线上一点，以。为圆心，OC长

为半径的。。与4。相切于点E,与/C相交于点尸.

（1）求证：力B与OO相切.

（2）若正方形/8CD的边长为亚+1，求。。的半径.

⑶如图2,在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点“作MNLOC交无于点N.当

CM:FA/=1:4时，求CN的长.

【中考模拟即学即练】

【变式4-1］（2024•山西运城•模拟预测）阅读与思考

直线与圆的位置关系学完后，圆的切线的特殊性引起了小王的重视，下面是他的数学笔记，请仔细阅读并

完成相应的任务.

欧几里得最早在《几何原本》中，把切线定义为和圆相交，但恰好只有一个交点的直线.切线：几何上，

切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线.平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的

切线…

证明切线的常用方法：①定义法；②距离法（运用圆心到直线的距离等于半径）；③利用切线的判定定理

来证明.

添加辅助线常见方法：见切点连圆心，没有切点作垂直.

图1是古代的"石磨"，其原理是在磨盘的边缘连接一个固定长度的"连杆"，推动"连杆"然后带动磨盘转动，

将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为"曲柄连杆机构".图2是一个"双连杆"，两个固定长度的"连

杆”NP,3尸的连接点P在上，MNLEF,垂足为O,当点尸在OO上转动时，带动点/,2分别在射

线OM,。尸上滑动，当点2恰好落在上时，ZPBO=^-ZPAO,请判断此时NP与OO的位置关系并说

2

图1图2

理由：连接。尸.

:点8恰好落在。。上，

ZPBO=-ZPOE.（依据1）

2

QZPBO=-ZPAO,

2

ZPOE=ZPAO.

MNLEF,

ZPOE+ZAOP=9Q°,

:.ZPAO+ZAOP=90°.

QZPAO+ZAOP+ZAPO=180°,(依据2)

ZAPO=90°,

/.4P与O。相切.

任务：

⑴依据1：.

依据2：.

(2)在图2中，的半径为6,AP=S,求BP的长.

【变式4-2］（2024•广东揭阳•模拟预测）如图，已知。是V/3C边48上的一点，以。为圆心、08为半径

的OO与边NC相切于点D,且8C=CD,连接。C,交OO于点E,连接3E并延长，交/C于点厂.

⑴求证：8C是。。切线

⑵求证：OA-AB=AD-AC；

4

(3)若ZC=16,tanZBAC=-f/是NC中点，求好的长.

【变式4-3］（2024•上海奉贤•三模）如图1,在边长为6的正方形/BCD中，E是边CD的动点，以E为圆

心，为半径作圆，4尸与OE相切于点尸，连接访并延长交3c于点G,连接NE,AG.

(1)求证：AABG咨£\AFG；

⑵如图2,/E与OE相交于点H,连接并延长交4D于点K,当满足DK+EG+CG=12时，试判断BK

与OE的位置关系并说明理由.

【变式4-4］（2024•广东东莞•一模）如图1,是中448。的平分线，ZBAC=90°,以NO为半

径的。。与NC相交于点£,且CE=1.

（1）求证：8c是。。切线；

（2）如图2,设。。与3c的切点为。，连接4D.当tanNC/D=g时，求。。的半径；

⑶若厂是线段48的中点，连CF与4。交于G,在（2）的条件下，求率应的值.

^AACG

【变式4-5］（2025•云南•模拟预测）如图，。。是四边形48CD的外接圆，ZC、AD是四边形的对角

线，/C恰为O。的直径，N4D3=30。，点£在劣弧/£）上，过点。作交4E的延长线于点厂，

AD平分NE4c.

⑴求/A4c的度数;

（2）求证：。/是。。的切线；

⑶若NC4D=30。，尸是劣弧上的一个动点，不与C,。重合，连接/P,CP,DP,。6_1/尸于点6,

求“尸一百°的值.

题型五：与切线性质有关计算

「庙TMi%T承:।

1.求角度问题的解题关键

连接圆心和切点，构造直角三角形，依据三角形内角和定理得到角度，通常还需结合等腰三角形的性质、圆周角

।i

i定理及推论和平行线性质定理进行角度转化

2.求线段长问题的解题步骤

!।

i第一步:先将题中已知条件进行转化,挖掘题中的隐含条件汝口:①切线与过切点的半径垂直，可构造直角三角

形:②圆的半径长相等,可构造等腰三角形;③弦与切线平行则弦与过切点的半径垂直，可结合垂径定理；

'第二步:结合已知解题方法，考虑利用勾股定理、锐角三角函数或相似三角形的性质求解；

i

第三步:作辅助线，构造直角三角形或相似三角形；

第四步:论证求解

利用勾股定理求解的常考图形如下:

图形AB与O。相切于点A,0BAB是O。的切线,CD〃AB,交OA在RtAABC中，点0在AB上，

交OO于点C于点EOO交AB于点E,切BC于点D

Q彳C

ABAB

结论AOAB为直角三角形，△OED为直角三角形△ADE为直角三角形

r2+AB2=（r+BC）2（r-AE『+]?|=r2AE2-DE2=CD2+AC2

利用相似三角形求解的常考图形如下:

图形AB是直径，切线CD交AB是直径.CD是。。的切线，切AB是QO的直径,CD是00的

O。于点E,交AB延长线于点为D切线,C是切点,AD,CD

点C,AD_LCD一D

A'刍，

JBC

结论△COE^ACAD△BCD^ADCA△ABC^AACD.

AC-r_CErBC_CD_BDABACBC

ACCDADDC-CA-DAAC-AD-CD

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2024•江苏徐州•中考真题）如图，A8是。。的直径，点。在的延长线上，C£＞与OO相切

于点。，若NC=20。，则/。。=

【典例5-2】（2024,云南昆明•模拟预测）在边长为10的正方形/3C。中，点£是4D的中点，作射线BE,

在射线3E上有一点P,若以点尸为圆心，半径长为4的。尸与正方形/BCD的其中一边相切，则8P的长

为.

【典例5-3】（2024•江苏扬州,中考真题）如图，已知两条平行线上3点/是4上的定点，NBL/z于点8,

点C、。分别是4、4上的动点，且满足ZC=5D,连接CD交线段48于点E,BHLCD于点、H,则当

最大时，sin/3/H的值为

【典例5-4］（2024•山东青岛•中考真题）如图，V/3C中，BA=BC,以5c为直径的半圆O分别交48,AC

3

于点。，E,过点E作半圆。的切线，交48于点M,交2C的延长线于点N.若ON=10,cosZABC=~,

则半径OC的长为.

【典例5-5］（2024・天津•中考真题）已知V/O8中，//2。=30。,/2为0。的弦，直线跖V与O。相切于点C.

(1)如图①，若AB〃MN,直径CE与AB相交于点D,求ZAOB和NBCE的大小;

（2）如图②，若OB〃MN,CG14B,垂足为G,CG与03相交于点F=3,求线段。尸的长.

【中考模拟即学即练】

【变式5-1］（2024•福建,中考真题）如图，已知点48在。。上，AAOB=72°,直线与。。相切，切点

为C,且C为蕊的中点，则乙等于（）

MCN

A.18°B.30°C.36°D.72°

【变式5-2］（2024•山西•中考真题）如图，已知V48C,以N8为直径的。。交2C于点D,与/C相切于点

A,连接OO.若乙4。。=80。，则NC的度数为（）

B

2®

CA

A.30°B.40°C.45°D.50°

【变式5-3］（2024•浙江•中考真题）如图，4B是。。的直径,/C与OO相切，4为切点，连接5C.已知

NACB=50°,则NB的度数为__________

B

CA

【变式5-4］（2025•贵州,模拟预测）如图，是。。的直径，点C是OO上一点，过点C作。O的切线CD,

交48的延长线于点D,过点A作/EJ_CD于点E.

E

C

(1)若/E4c=25。，求/。的度数；

(2)若03=3,BD=2,求/C的长.

【变式5-5](2024•河北邢台•一模)如图1,四边形48CD中，4=9。°,AD=6,4B=8,AD为四边形/BCD

的对角线，sinZBDC=-.

不D

图1图2

⑴求点5到DC的距离；

(2)如图2,点E在40边上，且力£=4.以3为圆心，3C长为半径作03,点尸为03上一点，连接所交

AB于P.tanC=—.

3

①当EF与。8相切时，求斯的长；

②当E尸〃时，直谈写出£尸的长.

题型六：三角形的内心及内切圆

「藉TMi%T承

］重要结论识记

图示A或

BEC

条件点0是4AB4C的内心。。是AABC的内切圆

结论1.点。是AABC角平分线的交点：1.点0是ABC的内心,。0分别与AB、BC,AC相切于

2.ZB0C=90°+-ZBAC,点D,E,F,则OD=OE=OF；

2

2.S=^AB+BC+AC)-CD

1&ABC

ZAOC=90°+-ZABC,

2

ZAOB=90°+-ZACB

2

【中考母题学方法】

【典例6-1】（2024•山东济宁・中考真题）如图，边长为2的正六边形48CDE厂内接于。。，则它的内切圆半

径为（）

-------

A.1B.2C.72D.V3

【典例6-2】（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，在V4BC中，/C=5,AB=7,BC=6,为V4BC的内

切圆，过。作分别交4C于。、E,则。E的长为（）

A.276B.4C.5D.空坦

3

【典例6-3】（2024•山东德州•中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m,CB=CD=8cm,

乙8为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为cm.

【典例6-4】（2024•浙江宁波•一模）如图，将矩形/BCD的边AD翻折到NE,使点。的对应点E在边8C上,

再将边AD翻折至UDF,且点A的对应点F为“BE的内心，则*也=.

【典例6-5】（2024•山东烟台•中考真题）如图，48是。。的直径，V/8C内接于。。，点/为VNBC的内心,

连接C7并延长交。于点。，E是数上任意一点，连接BD,BE,CE.

⑴若N4BC=25。，求NCE8的度数；

⑵找出图中所有与£>/相等的线段，并证明；

⑶若C/=2&,D/=yV2,求VNBC的周长.

【中考模拟即学即练】

【变式6-1］（2024•山东聊城•一模）如图，点/为等边V48c的内心，连接/并延长交V4BC的外接圆于点

D,已知外接圆的半径为2,则线段D8的长为（）

A.2B.3C.4D.273

【变式6-2］（2024•四川南充•一模）如图，点。是VABC外接圆的圆心.点/是V/2C的内心.连接。伐".若

NCAI=37。，则/O8C的度数为（）

A.37°B.20°C.16°D.14°

14

【变式6-3］（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，在一张Rt448C纸片中，NACB=90。,NC=8,tanZABC=-,

是它的内切圆.小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形4DE,贝UV/DE的周长为（）

【变式6-4］（2024•广东深圳•模拟预测）如图，已知在Rta/BC中，05=90°,AB=6,NC=10,点p是

RtAABC的内心.点尸到边AB的距离为

A

【变式6-5](2024•福建南平•模拟预测)如图，以Rt448C的直角边AB为直径的O。交斜边4C于点

过点。作。。的切线与3c交于点E,弦与48垂直，垂足为

(1)求证：£为8c的中点；

⑵若O。的面积为12%,两个和V的外接圆面积之比为3,求ADEC的内切圆面积H和四边形

OBED的外接圆面积$2的比.

题型七：阴影部分面积计算

「藉|京1稼7承一—一

;方法1公式法

面积公式直接计算

观察图形，所求阴影部分为扇形、三角形或特殊四边形时，可直接用面积公式进行求解.

II

方法2和差法

面积和差运算

ii

观察图形,所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形或特殊四边形面积的和或者差，则分别计算每部分面积，j

再加减计算.

方法3等积转化法

等积转化法的解题关键

观察图形,当所求阴影部分可转化成规则图形或阴影部分不是一个整体时，可尝试通过等积转化法计算.

1.通过平行线间三角形面积相等进行等积转化;

(CD//AB)

2.将两部分阴影部分面积合二为一进行等积转化

【中考母题学方法】

【典例7-1】（2024•河南•中考真题）如图，OO是边长为4省的等边三角形/3C的外接圆，点。是前的中

点，连接8D,CD.以点。为圆心，5。的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

A

D

A8兀c4-1671-

A.—B.4兀C.D.16兀

33

【典例7-2】（2024•内蒙古•中考真题）如图是平行四边形纸片ZBCQ,5C=36cm,ZA=llO°9/BDC=50。,

点M为8c的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线A